測量學(xué)第六章誤差知識

第六章測量誤差的基本知識測量誤差概述偶然誤差特性衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)誤差傳播定律等精度直接觀測值的最可靠值不同精度直接觀測平差§6.1測量誤差概述

一、測量與觀測值

2.測量誤差定義測量中的被觀測量，客觀上都存在著一個(gè)真實(shí)值，簡稱真值。對該量進(jìn)行觀測得到觀測值。觀測值與真值之差，稱為真誤差。

二、測量誤差及其來源1、現(xiàn)象：D往D返h0A+B+C180△=l-X真誤差＝觀測值－真值

3.誤差來源儀器設(shè)備不盡完善觀測者感官鑒別能力的局限性自然環(huán)境的影響觀測條件觀測條件好-----測量誤差小-----觀測成果質(zhì)量高觀測條件差-----測量誤差大-----觀測成果質(zhì)量低觀測成果質(zhì)量的高低客觀地反應(yīng)了觀測條件的優(yōu)劣誤差不可避免-----任何觀測中都含有誤差-----最基本最普遍的事實(shí)。因此，我們必須學(xué)習(xí)誤差理論的基本知識。三、目的：了解誤差產(chǎn)生的原因及規(guī)律；正確處理觀測數(shù)據(jù)，評定觀測質(zhì)量；指導(dǎo)測量實(shí)踐,使測量結(jié)果達(dá)到預(yù)期的要求。四.名詞解釋1、真值：任何一個(gè)物理量，客觀上總存在一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)值，這一數(shù)值稱為該量的真值。一般用X表示。真值一般是未知的，可知二種理論真值約定真值2、觀測值：對某量進(jìn)行測量而得到的數(shù)值，用Li表示。

i=1.2.3………..n。3、測量誤差（真誤差）：觀測值與真值之差，用i表示。

i=Li-X4、未知量X的最優(yōu)估值：5、觀測值的改正數(shù)：6、等精度觀測：觀測條件相同的各次觀測。7、非等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測。8、高斯和符合：[]=如[]=1+2……+n

[]=

12+22……+n2

(1).過失誤差(疏失誤差、粗差、錯(cuò)誤)

定義：性質(zhì)：粗差一般大-----對測量結(jié)果危害大--------盡量避免措施：檢核多余觀測統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法----粗差理論五.測量誤差的分類五.測量誤差的分類(2).系統(tǒng)誤差定義：在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和大小均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。例：鋼尺的尺長誤差；水準(zhǔn)儀的i角誤差等。性質(zhì)：具累積性-------對成果影響大-----必須設(shè)法消減其影響措施：1、計(jì)算改正數(shù)，對結(jié)果進(jìn)行改正；2、用一定的觀測方法加以消除或削弱；3、檢校儀器以限制誤差的大小。(3).偶然誤差：定義：在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，若誤差出現(xiàn)的符號和大小均不一定，這種誤差稱為偶然誤差。例：照準(zhǔn)誤差；讀數(shù)誤差；對中誤差等。性質(zhì)：偶然誤差又稱隨機(jī)誤差，即偶然誤差是一個(gè)隨機(jī)變量。五.測量誤差的分類§6.2偶然誤差特性一、偶然誤差的四個(gè)特性舉例：abc△i=ai+bi+ci-180°（i=1,2,········358）結(jié)論在一定的條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度；2.絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多；3.絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等；4.偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零，即二、誤差概率分布曲線－△+△knd△(頻率/組距)00.20.40.60.81.01.21.41.6-0.4-0.6-0.8-1.0-1.2-1.4-1.6-0.2k/n(頻率)直方圖三、分析標(biāo)準(zhǔn)差σ1.σ與觀測誤差△及偶然誤差概率密度f(△)的關(guān)系y=f(△)－△+△y2.σ

與誤差分布曲線拐點(diǎn)的關(guān)系－△y=f(△)y-+3.標(biāo)準(zhǔn)差σ

的概率值P（－σ＜△＜＋σ

）+△－△y=f(△)y-+§6-3衡量（評定）精度的標(biāo)準(zhǔn)一.精度的含義一定的觀測條件確定的誤差分布條件好，誤差分布密集，即離散度小，誤差曲線比較陡峭，頂峰較高-----質(zhì)量好---精度高，反之，則相反問題1：個(gè)別誤差的大小能否反映精度的高低？右圖為不同的兩組觀測對應(yīng)著的兩條不同的誤差分布曲線。若1<2，則第一組觀測，誤差分布密集，圖形陡峭，精度較高；第二組觀測，誤差分布離散，圖形平緩，精度較低。ⅠⅡ0精度的含義：誤差分布的密集與離散程度。即離散度凡能反映誤差分布離散度大小的量，都可作為衡量精度的指標(biāo)。二.衡量精度的指標(biāo)1.方差和中誤差由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知，表示隨機(jī)變量分布離散性的數(shù)字特征是方差測量上習(xí)慣用中誤差表示現(xiàn)實(shí)中，n總是有限的，故只能求得中誤差的估計(jì)值一）、用絕對誤差來衡量精度中誤差（用m表示）就是標(biāo)準(zhǔn)差σ標(biāo)準(zhǔn)差σ的計(jì)算公式中誤差的估算值的計(jì)算公式一般真誤差i不可求，我們只能根據(jù)子樣觀測值l1、l2…ln來估計(jì)母體方差，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中采用樣本方差作為母體方差的估計(jì)量即令則------白塞爾公式2.平均誤差3.極限誤差（容許誤差）

容許=3｜m｜~2｜m｜

容許

的概率含義二、用相對誤差來衡量精度§6.4誤差傳播定律一、倍乘二、和或差三、一般函數(shù)3.相對誤差問題2：中誤差能否準(zhǔn)確地衡量所有觀測成果的精度？例：量距s1=200m,m1=0.2m;s2=2000m,m2=0.2m,問：丈量精度是否相同？看其單位長度上的中誤差k2<k1,第二段距離精度高于第一段距離精度相對誤差：誤差的絕對值與觀測結(jié)果的比值，化為分子為1的分?jǐn)?shù)形式表達(dá)。例：相對中誤差同理，還有相對真誤差、相對容許誤差等。相對誤差是無量綱的，而中誤差、容許誤差是有量綱的，稱絕對誤差。問題3：角度觀測是否能用相對誤差表示？回顧觀測伴隨誤差系統(tǒng)誤差同時(shí)產(chǎn)生偶然誤差系統(tǒng)誤差累積作用設(shè)法消除、減少檢校措施加改正數(shù)次要地位觀測方法偶然誤差不可避免，不能消除，符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律大量多余觀測產(chǎn)生不符值測量平差求未知量估值求精度估值

偶然誤差的特性1、2、3、4、密度函數(shù)：精度含義：誤差分布的離散度精度指標(biāo)：中誤差容許誤差相對誤差?(誤差分布曲線D§6-4誤差傳播定律及其應(yīng)用一、問題的提出由精度的含義及衡量精度的指標(biāo)可以根據(jù)一組獨(dú)立的等精度的直接觀測值，求觀測值中誤差。X、Li------iLi-X

或由子樣觀測值Li

------------實(shí)際中，有些量無法直接觀測，而是通過測量某個(gè)或某幾個(gè)量，由一定的函數(shù)關(guān)系間接推算出來的。------§6-4誤差傳播定律及其應(yīng)用由于觀測值有誤差函數(shù)必然存在誤差如何根據(jù)觀測值中誤差求函數(shù)中誤差？二、誤差傳播定律：1、定義：闡述觀測值與其函數(shù)值之間的誤差關(guān)系。

2、通式：設(shè)有觀測值的函數(shù)y=f(x1,x2…,xn)(1)式中，x1,x2…,xn是相互獨(dú)立的觀測值例即用誤差代替微分，則

y=k11+k22+…+knn(2)式中：是函數(shù)對各自變量的偏導(dǎo)數(shù)，代入xi求得，令設(shè)1，2…，n是相應(yīng)的觀測誤差，

m1,m2…mn是相應(yīng)的中誤差。對(1)式求全微分特例：①.若則

②.若則兩邊取方差,得D(y)=k12D(1)+k22D(2)+…+kn2D(N)取估值,即得:my2=k12m12+k22m22+…+kn2mn2(3)3.例題1).一個(gè)邊長為的正方形，若測量一邊有ml=1cm,求周長的中誤差？若四邊都測量，且測量精度相同，均為ml,則周長的中誤差又為多少？2).在o點(diǎn)觀測了三個(gè)方向，得方向值l1,l2,l3,設(shè)各方向的中誤差均為m,求m,m,m.3).如圖，三角形ABC中，測得A±m(xù)A、B±m(xù)B，BC邊長為a±m(xù)a,試計(jì)算邊長c及其中誤差mc。BCAabc4、計(jì)算步驟正確列出觀測值的函數(shù)式求全微分，用真誤差代微分，列出真誤差關(guān)系式檢查誤差是否獨(dú)立寫出中誤差關(guān)系式代入數(shù)值計(jì)算函數(shù)值中誤差。5、注意事項(xiàng)：系數(shù)xi是用觀測值代入而算得的常數(shù)用數(shù)值計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意各項(xiàng)單位的統(tǒng)一誤差獨(dú)立復(fù)雜函數(shù)，可先取對數(shù)，再求微分，較方便。三.誤差分析的應(yīng)用1.水準(zhǔn)測量的誤差分析(1)．一個(gè)測站的高差中誤差

h=a-bm站=m讀

代入考慮其它因素，取m站=3mm（2）．水準(zhǔn)路線高差的中誤差設(shè)每站的高差中誤差均為m站，

取3倍中誤差為限差以每公里10站計(jì)，則路線長L公里取3倍中誤差為限差，規(guī)范取規(guī)范取2.水平角觀測的誤差分析(2)．半測回角值差的限差DJ6經(jīng)緯儀一方向一測回中誤差為6用表示方向，m=6,則半測回一方向中誤差（1）

．半測回歸零差的限差

歸零=A-A容=2m=24（3）．測回差的限差

允=2m測=24（4）

．n個(gè)角代數(shù)和的中誤差及其限差取測角中誤差m=10f容=半=L-Rf半=2

m半=34規(guī)范取f半=40半=b-a測=1-2§6-5等精度觀測的未知量估值及精度估值一.X未知時(shí),求未知量估值、精度估值設(shè)對某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測，其真值為Xn次獨(dú)立觀測l1l2l3……ln

真誤差123……ni=li-X[]=[l]-nX即：無窮多次觀測的算術(shù)平均值趨向于未知量的真值。N有限時(shí)，取其算術(shù)平均值作為未知量的估值，稱未知量的最或然值。即精度估值：由于X未知，故真誤差亦未知。實(shí)際應(yīng)用中，多利用觀測值的改正數(shù)來計(jì)算中誤差。

所以算術(shù)平均值中誤差：例：觀測值VVV

4532247.251.844532301.21.44453248-16.8282.2445321813.2174.24453236-4.823.040532.80求：xmmx

x=[L]/n=[L0+x]/n=L0+[x]/n=453230+(-6+0+18-12+6)/5=453230+1.2=453231.2m=[vv]/(n-1)=11.54mx=m/=5.16二.X已知求精度估值及其應(yīng)用則三角形閉合差：

wi=I-180(i=1,2,…n)應(yīng)用1：由三角形閉合差計(jì)算測角中誤差設(shè)等精度觀測了n個(gè)三角形，內(nèi)角和為i，(i=1,2,…n)，

又因?yàn)椋絣1+l2+l3，若觀測值的中誤差為m則又應(yīng)用2.用雙觀測列計(jì)算觀測值中誤差設(shè)對n個(gè)觀測量Xi(i=1,2,…n),各進(jìn)行了兩次等精度觀測，得兩組觀測值li’

，li,其差值為

di

=di

-0=i則差值的中誤差：因?yàn)閐i=li-li

設(shè)觀測值的中誤差為m，則又因?yàn)長i=(li

-li)/2則平均值的中誤差為：例題：在水準(zhǔn)點(diǎn)1～6點(diǎn)之間往返各測高差一次，各水準(zhǔn)點(diǎn)之間的間距為1km，各雙觀測值如下表所列，求每公里測量一次的中誤差和全長高差平均值的中誤差。水準(zhǔn)路線 高差雙觀測值往測l返測ld=l-l

dd

(mm) 1～2 -0.155 -0.158 +3 9 2～3 +1.626 +1.629 -3 9 3～4 +1.435 +1.430 +5 25 4～5 +0.505 +0.509 -4 16 5～6 -0.007 -0.005 -2 4 全長高差平均值的中誤差解：n＝5[dd]=63每公里測量一次的中誤差全長5km測量一次高差的中誤差最小二乘原理多余觀測的目的：發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，提高成果精度。多余觀測數(shù)r=n-t式中n為實(shí)際觀測數(shù)，t為必要觀測數(shù)。多余觀測的結(jié)果：觀測值之間產(chǎn)生矛盾。例：對一個(gè)三角形三內(nèi)角進(jìn)行觀測

r=3-2=1產(chǎn)生三角形閉合差=a+b+c-180

如何消除矛盾，求得未知量的最優(yōu)估計(jì)值？最小二乘原理設(shè)對n個(gè)量x1、x2、…xn分別進(jìn)行精度為1、2、…n的觀測，得觀測值L1、L2、…Ln，觀測值子樣來自不同的母體Li～N（Xi,i2）i=1、2…n,如何求Xi的最優(yōu)估值？按最大似然法討論Li的概率密度則L1、L2、…Ln聯(lián)合出現(xiàn)的概率密度為令L=max，即令代入即：[pvv]=min或：等精度觀測時(shí)，1=2=…=n=取=，.此時(shí)[vv]=min在測量平差中，觀測值的改正數(shù)滿足[pvv]=min的平差原則，稱最小二乘原理。6-6不等精度觀測的未知量估值及精度估值例：在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行了如下兩組觀測：

組別觀測值觀測值算術(shù)平均值平均值權(quán)中誤差中誤差

AL1mLA=(L1+L2)/2mA=m/L2mL’1mBL’2mLB=(L’1+L’2

mB=m/L’3m+L’3+L’4)/4L’4m

一、權(quán)與中誤差的關(guān)系1、權(quán)的意義：砝碼、秤跎權(quán)衡輕重，比較各觀測值的精度。2、定義：pi=μ2/mi2由定義知：μ一定時(shí)，pi與mi成反比。m大，p小，精度低權(quán)也是衡量精度高低的標(biāo)準(zhǔn)m小，p大，精度高

pimi2=μ2=C常數(shù)pi=1，μ=mi

意義：權(quán)為1的觀測值中誤差，稱單位權(quán)中誤差p恒為正，pi>0單一觀測值，P無意義。分析例1：取μ=1，PA=2/m2,