高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章空間向量與立體幾何 一等獎(jiǎng)

3.2.4二面角及其度量學(xué)案編號(hào)：GEXX2-1T3-2-4【學(xué)習(xí)要求】1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定義，會(huì)找一些簡單圖形中的二面角的平面角．2．掌握求二面角的基本方法、步驟．【學(xué)法指導(dǎo)】二面角可以通過作二面角的平面角來求，但作平面角比較困難，利用向量求二面角的平面角只需求出兩個(gè)平面的法向量，經(jīng)過簡單運(yùn)算即可，體現(xiàn)了向量的工具性.1．二面角的概念(1)二面角的定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．從一條直線出發(fā)的______________所組成的圖形叫做二面角．如圖所示，其中，直線l叫做二面角的______，每個(gè)半平面叫做二面角的______，如圖中的α，β.(2)二面角的記法：棱為l，兩個(gè)面分別為α，β的二面角，記作α—l—β.如圖，A∈α，B∈β，二面角也可以記作A—l—B.(3)二面角的平面角：在二面角α—l—β的棱上任取一點(diǎn)O，在兩半平面內(nèi)分別作射線OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角，如圖所示，由等角定理知，這個(gè)平面角與點(diǎn)O在l上的位置無關(guān)．(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．(5)二面角的范圍是[0°，180°]．2．用向量夾角來確定二面角性質(zhì)及其度量的方法(1)如圖，分別在二面角α—l—β的面α、β內(nèi)，并沿α、β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，則〈n1，n2〉等于該二面角的平面角．(2)如圖，設(shè)m1⊥α，m2⊥β，則〈m1，m2〉與該二面角相等或互補(bǔ).探究點(diǎn)一定義法求二面角問題1如何找二面角的平面角？問題2如何利用面積射影求二面角？例1如圖，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB＝BC，E是SC的中點(diǎn)，DE⊥SC交AC于D.求二面角E—BD—C的大?。?如圖，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一點(diǎn)，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A—VB—C的余弦值．探究點(diǎn)二用向量方法求二面角問題怎樣利用向量法求二面角？例2(教材P109例1)二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，則該二面角的大小為________．跟蹤2如圖所示，在120°的二面角α—AB—β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A、B.已知AC＝AB＝BD＝6，試求線段CD的長．例3如圖所示，在底面為直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，求平面SCD與平面SAB所成二面角α的正切值．跟蹤3在底面為平行四邊形的四棱錐P—ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中點(diǎn)，求二面角E—AC—D的大?。具_(dá)標(biāo)檢測】1．所示，已知二面角α—l—β的大小為60°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則直線m，n的夾角為()A．30° B．60°C．90° D．120°2．一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜．記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3.若屋頂斜面與水平面所成的二面角都是α，則 ()A．P3>P2>P1 B．P3>P2＝P1C．P3＝P2>P1 D．P3＝P2＝P13．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為__________．4．PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝eq\r(2).求二面角A—PB—C的余弦值．【課堂小結(jié)】二面角的求法：①定義法．②三垂線法，如圖A∈β，過A作AB⊥α于點(diǎn)B，在α內(nèi)作BO⊥l于點(diǎn)O，連接AO，則由三垂線定理知AO⊥l，故∠AOB是二面角α—l—β的平面角．③用公式cosθ＝eq\f(S′,S),其中S′為射影面積，S為原圖形面積．④利用向量夾角公式求〈eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))〉．⑤用法向量，若二面角α—l—β的大小為θ，其兩半平面的法向量分別為n1、n2，其夾角為φ，則θ＝φ或θ＝π－φ.一定要注意檢驗(yàn).3.2.4二面角及其度量一、基礎(chǔ)過關(guān)1．一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)面，那么這兩個(gè)二面角()A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．不確定2．若分別與一個(gè)二面角的兩個(gè)面平行的向量m＝(－1，2,0)，n＝(1,0，－2)，且m、n都與二面角的棱垂直，則二面角的正弦值為 ()\f(1,5) \f(\r(24),5)\f(1,4) \f(\r(15),4)3．二面角α—l—β中，平面α的一個(gè)法向量n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，－\r(2)))，平面β的一個(gè)法向量n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\r(2)))，則二面角α—l—β的大小為 ()A．120° B．150°C．30°或150° D．60°或120°4.在正方體AC1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的二面角的余弦值為()A．－eq\f(1,2) \f(2,3)\f(\r(3),3) \f(\r(2),2)5．平面α的一個(gè)法向量n1＝(1,0,1)，平面β的一個(gè)法向量n2＝(－3,1,3)，則α與β所成的角是_____．6．已知A∈α，P?α，eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，\r(2)))，平面α的一個(gè)法向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，－\r(2)))，則直線PA與平面α所成的角為________．二、能力提升7．在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將菱形沿對(duì)角線AC折起，使折起后BD＝1，則二面角B—AC—D的余弦值為 ()\f(1,3) \f(1,2) \f(2\r(3),3) \f(\r(3),2)8．A、B是二面角α—l—β的棱l上兩點(diǎn)，P是平面β上一點(diǎn)，PB⊥l于B，PA與l成45°角，PA與平面α成30°角，則二面角α—l—β的大小是 ()A．30°B．60°C．45°D．75°9.如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處．從A，B到直線l(庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為a和b，CD的長為c，AB的長為d.水庫底與水壩所成二面角的余弦值為________．10.如圖，已知四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，PA＝AB＝a，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)．(1)求BP與DM所成的角的大??；(2)求二面角M—DA—C的大小．11.如圖，四棱錐F—ABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線AC＝2，B