高等數(shù)學(xué)BIT84重積分應(yīng)用

期中考試時(shí)間定于5月5日，考試范圍6，7，8章

(具體時(shí)間，地點(diǎn)另通知）

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含參積分連續(xù)性表明:定義在閉矩形域上的連續(xù)函數(shù),其極限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序是可交換的.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束含參積分可積性表明:累次積分可交換求積順序,例.解:由被積函數(shù)的特點(diǎn)想到積分:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理3.(可導(dǎo)性)都在證:

令函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因上式左邊的變上限積分可導(dǎo),因此右邊且有此定理說(shuō)明,被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在閉矩形域上連續(xù)時(shí),求導(dǎo)與求積運(yùn)算是可以交換順序的.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例.解:考慮含參變量t

的積分所確定的函數(shù)顯然,由于機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故因此得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、積分限含參變量的積分在實(shí)際問(wèn)題中,常遇到積分限含參變量的情形,例如,為定義在區(qū)域

上的連續(xù)函數(shù),則也是參變量x

的函數(shù),其定義域?yàn)閇a,b].利用前面的定理可推出這種含參積分的性質(zhì).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理4.(連續(xù)性)上連續(xù),則函數(shù)證:令則由于被積函數(shù)在矩形域上連續(xù),由定理1知,上述積分確定的函數(shù)定理5.(可微性)都在中的可微函數(shù),則證:令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及變限積分求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.驗(yàn)證當(dāng)|x|充分小時(shí),函數(shù)的n

階導(dǎo)數(shù)存在,且證:令

在原點(diǎn)的某個(gè)閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù),

由定理5可得即同理當(dāng)x=0時(shí)，有含參量反常積分設(shè)是定義在無(wú)界區(qū)域上,若對(duì)每一個(gè)固定的,反常積分都收斂,則它的值是在區(qū)間上取值的函數(shù),表為稱為定義在上的含參量的無(wú)窮限反常積分,或簡(jiǎn)稱為含參量反常積分.1.積分順序交換定理2.積分號(hào)下求導(dǎo)的定理例6計(jì)算積分

解

令

在第二項(xiàng)積分中令

得故

四、重積分的應(yīng)用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體積質(zhì)量,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,質(zhì)心,引力證明某些結(jié)論等

2.物理方面3.其它方面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)所求量是對(duì)區(qū)域具有可加性

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點(diǎn)

畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便2.用重積分解決問(wèn)題的方法

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、立體的體積二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體的體積．

占有空間有界域

的立體的體積為例1

求球體被圓柱面所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。解顯然，所求立體應(yīng)在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四個(gè)卦限部分的體積是對(duì)稱相等的。因此，若設(shè)第一卦限部分的體積為V1

，則所求立體的體積為V1

可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為它的底D由半圓周及x

軸圍成。用極坐標(biāo)系表示于是，所求立體體積另解：V=4V1yzxzyxD二、面積1.平面圖形面積例1.

求由拋物線y=(x2)2+1,直線y=2x所圍圖形的面積.解：y=(x2)2+1y=2x(1,2),(5,10)y=2xy=(x2)2+110012525１．設(shè)曲面的方程為：如圖，2.曲面面積思考問(wèn)題---曲面

S的面積元素曲面面積公式為：３．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得注：1、確定投影區(qū)域、曲面方程

2、計(jì)算曲面微元

3、計(jì)算二重積分若光滑曲面方程為隱式則且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1：求球面x2+y2+z2=a2含在圓柱面x2+y2=ax(a>0)內(nèi)部的那部分面積.yzx解：A=4A1:Dxy:x2+y2≤ax,y≥0.zyxDxyzyxDxyA=4A1=2(2)a2例2.求由拋物線z=x2

上從x=1到x=2的一段繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.解：:z=x2+y2Dxy:1≤x2+y2≤2z=x2201xyzDxy例3.求半徑相等且對(duì)稱軸垂直相交的兩個(gè)圓柱體的公共部分的表面積.解:

設(shè)兩個(gè)圓柱體的方程為利用對(duì)稱性,立體的表面積其在第一象限內(nèi)公共部分的表面積如圖所示。部分的曲面方程為投影區(qū)域?yàn)榈糜捎啥?、物體的質(zhì)心

設(shè)xoy平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于),(11yx，),(22yx，,L),(nnyx處，質(zhì)量分別為nmmm,,,21L．則該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的坐標(biāo)為

??====niiniiiymxmMMx11，

??====niiniiixmymMMy11．2.質(zhì)心坐標(biāo)的計(jì)算設(shè)薄板形成的有界區(qū)域?yàn)镈,密度

(x,y)問(wèn)題:計(jì)算變密度平面薄板的質(zhì)心坐標(biāo)將D劃分成n

個(gè)子區(qū)域:當(dāng)i

充分小時(shí),密度

(x,y)在i

上近似不變?nèi)稳∮?則有薄板的質(zhì)心坐標(biāo):(1)若(x,y)=c,此時(shí)稱為圖形D的形心坐標(biāo)解例求曲面與曲面所界區(qū)域的重心坐標(biāo)(設(shè)密度為常數(shù))重心坐標(biāo)為由于Ω關(guān)于

yz,xz

平面對(duì)稱利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分Ω在

xoy

平面上的投影區(qū)域:重心坐標(biāo)解:只需求質(zhì)點(diǎn)A

對(duì)于軸l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J

慣量可用積分計(jì)算.質(zhì)點(diǎn)組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)和A

與轉(zhuǎn)動(dòng)軸l

的距離r

的平方的乘積,即

三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)等于A

的質(zhì)量m

設(shè)在該物體位于(x,y,z)處取一微元，因此該物體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為其體積記為dV

，質(zhì)量為

到z

軸的距離為從而為空間物體V

的密度函數(shù)，求V

對(duì)

z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.類似可得:對(duì)x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般說(shuō)來(lái)，若V

中的點(diǎn)(x,y,z)到轉(zhuǎn)動(dòng)軸l

的距離為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為對(duì)坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為對(duì)xy

平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)yz

平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)xz

平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如果物體D

是平面薄片,

面密度為

則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.一般說(shuō)來(lái)，若D

中的點(diǎn)(x,y)到轉(zhuǎn)動(dòng)軸l

的距離為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例4求密度均勻的圓環(huán)D

對(duì)于垂直于圓環(huán)面中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解設(shè)圓環(huán)D

為密度為ρ，則D

中任一點(diǎn)

(x,y)與轉(zhuǎn)軸的距離為于是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解:

取球心為原點(diǎn),z軸為l

軸,則球體的質(zhì)量例.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求密度為的物體V

對(duì)物體外質(zhì)量為1的的單位質(zhì)點(diǎn)A

的引力在該物體位于(x,y,z)處取一微元，其體積記為dV

，質(zhì)量為

對(duì)質(zhì)點(diǎn)A

的引力為設(shè)A

點(diǎn)的坐標(biāo)為四、引力該引力在坐標(biāo)軸上的投影為其中k

為引力常數(shù)，于是所求力在坐標(biāo)軸上的投影分別為所以例7.求密度ρ

的均勻球體V

：的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.

解:

利用對(duì)稱性知引力分量對(duì)位于點(diǎn)解由積分區(qū)域的對(duì)稱性知例

求面密度為常量、半徑為R的均勻圓形薄片：222