高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)與方程 全國一等獎

幾類不同增長的函數(shù)模型一、課前準(zhǔn)備1．課時目標(biāo)1、借助繪圖技術(shù)，利用函數(shù)圖像及數(shù)據(jù)表格，比較一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的增長差異；2、結(jié)合實(shí)例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；3、重點(diǎn)體會現(xiàn)代信息技術(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，利用手持技術(shù)比較一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)模型的增長差異，結(jié)合實(shí)例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。2．基礎(chǔ)預(yù)探1、實(shí)際應(yīng)用問題的解答關(guān)鍵是、解模并返回到實(shí)際問題；2、教材中例1、例2分別是和模型的應(yīng)用；3、我們學(xué)過的函數(shù)模型類型由、、、等。二、基本知識習(xí)題化1.某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個……，現(xiàn)有2個這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到的細(xì)胞個數(shù)y為（）.A．B.y=2C.y=2D.y=2x2.某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系，可選用（）.A.一次函數(shù)B.二次函數(shù)C.指數(shù)型函數(shù)D.對數(shù)型函數(shù)3.某新品電視投放市場后第1個月銷售100臺，第2個月銷售200臺，第3個月銷售400臺，第4個月銷售790臺，則銷量y與投放市場的月數(shù)x之間的關(guān)系可寫成.5.某種計算機(jī)病毒是通過電子郵件進(jìn)行傳播的，如果某臺計算機(jī)感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時，這臺計算機(jī)都可能感染沒被感染的20臺計算機(jī).現(xiàn)在10臺計算機(jī)在第1輪病毒發(fā)作時被感染，問在第5輪病毒發(fā)作時可能有臺計算機(jī)被感染.（用式子表示）三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1.兩類實(shí)際問題：投資回報、設(shè)計獎勵方案；2.幾種函數(shù)模型：一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)；3.應(yīng)用建模（函數(shù)模型）；4.解決應(yīng)用題的一般程序：⑴審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；⑵建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；⑶解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；⑷還原：將用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問題的意義。選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實(shí)際問題的方法。5.基本流程理論探究1：（同種函數(shù)模型不同增長速度）實(shí)例1（同種函數(shù)模型不同增長速度）理論探究1：（同種函數(shù)模型不同增長速度）實(shí)例1（同種函數(shù)模型不同增長速度）實(shí)際到生活實(shí)際到生活特殊到一般特殊到一般理論探究2：（不同種函數(shù)模型增長速度）實(shí)例2（不同種函數(shù)模型增長速度）理論探究2：（不同種函數(shù)模型增長速度）實(shí)例2（不同種函數(shù)模型增長速度）四、典例導(dǎo)析1、根據(jù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題：例1、某種商品現(xiàn)在定價每年p元，每月賣出n件，因而現(xiàn)在每月售貨總金額np元，設(shè)定價上漲x成，賣出數(shù)量減少y成，售貨總金額變成現(xiàn)在的z倍．（1）用x和y表示z.（2）若y=x，求使售貨總金額有所增加的x值的范圍．思路導(dǎo)析：根根題設(shè)條件，建立變量的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)模型求解。解：由題意得（1）npz=p（1+）·n（1－）∴z=，（2）當(dāng)y=x時，z=，由z＞1，得＞1，x（x－5）＜0，∴0＜x＜5規(guī)律總結(jié)：找出實(shí)際問題中涉及的函數(shù)變量→引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)變量間的關(guān)系建立函數(shù)模型→利用模型解決實(shí)際問題→二次函數(shù)模型。變式練習(xí)1、某商場購進(jìn)一批單價為6元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多利潤，商場決定提高銷售價格.經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價格銷售時，每月能賣360件，若按25元的價格銷售時，每月能賣210件，假定每月銷售件數(shù)y（件）是價格x（元/件）的一次函數(shù).（1）試求y與x之間的關(guān)系式；（2）在商品不積壓，且不考慮其它因素的條件下，問銷售價格定為多少時，才能時每月獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？2、選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解題：例2、某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加但獎金不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個獎勵模型：；；.問：其中哪個模型能符合公司的要求？思路導(dǎo)析：利用三個函數(shù)的圖象，進(jìn)行數(shù)值的模擬計算，選擇更加恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型。解析：作出三個函數(shù)的圖象，利用圖象模擬函數(shù)：規(guī)律總結(jié)：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，通過建立函數(shù)模型，解決實(shí)際問題的基本過程：收集數(shù)據(jù)→畫散點(diǎn)圖→選擇函數(shù)模型→求函數(shù)模型→檢驗→符合實(shí)際，用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題；不符合實(shí)際，則重新選擇函數(shù)模型，直到符合實(shí)際變式練習(xí)2、如圖，是某受污染的湖泊在自然凈化過程中，某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時間t（月）的近似函數(shù)關(guān)系：(t≥0，a>0且a≠1)．有以下敘述第4個月時，剩留量就會低于；每月減少的有害物質(zhì)量都相等；若剩留量為所經(jīng)過的時間分別是，則.其中所有正確的敘述是.OO1234y1t(月)五、隨堂練習(xí)1.某工廠簽訂了供貨合同后組織工人生產(chǎn)某貨物，生產(chǎn)了一段時間后，由于訂貨商想再多訂一些，但供貨時間不變，該工廠便組織工人加班生產(chǎn)，能反映該工廠生產(chǎn)的貨物數(shù)量y與時間x的函數(shù)圖象大致是（）.2.下列函數(shù)中隨增大而增大速度最快的是（）.A．B．C．D．3.根據(jù)三個函數(shù)給出以下命題：（1）在其定義域上都是增函數(shù)；（2）的增長速度始終不變；（3）的增長速度越來越快；（4）的增長速度越來越快；（5）的增長速度越來越慢。其中正確的命題個數(shù)為（）.A.2B.3C.4D.54.當(dāng)?shù)拇笮￡P(guān)系是.5.某服裝個體戶在進(jìn)一批服裝時，進(jìn)價已按原價打了七五折，他打算對該服裝定一新價標(biāo)在價目卡上，并注明按該價20%銷售.這樣，仍可獲得25%的純利.求此個體戶給這批服裝定的新標(biāo)價與原標(biāo)價之間的函數(shù)關(guān)系.六、課后作業(yè)1、已知鐳經(jīng)過100年，質(zhì)量便比原來減少％，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過年后的剩留量為，則的函數(shù)解析式為.2、某新型電子產(chǎn)品2023年投產(chǎn),計劃2023年使其成本降低36℅.則平均每年應(yīng)降低成本℅.3、有40米的籬笆在一25米長的墻邊靠墻圍成一面積是200平方米的矩形場地，則此矩形場地的長寬分別是4、某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，并且生產(chǎn)量每增加一單位產(chǎn)品，成本增加1萬元，又知總收入R是單位產(chǎn)量Q的函數(shù)：R（Q）=4Q-1200Q2，則總利潤L（Q）的最大值是萬元，這時產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為．（總利潤=總收入-成本）5.洪山縣從2000年開始實(shí)施退耕還林，每年退耕還林的面積如下表：

①上表反映的是哪兩個變量之間的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？

②從表中可知，隨時間的變化，退耕還林面積的變化趨勢是什么？

③從2000年到2023年底，洪山縣已完成退耕還林面積多少畝？幾類不同增長的函數(shù)模型一、課前準(zhǔn)備2．基礎(chǔ)預(yù)探1、審清題意、建立模型2、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)3、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指對函數(shù)、冪函數(shù)等二、基本知識習(xí)題化1.解析：由題意可知，當(dāng)時，，經(jīng)驗證，答案選A。2.解析：由題意得，與的函數(shù)關(guān)系是遞增變慢得一個函數(shù)模型，故選D。3.解析：由題意可得，此函數(shù)可選擇一個指數(shù)函數(shù)進(jìn)行模擬，如。4.解析：由題意得，，所以，可根據(jù)函數(shù)，所以，當(dāng)?shù)?。四、典例?dǎo)析變式練習(xí)1、解析：（1）（2）由題意得，設(shè)利潤為S，則S關(guān)于x的表達(dá)式為所以，當(dāng)時，利潤有最大值50702、解析：由題意得，函數(shù)的解析式為（）（1）當(dāng)時，；（2）不正確，每月的減少量不相等；（3）當(dāng)時，即，所以，故（1）（3）正確。五、隨堂練習(xí)1.解析：根據(jù)函數(shù)的變化趨勢，應(yīng)為一次函數(shù)式，先慢后快得形式，故選B。2.解析：根據(jù)函數(shù)的變化趨勢，應(yīng)為冪函數(shù)變化速度最快，故選C3.解析：由題意得（1）正確；（2）中一次函數(shù)的增長是恒定的，始終不變；（4）指數(shù)函數(shù)的增長越來愈快，正確；（5）中，對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢。故選C。4.當(dāng)?shù)拇笮￡P(guān)系是.5.解：設(shè)新價為b元，則銷售價為（1-20%）b，進(jìn)價為a（1-25%），（1-20%）b-（1-25%）a是每件的純利．

∴（1-20%）b-（1-25%）a=（1-20%）b×25%

則45b-34a=15b

∴b=54a

設(shè)新價讓利總額為y（元），售出貨物為x件，則

y=20%bx=20%×54ax=14ax．

故此商人經(jīng)銷這種貨物時按新價讓利總額與貨物售出件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=14ax．六、課后作業(yè)1、解：由題意可得，對于函數(shù)，當(dāng)x=100時，y=%=，結(jié)合選項檢驗所以2、解：設(shè)平均每年降低x，（1-x）2=1-36%解得x=20%或x=180%（舍去）．故平均每年降低20%．3、解：設(shè)矩形場地的寬為x米，則長為（40-2x）米，依題意得x（40-2x）=200解方程得x1=x2=1040-2x=20＜25，符合題意所以矩形場地的長