近世代數(shù)課后習(xí)題參

近世代數(shù)課后習(xí)題參考答第一 基本概

集BA,BA的真子集,這個(gè)情況什么時(shí)候才能出現(xiàn)?解?AB時(shí),才能出現(xiàn)題中說(shuō)述情況.證明如下當(dāng)AB,但B不是A的真子集,可知凡是屬于A而aB,顯然BA,BA的真子集,AB,AAB,AB 這是因?yàn)锳∩B=AABAA∩B=A,ABA,ABBABABB,ABB映解 此時(shí)1(a1,a2)12(a1,a2)

易證1,2AAA的映射在你為習(xí)題1所找到的映射之下,是不是A的每一個(gè)元都是AA到A的一個(gè)元的的象?解?容易說(shuō)明在1之下,AAA的任何元的象;容易驗(yàn)證在2之下,A的每個(gè)AA的象.代數(shù)運(yùn)A={所有不等于零的偶數(shù)}.D,使得普通除法AAD的代數(shù)運(yùn)算;D?解?D為全體有理數(shù)集,AAD的代數(shù)運(yùn)算;D不 b aaaaac bbcdaaaaa結(jié)合A={所有不等于零的實(shí)數(shù)是普通除法aba.這個(gè)代數(shù)運(yùn)算適合不適合結(jié)合律b解 (11)212

1(12)

(11)21(12)A={所有實(shí)數(shù)}. (a,b)a2bab這個(gè)代數(shù)運(yùn)算適合不適合結(jié)合律解 (ab)ca2b2c,a(bc)a2b(abcab 除非c0Aa,bc}, 解 經(jīng)過(guò)27個(gè)結(jié)合等式后可以得出所給的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律交換A={所有實(shí)數(shù)是普通減法abab.這個(gè)代數(shù)運(yùn)算適合不適合交換律解 一般地abb 除非abAa,b,cd,abcdaabcdbbdacccabdddcab所給出代數(shù)運(yùn)算適合不適合交換律解 cdd dc從而cddc.故所給的代數(shù)運(yùn)算不適合交換律分配假定,A的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算,并且適合結(jié)合律,適合兩個(gè)分配律.(a1b1)(a1b2)(a2b1)(a2b2(a1b1)(a2b1)(a1b2)(a2b2證(a1b1(a1b2(a2b1(a2b2=[a1(b1b2)][a2(b1b2(a1b1)(a2b1)(a1b2)(a2b2映射、變 A={所有0的實(shí)數(shù)},A{所有實(shí)數(shù)}.A

間的意義映射證aalog

a是大于零的實(shí)數(shù),所以loga 即aA,aA,ablogalogb.因此AA的映射

a,A的元a,滿足logaa,因此AA的滿射aalog

bblog 若ab,則logalogb.

aba

因此AA的單射.總之A到的一一映射 A={所有0的實(shí)數(shù)},A{所有實(shí)數(shù)a0a1}.A

的滿射證aasin

,容易驗(yàn)證AA的滿射假定A與間的一個(gè)一一映射,aA的一個(gè)元.1[A[1(a若A的一個(gè)一一變換,這兩個(gè)問(wèn)題的回答又該是什么解?1[(a)]a [1(a)]a未必有意義;當(dāng)是A的一一變換時(shí)同A={x},A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法.AA的同態(tài)滿射x b)x c)x

x證?a)A{所有0的實(shí)數(shù)}.

xyxyxxxAA的同態(tài)滿射xy2xy(2x)(2射

(xy

x2xA

由于xy(xy)2(x)2(y)2,xx2是A到的同態(tài)滿射.這0的實(shí)數(shù)

A={所d一般來(lái)說(shuō)xy(x)(y,:xxA.

AA對(duì)于代數(shù)運(yùn)算和來(lái)說(shuō)同態(tài)，和對(duì)于代數(shù)運(yùn)算和 證明AA對(duì)于代數(shù)運(yùn)算和 證:用1:令

a 表示A到A的同態(tài)滿射, a aa2[(a)1,容易驗(yàn)證AA

AA的 ab2[1(ab)]2[(ab)]a所以A

的關(guān)于代數(shù)運(yùn)算,來(lái)說(shuō)的同態(tài)滿射同構(gòu)、自同Aa,bc},代數(shù)運(yùn)算 找出所有A的一一變換.對(duì)于代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō),這些一一變換是否是的子同構(gòu)證:A的一一變換有61:abc2:abc3:abc4:abc5:abc6:abc容易驗(yàn)證1及2A的子同構(gòu)(xx證:x2x,A的一個(gè)子同構(gòu),驗(yàn)證這一點(diǎn)是容易的A{所有有理數(shù)};A的代數(shù)運(yùn)算是普通加法.A{所有0的有理數(shù)A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法,A0

AA間有同構(gòu)映射存在,先看在之下0 0 再看在之下某一元a的象aa,那 0aa0a 0aa.所 a0a a 故必a01 即0對(duì)1A來(lái)說(shuō),在x0A,x由于是一同構(gòu)映射,xx2x1(但又知,01,故2x0,從而x0,與x0等價(jià)關(guān)系與集合的分A={所有實(shí)數(shù)},A的元間的關(guān)系以及是不是等價(jià)關(guān)系解?>不是等價(jià)關(guān)系,因?yàn)閍不大于a 不是等價(jià)關(guān)系,因?yàn)?1但1不大于等于2有人說(shuō):R適合對(duì)稱和推移