自動(dòng)控制理論第七章 非線性系統(tǒng)

第七章非線性系統(tǒng)的分析系統(tǒng)的非線性程度比較嚴(yán)重，無法用小范圍線性化方法化為線性系統(tǒng)，稱為非線性系統(tǒng)。有兩種情況：

（1）系統(tǒng)中存在非線性元件；（2）為了某種控制目的，人為引進(jìn)的非線性。7.1基本概念1、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應(yīng)的性質(zhì)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而和系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應(yīng)的性質(zhì)不僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而且還與輸入信號(hào)及初始條件有關(guān)。即可能在某個(gè)初始條件下穩(wěn)定，而在另一個(gè)初始條件下系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。2、線性系統(tǒng)只有兩種基本運(yùn)動(dòng)形式：發(fā)散（不穩(wěn)定）和收斂（穩(wěn)定）。非線性系統(tǒng)除了發(fā)散和收斂?jī)煞N運(yùn)動(dòng)形式外，即使無外界作用，也可能會(huì)發(fā)生自持振蕩。一、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)3、在正弦輸入下，線性系統(tǒng)的輸出是同頻率正弦信號(hào)。非線性系統(tǒng)在正弦輸入下，輸出是周期和輸入相同、含有高次諧波的非正弦信號(hào)。4、線性系統(tǒng)分析可用迭加原理，在典型輸入信號(hào)下系統(tǒng)分析的結(jié)果也適用于其它情況。非線性系統(tǒng)不能應(yīng)用迭加原理，沒有一種通用的方法來處理各種非線性問題。對(duì)非線性系統(tǒng)分析研究的重點(diǎn)是：（1）系統(tǒng)是否穩(wěn)定；（2）有無自持振蕩；（3）若存在自持振蕩，確定自持振蕩的頻率和振幅；（4）研究消除或減弱自持振蕩的方法。二、典型非線性系統(tǒng)及對(duì)系統(tǒng)性能的影響1、死區(qū)非線性常見于測(cè)量、放大元件中。死區(qū)非線性特性導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，且用提高增量的方法也無法消除。2、飽和非線性常見于放大器中，在大信號(hào)作用下，放大倍數(shù)小，因而降低了穩(wěn)態(tài)精度。3、間隙非線性常見于齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、鐵磁元件的磁滯現(xiàn)象。可使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大，也使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性變差。4、繼電器特性繼電器特性中包含了死區(qū)、回環(huán)和飽和特性，因此對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、暫態(tài)性能和穩(wěn)定性都有不利影響。三、非線性系統(tǒng)的分析方法1、相平面法時(shí)域方法2、描述函數(shù)法頻域方法相平面法是一種時(shí)域分析方法。設(shè)非線性系統(tǒng)框圖如圖所示，其中N表示非線性環(huán)節(jié)，G(S)是線性部分的傳遞函數(shù)。7.2非線性系統(tǒng)的相平面分析方法用相平面法分析非線性系統(tǒng)，線性部分傳遞函數(shù)G(S)必須是二階。線性二階系統(tǒng)的齊次微分方程為：相平面圖是在平面中，繪制隨時(shí)間t變化的軌跡，稱為相軌跡。相軌跡的起點(diǎn)是。奇點(diǎn)是指的點(diǎn)。根據(jù)奇點(diǎn)附近相軌跡的特征，奇點(diǎn)有不同名稱，據(jù)此可判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。一、線性二階系統(tǒng)奇點(diǎn)的類型1、無阻尼運(yùn)動(dòng)二階系統(tǒng)的極點(diǎn)分布和相平面圖如下無阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)，二階系統(tǒng)的相平面圖是一族同心橢圓，每個(gè)橢圓代表一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。這樣的奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。2、欠阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是衰減振蕩。相軌跡是對(duì)數(shù)螺旋線，收斂于原點(diǎn)。奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定焦點(diǎn)。3、過阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是非周期地趨向于原點(diǎn)。相軌跡是趨于原點(diǎn)的拋物線，原點(diǎn)是奇點(diǎn)，稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。4、系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散振蕩。相軌跡是以原點(diǎn)出發(fā)的螺旋線，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。5、

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是非周期發(fā)散運(yùn)動(dòng)。相軌跡是由原點(diǎn)出發(fā)的發(fā)散型拋物線。原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。6、是對(duì)稱于原點(diǎn)的實(shí)數(shù)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。以上6種奇點(diǎn)，類似的奇點(diǎn)在非線性系統(tǒng)中也常見到。二、非線性系統(tǒng)的相平面分析借助Matlab等軟件工具可以方便地繪制非線性系統(tǒng)的相平面圖。例1：有死區(qū)繼電器非線性的系統(tǒng)框圖如下系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)，該二階系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率，阻尼比，根據(jù)前面對(duì)奇點(diǎn)的分類，可知為穩(wěn)定焦點(diǎn)。二、非線性系統(tǒng)的相平面分析繼電器的輸入－輸出關(guān)系為在平面，根據(jù)繼電器的非線性特性，可分為三個(gè)區(qū)域，

設(shè)初始狀態(tài)，，繪制相軌跡如圖所示，(設(shè)r=3)

根據(jù)系統(tǒng)的相軌跡，可對(duì)系統(tǒng)的性能分析如下：2、相軌跡最后沒有到達(dá)原點(diǎn)，即，說明系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下，存在穩(wěn)態(tài)誤差，引起穩(wěn)態(tài)誤差的原因是死區(qū)繼電器特性。系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)表明，系統(tǒng)是Ⅰ型系統(tǒng)，對(duì)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)為0，可見死區(qū)繼電器非線性對(duì)穩(wěn)態(tài)精度的影響。1、系統(tǒng)的相軌跡收斂于A點(diǎn)，是穩(wěn)定的，奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。e是單調(diào)衰減的。例2：非線性系統(tǒng)框圖如下其中繼電器回環(huán)特性的參數(shù)M=0.2，a=0.2。系統(tǒng)的線性部分是欠阻尼情況，奇點(diǎn)是穩(wěn)定焦點(diǎn)。非線性環(huán)節(jié)的輸入－輸出關(guān)系為y＝

M

或－M

或根據(jù)上述關(guān)系，可將平面分為二個(gè)區(qū)域。分別繪制初始狀態(tài)分別為和的兩條相軌跡。從圖知，無論從哪一組初始條件出發(fā)，相軌跡均收斂于極限環(huán)，這是一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，意味著系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。一般不希望系統(tǒng)有自持振蕩。當(dāng)振蕩難以消除時(shí)，應(yīng)盡量將振蕩限制在一個(gè)較小的、可以接收的范圍內(nèi)。實(shí)際上，對(duì)于此系統(tǒng)，通過減少繼電器回環(huán)的寬度a，可減小振蕩。相平面法是分析非線性系統(tǒng)的一種時(shí)域法、圖解法，不僅可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩（極限環(huán)），而且可以求取系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。這種方法只運(yùn)用于二階系統(tǒng)，但由于一般高階系統(tǒng)又可用二階系統(tǒng)來近似，因此相平面法也可用于高階系統(tǒng)的近似分析。

7.3描述函數(shù)法描述函數(shù)是非線性特性的一種近似表示，是一種諧波線性化方法，忽略非線性環(huán)節(jié)輸出中的高次諧波，用基波分量表示其輸出。描述函數(shù)法主要用于分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、自振蕩特性及消除自振蕩的方法。雖然是一種近似方法,但對(duì)常見實(shí)際非線性系統(tǒng)而言,分析結(jié)果基本滿足工程需要,在非線性系統(tǒng)分析及設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用。設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入為：其輸出的穩(wěn)定分量y是與x同周期的非正弦周期信號(hào)，可用傅氏級(jí)數(shù)表示：式中由于y的高次諧波幅值小于基波幅值，且系統(tǒng)的線性部分都具有低通濾波性質(zhì)，可以假設(shè)只有基波分量起作用，而將高次諧波忽略不計(jì)。設(shè)非線性特性為對(duì)稱型，則傅氏級(jí)數(shù)中的直流分量y的基波為非線性特性的描述函數(shù)定義為這是一個(gè)復(fù)函數(shù)，模為輸出基波幅值與輸入幅值之比，相角是輸出基波對(duì)輸入的相位移。描述函數(shù)N(X)表示了當(dāng)x為正弦信號(hào)時(shí)，輸出基波分量與x在幅值和相位上的關(guān)系。一、描述函數(shù)的定義1、死區(qū)非線性的描述函數(shù)二、典型非線性特性的描述函數(shù)2、理想繼電器非線性的描述函數(shù)表7-1常見非線性特性描述函數(shù)許多包含非線性環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng),經(jīng)過對(duì)方框圖的變換及簡(jiǎn)化,都可以表示成由線性部分G（s）（低通濾波器）與非線性部分N相串聯(lián)的系統(tǒng)。如圖所示對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí),必然要分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及是否產(chǎn)生自振蕩。非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)7.4非線性系統(tǒng)的諧波平衡法分析描述函數(shù)法對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性、產(chǎn)生自振蕩的條件、自振蕩的振幅及頻率、消除自振蕩的途徑等問題,都可得出較為符合實(shí)際的結(jié)果。自振蕩是非線性系統(tǒng)內(nèi)部自發(fā)的持續(xù)振蕩,與外加給定信號(hào)及干擾信號(hào)無關(guān),可認(rèn)為r(t)=0,n(t)=0。和相平面法不同，諧波平衡法對(duì)非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行諧波線性化處理，允許線性部分是任意階次。非線性系統(tǒng)的特征方程為即：稱為描述函數(shù)的負(fù)倒幅特性。如果滿足上式，表示與有交點(diǎn)，此時(shí)非線性系統(tǒng)將出現(xiàn)自持振蕩，這相當(dāng)于線性系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖在復(fù)平面中穿過（－1，j0）點(diǎn)。將非線性的負(fù)倒幅特性和線性部分的極坐標(biāo)圖繪制在一個(gè)復(fù)平面中，根據(jù)二者的相對(duì)位置可分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定一、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定三、非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩圖示系統(tǒng)在a點(diǎn)產(chǎn)生穩(wěn)定的自持振蕩。由交點(diǎn)可確定自持振蕩的頻率和幅值。二、非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定二、非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定三、非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩

例：，是與負(fù)實(shí)軸重合的直線。結(jié)論：該非線性系統(tǒng)存在自持振蕩，振蕩頻率為，振幅為2.1。描述函數(shù)法是一種頻域法，基于諧波線性化的近似分析方法。其基本思想是首先通過描述函數(shù)將非線性環(huán)節(jié)線性化，然后應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。描述函數(shù)法在應(yīng)用時(shí)是有條件限制的，其應(yīng)用條件是：（i）非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡(jiǎn)化成只有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分串聯(lián)的典型負(fù)反饋結(jié)構(gòu)。若不是這種典型結(jié)構(gòu)，則必需首先利用系統(tǒng)中信號(hào)間的傳遞關(guān)系簡(jiǎn)化成這種典型結(jié)構(gòu)，才能應(yīng)用描述函數(shù)法做進(jìn)一步的分析。（ii）非線性環(huán)節(jié)的靜特性曲線是奇對(duì)稱的。（iii）線性部分應(yīng)具有良好的高頻衰減特性。（iv）只能用來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。

（i）首先求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N(X)。（ii）分別畫出線性部分的G(j)曲線和非線性部分的1/N(X)曲線。（iii）用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性和自振蕩，若存在穩(wěn)定的自振蕩，則進(jìn)一步求出自振蕩的振幅和頻率。描述函數(shù)法分析穩(wěn)定性和自振蕩的一般步驟是：特別強(qiáng)調(diào)的是，應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)，其結(jié)果的準(zhǔn)確程度取決于線性部分高頻衰減特性的強(qiáng)弱。在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上，取決于L()曲線高頻段的斜率和位置，其高頻段斜率越負(fù)，位置越低，高頻衰減特性越強(qiáng)，分析結(jié)果就越準(zhǔn)確。

非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)是十分豐富的，非線性系統(tǒng)的本質(zhì)特征是不滿足疊加原理。直到現(xiàn)在非線性系統(tǒng)理論的研究還在不斷進(jìn)行中，目前由于缺少處理各種非線性問題的一般方法，非線性系統(tǒng)研究的重點(diǎn)通常在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析上，討論非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能問題的條件尚不成熟。

第七章小結(jié)1、基本要求通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)該達(dá)到：（1）正確理解相平面圖的基本概念。（2）熟練掌握線性二階系統(tǒng)的典型相平面圖及其特征。（3）掌握運(yùn)用相平面法分析非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的方法和步驟。（4）正確理解描述函數(shù)的基本思想和應(yīng)用條件。（5）準(zhǔn)確理解描述函數(shù)的定義、物理意義和求法，并會(huì)靈活應(yīng)用。（6）熟練掌握理想繼電特性、死區(qū)繼電特性、滯環(huán)繼電特性和死區(qū)特性等典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，并會(huì)運(yùn)用典型非線性特性的串并聯(lián)分解求取復(fù)雜非線性特性的描述函數(shù)。（7）熟練掌握運(yùn)用諧波平衡法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩的方法和步驟，并能正確計(jì)算自振蕩的振幅和頻率。2．內(nèi)容提要及小結(jié)本章介紹了非線性系統(tǒng)的兩種基本分析方法：相平面法和諧波平衡法。（1）相平面法是分析非線性系統(tǒng)的一種時(shí)域法、圖解法，不僅可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩（極限環(huán)），而且可以求取系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。這種方法只運(yùn)用于二階系統(tǒng)，但由于一般高階系統(tǒng)又可用二階系統(tǒng)來近似，因此相平面法也可用于高階系統(tǒng)的近似分析。

（2）相平面法分析非線性系統(tǒng)的一般步驟：（i）首先選擇合適的相平面坐標(biāo)，并根據(jù)非線性特性將相平面劃分成若干個(gè)線性區(qū)域。若系統(tǒng)沒有外部輸入，而是分析初始條件下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程，可選取系統(tǒng)的輸出量c及其導(dǎo)數(shù)，作為相坐標(biāo)。當(dāng)系統(tǒng)有階躍或斜坡輸入時(shí)，選取系統(tǒng)的誤差

e和

作為相坐標(biāo)，會(huì)更為方便。（ii）根據(jù)系統(tǒng)的微分方程式繪制各區(qū)域的相軌跡。（iii）把相鄰區(qū)域的相軌跡，在區(qū)域的邊界上適當(dāng)連接起來，便得到系統(tǒng)的相平面圖。然后根據(jù)相平面圖，進(jìn)一步分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

（3）諧波平衡法法這是一種頻域法，基于諧波線性化的近似分析方法。其基本思想是首先通過描述函數(shù)將非線性環(huán)節(jié)線性化，然后應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。描述函數(shù)法在應(yīng)用時(shí)是有條件限制的，其應(yīng)用條件是：（i）非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡(jiǎn)化成只有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分串聯(lián)的典型負(fù)反饋結(jié)構(gòu)。若不是這種典型結(jié)構(gòu)，則必需首先利用系統(tǒng)中信號(hào)間的傳遞關(guān)系簡(jiǎn)化成這種典型結(jié)構(gòu)，才能應(yīng)用描述函數(shù)法做進(jìn)一步的分析。（ii）非線性環(huán)節(jié)的靜特性曲線是奇對(duì)稱的。（iii）線性部分應(yīng)具有良好的高頻衰減特性。（iv）只能用來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。

（5）

描述函數(shù)N(X)的計(jì)算及其物理意義描述函數(shù)N(X)可以從定義式出發(fā)求得，一般步驟是：（i）首先畫出非線性特性在正弦信號(hào)輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（ii）利用付氏級(jí)數(shù)求出輸出的基波分量。（iii）將求得的基波分量代入定義式，即得N(X)。對(duì)于復(fù)雜的非線性特性也可以將其分解為若干簡(jiǎn)單的典型非線性特性的串并聯(lián)，然后再由已知的這些簡(jiǎn)單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜非線性特性的描述函數(shù)。描述函數(shù)的物理意義是描述了一個(gè)非線性元件對(duì)基波正弦量的傳遞能力。

（6）諧波平衡法法分析穩(wěn)定性和自振蕩的一般步驟是：（i）首先求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N(X)。（ii）分別畫出線性部分的G(j)曲線和非線性部分的1/N(X)曲線。（iii）用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性和自振蕩，若存在穩(wěn)定的自振蕩，則進(jìn)一步求出自振蕩的振幅和頻率。特別強(qiáng)調(diào)的是，應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)，其結(jié)果的準(zhǔn)確程度取決于線性部分高頻、衰減特性的強(qiáng)弱。在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上，取決于L()曲線高頻段的斜率和位置，其高頻段斜率越負(fù)，位置越低，高頻衰減特性越強(qiáng)，分析結(jié)果就越準(zhǔn)確。

設(shè)三個(gè)非線性系統(tǒng)的負(fù)倒幅特性和幅相頻率特性如下圖a）、b）c）所示。試用描述函數(shù)法定性分析這三個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(1)如圖(a)所示,-1／N(A)曲線不被G(j)曲線所包圍,則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2)如圖(b)所示,-1／N(A)曲線被G(j)曲線所包圍,,則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。(3)如圖(c)所示,在復(fù)平面上,-1／N(A)曲線與G(j)曲線相交,則在非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生周期性振蕩。圖中-1／N(A)曲線與G(j)曲線有兩個(gè)交點(diǎn)a和b。在a點(diǎn)隨著A的增加-1／N(A)曲線從不穩(wěn)定區(qū)到穩(wěn)定區(qū)，因此a點(diǎn)是穩(wěn)定的等幅振蕩點(diǎn),形成可觀察到的穩(wěn)定自持振蕩。