自動控制理論 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型23

2.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

2/4/20231控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖：描述系統(tǒng)各元部件之間的信號傳遞關(guān)系的一種圖形化表示，特別對于復(fù)雜控制系統(tǒng)的信號傳遞過程給出了一種直觀的描述。

1、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制

(1)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成單元

A信號線

B引出點(diǎn)（或測量點(diǎn)）

C比較點(diǎn)（或綜合點(diǎn)）

D方框（或環(huán)節(jié)）

下圖為結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元2/4/20232(2)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的繪制方法1）考慮負(fù)載效應(yīng)，列寫元部件傳遞函數(shù)，用方框表示；2）根據(jù)元部件的信號流向，用信號線依次連接方框，得方框圖。例試?yán)L制無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。解應(yīng)用復(fù)阻抗概念，根據(jù)基爾霍夫定律寫出方程(右邊）：

按照上述方程可分別繪制相應(yīng)元件的方框如圖。然后，用信號線按信號流向依次將各方框連接起來，便得到無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。

2/4/20233結(jié)構(gòu)圖的基本概念[例2-10].求例2-6所示的速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。各部分傳遞函數(shù)見例2-8，羅列如下：比較環(huán)節(jié)：運(yùn)放Ⅰ：運(yùn)放Ⅱ：功放環(huán)節(jié)：2/4/20234

將上面幾部分按照邏輯連接起來，形成下頁所示的完整結(jié)構(gòu)圖。反饋環(huán)節(jié)：返回例2-8電動機(jī)環(huán)節(jié)：-2/4/20235在結(jié)構(gòu)圖中，不僅能反映系統(tǒng)的組成和信號流向，還能表示信號傳遞過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是復(fù)域的數(shù)學(xué)模型。結(jié)構(gòu)圖的基本概念-2/4/20236結(jié)構(gòu)圖的等效變換2、結(jié)構(gòu)圖的等效變換：任何復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。方框結(jié)構(gòu)圖的簡化是通過移動引出點(diǎn)、比較點(diǎn)，交換比較點(diǎn)，進(jìn)行方框運(yùn)算后，將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。

（1）簡化的原則：

變換前后變量關(guān)系保持等效。具體為：

A、變換前后前向通路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變；

B、變換前后回路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變。

（2）等效變換規(guī)則2/4/20237環(huán)節(jié)的并聯(lián)：反饋聯(lián)接：環(huán)節(jié)的合并環(huán)節(jié)的串聯(lián)：…2/4/20238比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動

①比較點(diǎn)移動：

比較點(diǎn)后移比較點(diǎn)的移動2/4/20239比較點(diǎn)的移動和互換

比較點(diǎn)前移：2/4/202310②引出點(diǎn)移動：引出點(diǎn)后移引出的移動和互換2/4/202311比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動和互換引出點(diǎn)前移：[注意]：相臨的比較點(diǎn)位置可以互換；見下例2/4/202312比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動和互換同一信號的引出點(diǎn)位置可以互換：見下例比較點(diǎn)和引出點(diǎn)在一般情況下，不能互換。2/4/202313結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-11[例2-11]利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。[解]：不能把左圖簡單地看成兩個RC電路的串聯(lián),有負(fù)載效應(yīng)。根據(jù)電路定理，有以下式子：---2/4/202314結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-11總的結(jié)構(gòu)圖如下：為了求出總的傳遞函數(shù)，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡刃ё儞Q。一個可能的變換過程如下：-----①--②2/4/202315結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-11--③-④2/4/202316結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-12[解]：結(jié)構(gòu)圖等效變換如下：[例2-12]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，求傳遞函數(shù)。-+相加點(diǎn)移動-+①2/4/202317-+②結(jié)構(gòu)圖等效變換例子||例2-122/4/202318例試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)2/4/2023193、信號流圖的組成及性質(zhì)(1)信號流圖的組成：由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。

節(jié)點(diǎn)：即變量，用小圓圈表示，為流向該節(jié)點(diǎn)的信號的代數(shù)和。

支路：定向線段，標(biāo)支路增益，相當(dāng)于乘法器，表因果關(guān)系。

(2)信號流圖的性質(zhì)

A節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量；

B支路相當(dāng)于乘法器；

C信號沿箭頭單向傳遞；

D系統(tǒng)的信號流圖不是惟一的。

下圖為典型的信號流圖2/4/2023203)常用術(shù)語源節(jié)點(diǎn)（或輸入節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路而沒有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)X1。

阱節(jié)點(diǎn)（或輸出節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路而沒有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)X5。

混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)X2X3X4X5。

前向通路：信號從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時，每個節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路。從源節(jié)點(diǎn)X1到阱節(jié)點(diǎn)X5，共有兩條前向通路：一條是X1－＞X2－＞X3－＞X4－＞X5，其前向通路總增益P1＝abc；另一條是X1－＞X2－＞X5，其前向通路總增益P2=d。

回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，而且信號通過每一節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路。X2－＞X3－＞X2，其回路增益L1=ae，X3－＞X4－＞X3其回路增益L2=bf；X5－＞X5的自回路，其回路增益是g。

不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時，這種回路叫做不接觸回路。一對X5－＞X5是和X2－＞X3－＞X2；另一對是X5－＞X5和X3－＞X4－＞X3。2/4/2023214、信號流圖的繪制

1)由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖

微分方程先拉氏變換，指定系統(tǒng)變量，按因果關(guān)系排列，連成信號流圖。

例試?yán)L制RC無源網(wǎng)絡(luò)的信號流圖。設(shè)電容初始電壓為U1(0)。

解由基爾霍夫定律，列寫微分方程式如下：各微分方程式進(jìn)行拉氏變換，則有

2/4/202322對變量Ui(s)，Ui(s)-U0(s)，I1(s)，I2(s)，I(s)，U0(s)及U1(0)分別設(shè)置七個節(jié)點(diǎn)；然后，用相應(yīng)增益的支路將個節(jié)點(diǎn)連接起來，便得到RC無源網(wǎng)絡(luò)的信號流圖。2/4/202323

(2)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖

結(jié)構(gòu)圖上信號線變成小圓圈表示變量，方框變成增益線段（即支路），連成信號流圖。

例試?yán)L制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號流程。

解:首先，在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的信號線上，用小圓圈標(biāo)注各變量對于對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)，如圖（a）所示。其次，將各節(jié)點(diǎn)按原來順序自左向右排列，連接個節(jié)點(diǎn)的支路與結(jié)構(gòu)圖中的方框相對應(yīng)，便得系統(tǒng)的信號流圖，如圖（b）所示.

2/4/202324.

2/4/2023255、梅森增益公式梅森增益公式

p為從源接點(diǎn)到阱接點(diǎn)的傳遞函數(shù)（或總增益）；

n為從源接點(diǎn)到阱接點(diǎn)的前向通路總數(shù)；

pk為從源接點(diǎn)到阱接點(diǎn)的第條前項(xiàng)通路總增益；

△為流圖特征式；

△k為流圖余因子式；

∑La為所有單回路增益之和；

∑LbLc為每兩個互不接觸的單獨(dú)回路的回路增益的乘積之和；∑LdLeLf為每兩個互不接觸的單獨(dú)回路的回路增益的乘積之和；

△k等于流圖特征式中除去與第k條前項(xiàng)通路相接觸的回路增益項(xiàng)（包括回路增益的乘積項(xiàng)）以后的余項(xiàng)式。2/4/202326利用梅森公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)

例試用梅森公式求例2-14系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)

解:由梅森公式求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

2/4/202327例試求信號流圖中的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)

解單獨(dú)回路有四個，∑La=-G1-G2-G3-G1G2

兩個互不接觸的回路有四組，∑LbLc=-G1G2-G1G3-G2G3-G1G2G3

三個互不接觸的回路有一組，∑LdLeLf=-G1G2G32/4/202328例試求圖所示系統(tǒng)信號流圖的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)解:三個單獨(dú)回路，沒有不接觸回路，三條前向通路，

由梅森公式求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

2/4/202329

例求圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)

解:有五個單獨(dú)回路;沒有不接觸回路;有兩條前項(xiàng)通路2/4/202330閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)6閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

圖中，，為輸入、輸出信號，為系統(tǒng)的偏差，為系統(tǒng)的擾動量，這是不希望的輸入量。由于傳遞函數(shù)只能處理單輸入、單輸出系統(tǒng)，因此，我們分別求 對和對的傳遞函數(shù)，然后疊加得出總的輸出量。2/4/202331給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（1）輸入信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令，則有：-輸出量為：上式中，稱為前向通道傳遞函數(shù)，前向通道指從輸入端到輸出端沿信號傳送方向的通道。前向通道和反饋通道的乘積稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。含義是主反饋通道斷開時從輸入信號到反饋信號之間的傳遞函數(shù)。2/4/202332又若單位反饋系統(tǒng)H(s)=1，則有：開環(huán)傳遞函數(shù)=前向通道傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的偏差E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)就是系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)偏差傳遞函數(shù)：-給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2/4/202333擾動輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（2）擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)：此時R(s)=0,結(jié)構(gòu)圖如下：輸出對擾動的傳遞函數(shù)為：輸出為：一般要求由擾動量產(chǎn)生的輸出量應(yīng)為零。系統(tǒng)的誤差為-C(s),偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，擾動作用下偏差傳遞函數(shù)為：-+2/4/202334給定輸入和擾動輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3.給定輸入和擾動輸入同時作用下的閉環(huán)系統(tǒng)根據(jù)線性迭加原理：輸出：偏差：[提示]：各個傳遞函數(shù)都具有相同的分母，分母稱為控制系統(tǒng)的特征表達(dá)式。2/4/202335例:試求圖所示控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)

解：解法1用結(jié)構(gòu)圖等效變換法求解，等效變換過程如后圖所示

2/4/202336

2/4/202337解法2用梅遜公式求解。

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖所對應(yīng)的信號流圖如圖所示。系統(tǒng)有一條向前通道，其傳遞函數(shù)為P1=G1G2G3G4

四個回路：L1=-G3G4H4,L2=-G2G3H1,L3=-G1G2G3H2,L4=1G1G2G3G4H3

這四個回路都互相接觸

△=1-(L1+L2+L3+L4),△1=1

所以，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為2/4/202338例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖、信號流圖如圖所示，求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。)。解系統(tǒng)所對應(yīng)的信號流圖如圖所示。

2/4/202339三個回路：L1＝G1G2，L2＝-G4，L3＝G1G4G5H1H2

△=1－（L1+L2+L3）+L1L2

=1-G1G2+G4-G1G4G5H1H2-G1G2G4

從R1(s)到C1(s)，有一條前向通路：P1=G1G2G3，△1=1+G4

從R2(s)到C2(s)，有一條前向通路：P1=G4G5G6，△1=1-G1G2

由梅遜公式，得

2/4/202340例設(shè)系統(tǒng)信號流圖如圖所示，求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)解:九個回路

L1=-G2H1,L2=-G4H2,L3=-G6H3

L4=-G3G4G5H4,L5=-G1G2G3G4G5G6H5

L6=H1H4G8,L7=-G3G4G5G6G7H5

L8=-G1G6G8H5,L9=G6G7G8H1H52/4/202341所以2/4/202342例系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)C(s)/R(s).解解法1采用結(jié)構(gòu)化簡法求解。方框圖化簡步驟如圖所示。2/4/2023432/4/202344解法2采用梅遜公式求解。信號流圖如圖所示。四個回路：

L1=G3G8,L2=-G1G2G3G7,L3=-G5G6G7，L4=-G2G4G5G7

△=1-(L1+L2+L3+L4)

=1+G1G2G3G7+G2G4G5G7+G5G6G7-G3G8

一條前向通路

P1=G1G2G3G7,△1=12/4/202345例已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖（a）所示試求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)及E(s)/R(s).2/4/2023462/4/202347例某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，R(s)為輸入，P(s)為擾動，C(s)為輸出。試求：

（1）畫出系統(tǒng)的信號流圖

（2）用梅遜公式求其傳遞函數(shù)C(s)/R(s)；

（3）說明在什么條件下，輸出C(s)不受擾動P(s)的影響。解（1）將圖各端口信號標(biāo)注出來（圖（a）），然后依之畫出相應(yīng)的信號流圖（圖（b））2/4/202348（2）該系統(tǒng)有4條回路，2條前向通道。

2/4/202349（3）擾動P(s)到輸出C(s)有2條前向通道

2/4/202350例某復(fù)合控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2.6所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

解法1用結(jié)構(gòu)圖等效變換方法求解。先解除交叉結(jié)構(gòu)（圖(a)），然后用引出點(diǎn)、比較點(diǎn)移動方法進(jìn)行化簡。

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