高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章空間向量與立體幾何 考前過關(guān)訓(xùn)練(三)

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。考前過關(guān)訓(xùn)練(三)空間向量與立體幾何(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA→=a，CB→=b，CC+b-c +c+b+c +b-c【解析】選D.A1B→=CB→-CA1→=CB→-(CA→+AA2.已知a，b均為空間中的單位向量，它們之間的夾角為60°，則|a+3b|等于()A.7 B.10 C.13 【解析】選C.|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6×1×1×12+9=13，所以|a+3b|=3.已知a=(1，0，1)，b=(x，1，2)，且a·b=3，則向量a與b的夾角為()A.5π6 B.2π3 C.π【解析】選D.由于a·b=3，即x+2=3，得x=1，設(shè)a與b夾角為θ，則cosθ=所以θ=π6.4.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點(diǎn)A.既垂直于AC，又垂直于MNB.垂直于AC，但不垂直于MNC.垂直于MN，但不垂直于ACD.與AC，MN都不垂直【解析】選A.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建系，設(shè)棱長(zhǎng)為2，則M(0，0，1)，N(0，1，2)，O(1，1，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，所以AC→=(-2，2，0)，OM所以O(shè)M→·AC→=0，所以O(shè)M⊥AC，OM⊥MN.5.在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A(2，2)，B(-2，-3)，沿y軸把坐標(biāo)平面折成120°的二面角后，AB的長(zhǎng)是()A.37 B.6 5 D.53【解析】選A.過A，B作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則|AC|=2，|BD|=2，|CD|=5，<AC→，所以|AB→|2=(AC→+CD→=AC→2+CD→2=4+25+4+2×2×2cos60°=37，所以|AB→|=6.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，M為EF的中點(diǎn)，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1，則直線AD與平面MAB所成角的正弦值為()A.25319 C.319 D.【解析】選B.因?yàn)锳B∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，所以AB=2，AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos60°=22+12-2×2×1×12所以AB2=AC2+BC2，所以AC⊥BC.因?yàn)槠矫鍭CFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，且CF⊥AC，所以CF⊥平面ABCD.分別以CA→，CB→，D32,-1所以AB→=(-3，1，0)，BMAD→=設(shè)m=(x，y，z)是平面MAB的法向量.取x=1，則y=3，z=32所以m=1,設(shè)直線AD與平面MAB所成角為θ，則【延伸探究】將本題條件“M為EF的中點(diǎn)”改為“M為EF上的動(dòng)點(diǎn)”，試判斷線段EF上是否存在點(diǎn)M，使得平面MAB與平面FCB所成銳二面角為45°.【解析】分別以CA→，CB→，C設(shè)M(a，0，1)，a∈[0，3]，則AB→=(-3，1，0)，設(shè)m=(x，y，z)是平面MAB的法向量，則取x=1，得m=(1，3，3-a).顯然n=(1，0，0)是平面FCB的一個(gè)法向量.于是cos<m，n>=14+(3-a)2=2所以線段EF上不存在點(diǎn)M，使得平面MAB與平面FCB所成銳二面角為45°.二、填空題(每小題5分，共15分)7.已知a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，且|a|=5，|b|=6，a·b=30，則a1+a【解析】因?yàn)閍·b=|a|·|b|，故<a，b>=0，即a與b同向共線，所以b=65a，即(b1，b2，b3)=65(a1，a2，a3)，所以a1答案：58.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD，且|GC|=2，則點(diǎn)B到平面EFG的距離為.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則G(0，0，2)，E(2，4，0)，F(xiàn)(4，2，0)，B(0，4，0)，GE→=(2，4，-2)，設(shè)平面EFG的法向量為n=(x，y，z)，令x=1，則n=(1，1，3)，又BE所以點(diǎn)B到平面GEF的距離答案：29.已知直三棱柱的各棱長(zhǎng)都是2，且AB⊥AC，則點(diǎn)A1到直線BC1的距離為.【解析】建系如圖，則B(2，0，0)，A1(0，0，2)，C1(0，2，2)所以BABC所以BA1→|BA1所以點(diǎn)A1到直線BC1的距離為|BA1答案：2三、解答題(每小題10分，共20分)10.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AA1B1B的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)D，B1C1的中點(diǎn)為M，求證【證明】由題意知AC，BC，CC1兩兩垂直，則以CB為x軸，CC1為y軸，CA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镃B=2，CC1=AA1=1，CA=1，M為B1C1所以B(2，0，0)，M22又因?yàn)辄c(diǎn)D是矩形AA1B1B的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，所以D22則CD→=BM→=BD→=所以CD→·BM→=-CD→·BD→=-12所以CD→⊥BM→，又BM∩BD=B，所以CD⊥平面BDM.11.(2023·紹興高二檢測(cè))如圖，△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，AB=AC，AO=2OC=2.將△BAO沿AO折起，使B點(diǎn)與圖中B′點(diǎn)重合.(1)求證：AO⊥平面B′OC.(2)當(dāng)三棱錐B′-AOC的體積取最大時(shí)，求二面角A-B′C-O的余弦值.(3)在(2)的條件下，試問在線段B′A上是否存在一點(diǎn)P，使CP與平面B′OA所成的角的正弦值為23？【解析】(1)因?yàn)锳B=AC且O是BC中點(diǎn)，所以AO⊥BC，即AO⊥OB′，AO⊥OC，又因?yàn)镺B′∩OC=O，所以AO⊥平面B′OC.(2)在平面B′OC內(nèi)，作B′D⊥OC于點(diǎn)D，則由(1)可知B′D⊥OA，又因?yàn)镺C∩OA=O，所以B′D⊥平面OAC，即B′D是三棱錐B′-AOC的高，又B′D≤B′O，所以當(dāng)D與O重合時(shí)，三棱錐B′-AOC的體積最大.方法一：過O點(diǎn)作OH⊥B′C于點(diǎn)H，連AH，由(1)知AO⊥平面B′OC，又B′C?平面B′OC，所以B′C⊥AO，AO∩OH=O，所以B′C⊥平面AOH，所以B′C⊥AH，所以∠AHO即為二面角A-B′C-O的平面角.Rt△AOH中，AO=2，OH=22，所以AH=3所以cos∠AHO=OHAH=故二面角A-B′C-O的余弦值為13方法二：依題意得OA，OC，OB′兩兩垂直，分別以射線OA，OC，OB′為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A(2，0，0)，B′(0，0，1)，C(0，1，0)，所以AB'→=(-2，0，1)，設(shè)平面B′OC的一個(gè)法向量為n，可令n=(1，0，0)，設(shè)平面AB′C的法向量為m，故二面角A-B′C-O的余弦值為13(3)存在，且為線段AB′的中點(diǎn)，證明如下：方法一：連接OP，因?yàn)镃O⊥平面B′OA，所以∠OPC為CP