高等數學第六版(上冊)第一章課后習題答案

高等數學第六版（上冊）第一章課后習題答案及解析習題1-11.設A=(-,-5)(5,+),B=[-10,3),寫出AB,AB,A\B及A\(A\B)的表達式.解AB=(-,3)(5,+),AB=[-10,-5),A\B=(-,-10)(5,+),A\(A\B)=[-10,-5).2.設A、B是任意兩個集合,證明對偶律:(AB)C=ACBC.證明因為x(AB)CxABxA或xBxAC或xBCxACBC,所以(AB)C=ACBC.3.設映射f:XY,AX,BX.證明(1)f(AB)=f(A)f(B);(2)f(AB)f(A)f(B).證明因為yf(AB)xAB,使f(x)=y(因為xA或xB)yf(A)或yf(B)yf(A)f(B),所以f(AB)=f(A)f(B).(2)因為yf(AB)xAB,使f(x)=y(因為xA且xB)yf(A)且yf(B)yf(A)f(B),所以f(AB)f(A)f(B).4.設映射f:XY,若存在一個映射g:YX,使,,其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射,即對于每一個xX,有IXx=x;對于每一個yY,有IYy=y.證明:f是雙射,且g是f的逆映射:g=f-1.證明因為對于任意的yY,有x=g(y)X,且f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f為X到Y的滿射.又因為對于任意的x1x2,必有f(x1)f(x2),否則若f(x1)=f(x2)g[f(x1)]=g[f(x2)]x1=x2.因此f既是單射,又是滿射,即f是雙射.對于映射g:YX,因為對每個yY,有g(y)=xX,且滿足f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定義,g是f的逆映射.5.設映射f:XY,AX.證明:(1)f-1(f(A))A;(2)當f是單射時,有f-1(f(A))=A.證明(1)因為xAf(x)=yf(A)f-1(y)=xf-1(f(A)),所以f-1(f(A))A.(2)由(1)知f-1(f(A))A.另一方面,對于任意的xf-1(f(A))存在yf(A),使f-1(y)=xf(x)=y.因為yf(A)且f是單射,所以xA.這就證明了f-1(f(A))A.因此f-1(f(A))=A.6.求下列函數的自然定義域:(1);解由3x+20得.函數的定義域為.(2);解由1-x20得x1.函數的定義域為(-,-1)(-1,1)(1,+).(3);解由x0且1-x20得函數的定義域D=[-1,0)(0,1].(4);解由4-x20得|x|2.函數的定義域為(-2,2).(5);解由x0得函數的定義D=[0,+￥).(6)y=tan(x+1);解由(k=0,1,2,)得函數的定義域為(k=0,1,2,).(7)y=arcsin(x-3);解由|x-3|1得函數的定義域D=[2,4].(8);解由3-x0且x0得函數的定義域D=(-￥,0)è(0,3).(9)y=ln(x+1);解由x+10得函數的定義域D=(-1,+￥).(10).解由x0得函數的定義域D=(-￥,0)è(0,+￥).7.下列各題中,函數f(x)和g(x)是否相同？為什么？(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;(2)f(x)=x,g(x)=;(3),.(4)f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x.解(1)不同.因為定義域不同.(2)不同.因為對應法則不同,x0時,g(x)=-x.(3)相同.因為定義域、對應法則均相相同.(4)不同.因為定義域不同.8.設,求,,,j(-2),并作出函數y=j(x)的圖形.解,,,.9.試證下列函數在指定區(qū)間內的單調性:(1),(-,1);(2)y=x+lnx,(0,+).證明(1)對于任意的x1,x2(-,1),有1-x10,1-x20.因為當x1x2時,,所以函數在區(qū)間(-,1)內是單調增加的.(2)對于任意的x1,x2(0,+),當x1x2時,有,所以函數y=x+lnx在區(qū)間(0,+)內是單調增加的.10.設f(x)為定義在(-l,l)內的奇函數,若f(x)在(0,l)內單調增加,證明f(x)在(-l,0)內也單調增加.證明對于"x1,x2?(-l,0)且x1<x2,有-x1,-x2?(0,l)且-x1-x2.因為f(x)在(0,l)內單調增加且為奇函數,所以f(-x2)f(-x1),-f(x2)-f(x1),f(x2)f(x1),這就證明了對于"x1,x2?(-l,0),有f(x1)f(x2),所以f(x)在(-l,0)內也單調增加.11.設下面所考慮的函數都是定義在對稱區(qū)間(-l,l)上的,證明:(1)兩個偶函數的和是偶函數,兩個奇函數的和是奇函數;(2)兩個偶函數的乘積是偶函數,兩個奇函數的乘積是偶函數,偶函數與奇函數的乘積是奇函數.證明(1)設F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函數,則F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)為偶函數,即兩個偶函數的和是偶函數.如果f(x)和g(x)都是奇函數,則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)為奇函數,即兩個奇函數的和是奇函數.(2)設F(x)=f(x)×g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函數,則F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)為偶函數,即兩個偶函數的積是偶函數.如果f(x)和g(x)都是奇函數,則F(-x)=f(-x)×g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)為偶函數,即兩個奇函數的積是偶函數.如果f(x)是偶函數,而g(x)是奇函數,則F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)×g(x)=-F(x),所以F(x)為奇函數,即偶函數與奇函數的積是奇函數.12.下列函數中哪些是偶函數,哪些是奇函數,哪些既非奇函數又非偶函數？(1)y=x2(1-x2);(2)y=3x2-x3;(3);(4)y=x(x-1)(x+1);(5)y=sinx-cosx+1;(6).解(1)因為f(-x)=(-x)2[1-(-x)2]=x2(1-x2)=f(x),所以f(x)是偶函數.(2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可見f(x)既非奇函數又非偶函數.(3)因為,所以f(x)是偶函數.(4)因為f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x),所以f(x)是奇函數.(5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1可見f(x)既非奇函數又非偶函數.(6)因為,所以f(x)是偶函數.13.下列各函數中哪些是周期函數？對于周期函數,指出其周期:(1)y=cos(x-2);解是周期函數,周期為l=2p.(2)y=cos4x;解是周期函數,周期為.(3)y=1+sinpx;解是周期函數,周期為l=2.(4)y=xcosx;解不是周期函數.(5)y=sin2x.解是周期函數,周期為l=p.14.求下列函數的反函數:(1)eq\r(3,x+1)eq\r(3,x+1);解由得x=y3-1,所以的反函數為y=x3-1.(2)eq\f(1-x,1+x);解由得,所以的反函數為.(3)(ad-bc0);解由得,所以的反函數為.(4)y=2sin3x;解由y=2sin3x得,所以y=2sin3x的反函數為.(5)y=1+ln(x+2);解由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2,所以y=1+ln(x+2)的反函數為y=ex-1-2.(6).解由得,所以的反函數為.15.設函數f(x)在數集X上有定義,試證:函數f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.證明先證必要性.設函數f(x)在X上有界,則存在正數M,使|f(x)|M,即-Mf(x)M.這就證明了f(x)在X上有下界-M和上界M.再證充分性.設函數f(x)在X上有下界K1和上界K2,即K1f(x)K2.取M=max{|K1|,|K2|},則-MK1f(x)K2M,即|f(x)|M.這就證明了f(x)在X上有界.16.在下列各題中,求由所給函數復合而成的函數,并求這函數分別對應于給定自變量值x1和x2的函數值:(1)y=u2,u=sinx,,;解y=sin2x,,.(2)y=sinu,u=2x,,;解y=sin2x,,.(3),u=1+x2,x1=1,x2=2;解,,.(4)y=eu,u=x2,x1=0,x2=1;解,,.(5)y=u2,u=ex,x1=1,x2=-1.解y=e2x,y1=e2×1=e2,y2=e2×(-1)=e-2.17.設f(x)的定義域D=[0,1],求下列各函數的定義域:(1)f(x2);解由0x21得|x|1,所以函數f(x2)的定義域為[-1,1].(2)f(sinx);解由0sinx1得2npx(2n+1)p(n=0,1,2),所以函數f(sinx)的定義域為[2np,(2n+1)p](n=0,1,2).(3)f(x+a)(a>0);解由0x+a1得-ax1-a,所以函數f(x+a)的定義域為[-a,1-a].(4)f(x+a)+f(x-a)(a0).解由0x+a1且0x-a1得:當時,ax1-a;當時,無解.因此當時函數的定義域為[a,1-a],當時函數無意義.18.設,g(x)=exeq\s\up(x),求f[g(x)]和g[f(x)],并作出這兩個函數的圖形.解,即.,即.19.已知水渠的橫斷面為等腰梯形,斜角j=40(圖1-37).當過水斷面ABCD的面積為定值S0時,求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數關系式,并指明其定義域.圖1-37解,又從得,所以.自變量h的取值范圍應由不等式組h0,確定,定義域為.20.收斂音機每臺售價為90元,成本為60元.廠方為鼓勵銷售商大量采購,決定凡是訂購量超過100臺以上的,每多訂購1臺,售價就降低1分,但最低價為每臺75元.(1)將每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數;(2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數;(3)某一商行訂購了1000臺,廠方可獲利潤多少？解(1)當0x100時,p=90.令0.01(x0-100)=90-75,得x0=1600.因此當x1600時,p=75.當100x1600時,p=90-(x-100)0.01=91-0.01x.綜合上述結果得到.(2).(3)P=311000-0.0110002=21000(元).習題121.觀察一般項xn如下的數列{xn}的變化趨勢,寫出它們的極限:(1);解當n?￥時,?0,.(2);解當n?￥時,?0,.(3);解當n?￥時,?2,.(4);解當n?￥時,?0,.(5)xnn(1)n.解當n?￥時,xnn(1)n沒有極限.2.設數列{xn}的一般項.問=?求出N,使當n>N時,xn與其極限之差的絕對值小于正數e,當0.001時,求出數N.解."e>0,要使|xn-0|<e,只要,也就是.取,則"n>N,有|xn-0|<e.當e=0.001時,=1000.3.根據數列極限的定義證明:(1);分析要使,只須,即.證明因為"e>0,$,當n>N時,有,所以.(2);分析要使,只須,即.證明因為"e>0,$,當n>N時,有,所以.(3)分析要使,只須.證明因為"e>0,$,當"n>N時,有,所以.(4).分析要使|0.99×××9-1|,只須<e,即.證明因為"e>0,$,當"n>N時,有|0.99×××9-1|<e,所以.4.,證明.并舉例說明:如果數列{|xn|}有極限,但數列{xn}未必有極限.證明因為,所以e>0,NN,當n>N時,有,從而||un||a|||una|.這就證明了.數列{|xn|}有極限,但數列{xn}未必有極限.例如,但不存在.5.設數列{xn}有界,又,證明:.證明因為數列{xn}有界,所以存在M,使nZ,有|xn|M.又,所以e>0,NN,當n>N時,有.從而當n>N時,有,所以.6.對于數列{xn}若x2k1?a(k?￥),x2k?a(k?￥),證明:xn?a(n?￥).證明因為x2k1?a(k?￥),x2k?a(k?￥),所以e>0,K1,當2k1>2K11時,有|x2k1a|<e;K2,當2k>2K2時,有|x2ka|<e取Nmax{2K11,2K2},只要n>N,就有|xna|<e.因此xn?a(n?￥).習題1-31.根據函數極限的定義證明:(1);分析因為|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|所以要使|(3x-1)-8|<e,只須.證明因為"e>0,$,當0<|x-3|<d時,有|(3x-1)-8|<e,所以.(2);分析因為|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|所以要使|(5x+2)-12|<e,只須.證明因為"e>0,$,當0<|x-2|<d時,有|(5x+2)-12|<e,所以.(3);分析因為所以要使,只須.證明因為"e0,$,當0<|x-(-2)|<d時,有,所以.(4).分析因為所以要使,只須.證明因為"e>0,$,當時,有,所以.2.根據函數極限的定義證明:(1);分析因為所以要使,只須,即.證明因為"e>0,$,當|x|>X時,有,所以.(2).分析因為所以要使,只須,即.證明因為"e>0,$,當x>X時,有,所以.3.當x?2時,y=x2?4.問d等于多少,使當|x-2|<d時,|y-4|<0.001？解由于當x?2時,|x-2|?0,故可設|x-2|<1,即1<x<3.要使|x2-4|=|x+2||x-2|<5|x-2|<0.001,只要取d=0.0002,則當0<|x-2|<d時,就有|x2-4|<0.001.4.當x?￥時,,問X等于多少,使當|x|X時,|y-1|0.01?解要使,只要,故.5.證明函數f(x)=|x|當x?0時極限為零.證明因為|f(x)0|||x|0||x||x0|所以要使|f(x)0|只須|x|因為對"e>0,$使當0|x0|時有|f(x)0|||x|0|所以6.求當x?0時的左﹑右極限,并說明它們在x?0時的極限是否存在.證明因為,,,所以極限存在.因為,,,所以極限不存在.7.證明:若x?+￥及x?-￥時,函數f(x)的極限都存在且都等于A,則.證明因為,,所以e>0,X10,使當x-X1時,有|f(x)-A|e;X20,使當xX2時,有|f(x)-A|e.取X=max{X1,X2},則當|x|X時,有|f(x)-A|e,即.8.根據極限的定義證明:函數f(x)當x?x0時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明先證明必要性.設f(x)?A(x?x0),則e>0,d0,使當0<|x-x0|<d時,有|f(x)-A|<e.因此當x0-d<x<x0和x0<x<x0+d時都有|f(x)-A|<e.這說明f(x)當xx0時左右極限都存在并且都等于A.再證明充分性.設f(x0-0)=f(x0+0)=A,則e>0,d1>0,使當x0-d1<x<x0時,有|f(x)-A<e;d2>0,使當x0<x<x0+d2時,有|f(x)-A|<e.取d=min{d1,d2},則當0<|x-x0|<d時,有x0-d1<x<x0及x0<x<x0+d2,從而有|f(x)-A|<e,即f(x)?A(x?x0).9.試給出x時函數極限的局部有界性的定理,并加以證明.解x時函數極限的局部有界性的定理如果f(x)當x時的極限存在則存在X0及M0使當|x|X時|f(x)|M證明設f(x)A(x)則對于1X0當|x|X時有|f(x)A|1所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|這就是說存在X0及M0使當|x|X時|f(x)|M其中M1|A|習題1-41.兩個無窮小的商是否一定是無窮小？舉例說明之.解不一定.例如,當x0時,a(x)=2x,b(x)=3x都是無窮小,但,不是無窮小.2.根據定義證明:(1)當x3時為無窮小;(2)當x0時為無窮小.證明(1)當x3時.因為e0,d=e,當0|x-3|d時,有,所以當x3時為無窮小.(2)當x0時.因為e0,d=e,當0|x-0|d時,有,所以當x0時為無窮小.3.根據定義證明:函數為當x0時的無窮大.問x應滿足什么條件,能使|y|>104？證明分析,要使|y|M,只須,即.證明因為M0,,使當0|x-0|d時,有,所以當x0時,函數是無窮大.取M=104,則.當時,|y|>104.4.求下列極限并說明理由:(1);(2).解(1)因為,而當x時是無窮小,所以.(2)因為(x1),而當x0時x為無窮小,所以.5.根據函數極限或無窮大定義,填寫下表:f(x)Af(x)f(x)f(x)xx000使當0|xx0|時有恒|f(x)A|xx0xx0x0X0使當|x|X時有恒|f(x)|Mxx解f(x)Af(x)f(x)f(x)xx000使當0|xx0|時有恒|f(x)A|M00使當0|xx0|時有恒|f(x)|MM00使當0|xx0|時有恒f(x)MM00使當0|xx0|時有恒f(x)Mxx000使當0xx0時有恒|f(x)A|M00使當0xx0時有恒|f(x)|MM00使當0xx0時有恒f(x)MM00使當0xx0時有恒f(x)Mxx000使當0x0x時有恒|f(x)A|M00使當0x0x時有恒|f(x)|MM00使當0x0x時有恒f(x)MM00使當0x0x時有恒f(x)Mx0X0使當|x|X時有恒|f(x)A|0X0使當|x|X時有恒|f(x)|M0X0使當|x|X時有恒f(x)M0X0使當|x|X時有恒f(x)Mx0X0使當xX時有恒|f(x)A|0X0使當xX時有恒|f(x)|M0X0使當xX時有恒f(x)M0X0使當xX時有恒f(x)Mx0X0使當xX時有恒|f(x)A|0X0使當xX時有恒|f(x)|M0X0使當xX時有恒f(x)M0X0使當xX時有恒f(x)M6.函數y=xcosx在(-,+)內是否有界？這個函數是否為當x+時的無窮大？為什么？解函數y=xcosx在(-,+)內無界.這是因為M0,在(-,+)內總能找到這樣的x,使得|y(x)|M.例如y(2kp)=2kpcos2kp=2kp(k=0,1,2,),當k充分大時,就有|y(2kp)|M.當x+時,函數y=xcosx不是無窮大.這是因為M0,找不到這樣一個時刻N,使對一切大于N的x,都有|y(x)|M.例如(k=0,1,2,),對任何大的N,當k充分大時,總有,但|y(x)|=0M.7.證明:函數在區(qū)間(0,1]上無界,但這函數不是當x0+時的無窮大.證明函數在區(qū)間(0,1]上無界.這是因為M0,在(0,1]中總可以找到點xk,使y(xk)M.例如當(k=0,1,2,)時,有,當k充分大時,y(xk)M.當x0+時,函數不是無窮大.這是因為M0,對所有的d0,總可以找到這樣的點xk,使0xkd,但y(xk)M.例如可取(k=0,1,2,),當k充分大時,xkd,但y(xk)=2kpsin2kp=0M.習題1-51.計算下列極限:(1);解.(2);解.(3);解.(4);解.(5);解.(6);解.(7);解.(8);解(分子次數低于分母次數,極限為零)或.(9);解.(10);解.(11);解.(12);解.(13);解(分子與分母的次數相同,極限為最高次項系數之比).或.(14);解.2.計算下列極限:(1);解因為,所以.(2);解(因為分子次數高于分母次數).(3).解(因為分子次數高于分母次數).3.計算下列極限:(1);解(當x0時,x2是無窮小,而是有界變量).(2).解(當x時,是無窮小,而arctanx是有界變量).4.證明本節(jié)定理3中的(2).習題1-51.計算下列極限:(1);解.(2);解.(3);解.(4);解.(5);解.(6);解.(7);解.(8);解(分子次數低于分母次數,極限為零)或.(9);解.(10);解.(11);解.(12);解.(13);解(分子與分母的次數相同,極限為最高次項系數之比).或.(14);解.2.計算下列極限:(1);解因為,所以.(2);解(因為分子次數高于分母次數).(3).解(因為分子次數高于分母次數).3.計算下列極限:(1);解(當x0時,x2是無窮小,而是有界變量).(2).解(當x時,是無窮小,而arctanx是有界變量).4.證明本節(jié)定理3中的(2).習題1-71.當x0時,2x-x2與x2-x3相比,哪一個是高階無窮小？解因為,所以當x0時,x2-x3是高階無窮小,即x2-x3=o(2x-x2).2.當x1時,無窮小1-x和(1)1-x3,(2)是否同階？是否等價？解(1)因為,所以當x1時,1-x和1-x3是同階的無窮小,但不是等價無窮小.(2)因為,所以當x1時,1-x和是同階的無窮小,而且是等價無窮小.3.證明:當x0時,有:(1)arctanx~x;(2).證明(1)因為(提示:令y=arctanx,則當x0時,y0),所以當x0時,arctanx~x.(2)因為,所以當x0時,.4.利用等價無窮小的性質,求下列極限:(1);(2)(n,m為正整數);(3);(4).解(1).(2).(3).(4)因為(x0),(x0),(x0),所以.5.證明無窮小的等價關系具有下列性質:(1)a~a(自反性);(2)若a~b,則b~a(對稱性);(3)若a~b,b~g,則a~g(傳遞性).證明(1),所以a~a;(2)若a~b,則,從而.因此b~a;(3)若a~b,b~g,.因此a~g.習題1-81.研究下列函數的連續(xù)性,并畫出函數的圖形:(1);解已知多項式函數是連續(xù)函數,所以函數f(x)在[0,1)和(1,2]內是連續(xù)的.在x=1處,因為f(1)=1,并且,所以,從而函數f(x)在x=1處是連續(xù)的.綜上所述，函數f(x)在[0,2]上是連續(xù)函數.(2).解只需考察函數在x=-1和x=1處的連續(xù)性.在x=-1處,因為f(-1)=-1,并且,,所以函數在x=-1處間斷,但右連續(xù).在x=1處,因為f(1)=1,并且=f(1),=f(1),所以函數在x=1處連續(xù).綜合上述討論,函數在(-,-1)和(-1,+)內連續(xù),在x=-1處間斷,但右連續(xù).2.下列函數在指出的點處間斷,說明這些間斷點屬于哪一類,如果是可去間斷點,則補充或改變函數的定義使它連續(xù):(1),x=1,x=2;解.因為函數在x=2和x=1處無定義,所以x=2和x=1是函數的間斷點.因為,所以x=2是函數的第二類間斷點;因為,所以x=1是函數的第一類間斷點,并且是可去間斷點.在x=1處,令y=-2,則函數在x=1處成為連續(xù)的.(2),x=k,(k=0,1,2,);解函數在點x=k(kZ)和(kZ)處無定義,因而這些點都是函數的間斷點.因(k0),故x=k(k0)是第二類間斷點;因為,(kZ),所以x=0和(kZ)是第一類間斷點且是可去間斷點.令y|x=0=1,則函數在x=0處成為連續(xù)的;令時,y=0,則函數在處成為連續(xù)的.(3)x=0;解因為函數在x=0處無定義,所以x=0是函數的間斷點.又因為不存在,所以x=0是函數的第二類間斷點.(4),x=1.解因為,所以x=1是函數的第一類不可去間斷點.3.討論函數的連續(xù)性,若有間斷點,判別其類型.解在分段點x=-1處,因為,,所以x=-1為函數的第一類不可去間斷點.在分段點x=1處,因為,,所以x=1為函數的第一類不可去間斷點.4.證明:若函數f(x)在點x0連續(xù)且f(x0)0,則存在x0的某一鄰域U(x0),當xU(x0)時,f(x)0.證明不妨設f(x0)>0.因為f(x)在x0連續(xù),所以,由極限的局部保號性定理,存在x0的某一去心鄰域,使當x時f(x)>0,從而當xU(x0)時,f(x)>0.這就是說,則存在x0的某一鄰域U(x0),當xU(x0)時,f(x)0.5.試分別舉出具有以下性質的函數f(x)的例子:(1)x0,1,2,,,n,,是f(x)的所有間斷點,且它們都是無窮間斷點;解函數在點x0,1,2,,,n,,處是間斷的且這些點是函數的無窮間斷點.(2)f(x)在R上處處不連續(xù),但|f(x)|在R上處處連續(xù);解函數在R上處處不連續(xù),但|f(x)|1在R上處處連續(xù).(3)f(x)在R上處處有定義,但僅在一點連續(xù).解函數在R上處處有定義,它只在x0處連續(xù).習題1-91.求函數的連續(xù)區(qū)間,并求極限,及.解,函數在(-,+)內除點x=2和x=-3外是連續(xù)的,所以函數f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-,-3)、(-3,2)、(2,+).在函數的連續(xù)點x=0處,.在函數的間斷點x=2和x=-3處,,.2.設函數f(x)與g(x)在點x0連續(xù),證明函數(x)max{f(x),g(x)},(x)min{f(x),g(x)}在點x0也連續(xù).證明已知,.可以驗證,.因此,.因為(x0),所以(x)在點x0也連續(xù).同理可證明(x)在點x0也連續(xù).3.求下列極限:(1);(2);(3)(4);(5);(6);(7).解(1)因為函數是初等函數,f(x)在點x=0有定義,所以.(2)因為函數f(x)=(sin2x)3是初等函數,f(x)在點有定義,所以.(3)因為函數f(x)=ln(2cos2x)是初等函數,f(x)在點有定義,所以.(4).(5).(6).(7).4.求下列極限:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解(1).(2).(3).(4).(5).因為,,所以.(6).5.設函數應當如何選擇數a,使得f(x)成為在(-,+)內的連續(xù)函數？解要使函數f(x)在(-,+)內連續(xù),只須f(x)在x=0處連續(xù),即只須.因為,,所以只須取a=1.習題1-101.證明方程x5-3x=1至少有一個根介于1和2之間.證明設f(x)=x5-3x-1,則f(x)是閉區(qū)間[1,2]上的連續(xù)函數.因為f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零點定理,在(1,2)內至少有一點(1<<2),使f()=0,即x=是方程x5-3x=1的介于1和2之間的根.因此方程x5-3x=1至少有一個根介于1和2之間.2.證明方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,至少有一個正根,并且它不超過a+b.證明設f(x)=asinx+b-x,則f(x)是[0,a+b]上的連續(xù)函數.f(0)=b,f(a+b)=asin(a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]0.若f(a+b)=0,則說明x=a+b就是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根;若f(a+b)<0,則f(0)f(a+b)<0,由零點定理,至少存在一點(0,a+b),使f()=0,這說明x=也是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根.總之,方程x=asinx+b至少有一個正根,并且它不超過a+b.3.設函數f(x)對于閉區(qū)間[a,b]上的任意兩點x、y,恒有|f(x)f(y)|L|xy|,其中L為正常數,且f(a)×f(b)0.證明:至少有一點(a,b),使得f()0.證明設x0為(a,b)內任意一點.因為,所以,即.因此f(x)在(a,b)內連續(xù).同理可證f(x)在點a處左連續(xù),在點b處右連續(xù),所以f(x)在[a,b]上連續(xù).因為f(x)在[a,b]上連續(xù),且f(a)×f(b)0,由零點定理,至少有一點(a,b),使得f()0.4.若f(x)在[a,b]上連續(xù),a<x1<x2<<xn<b,則在[x1,xn]上至少有一點,使.證明顯然f(x)在[x1,xn]上也連續(xù).設M和m分別是f(x)在[x1,xn]上的最大值和最小值.因為xi[x1,xn](1in),所以有mf(xi)M,從而有,.由介值定理推論,在[x1,xn]上至少有一點使.5.證明:若f(x)在(-,+)內連續(xù),且存在,則f(x)必在(-,+)內有界.證明令,則對于給定的e0,存在X0,只要|x|X,就有|f(x)-A|e,即A-ef(x)A+e.又由于f(x)在閉區(qū)間[-X,X]上連續(xù),根據有界性定理,存在M0,使|f(x)|M,x[-X,X].取N=max{M,|A-e|,|A+e|},則|f(x)|N,x(-,+),即f(x)在(-,+)內有界.6.在什么條件下,(a,b)內的連續(xù)函數f(x)為一致連續(xù)？總習題一1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的填入下列空格內:(1)數列{xn}有界是數列{xn}收斂的________條件.數列{xn}收斂是數列{xn}有界的________的條件.(2)f(x)在x0的某一去心鄰域內有界是存在的________條件.存在是f(x)在x0的某一去心鄰域內有界的________條件.(3)f(x)在x0的某一去心鄰域內無界是的________條件.是f(x)在x0的某一去心鄰域內無界的________條件.(4)f(x)當x?x0時的右極限f(x0+)及左極限f(x0-)都存在且相等是存在的________條件.解(1)必要,充分.(2)必要,充分.(3)必要,充分.(4)充分必要.2.選擇以下題中給出的四個結論中一個正確的結論:設f(x)2x3x2則當x0時有()(A)f(x)與x是等價無窮小(B)f(x)與x同階但非等價無窮小(C)f(x)是比x高階的無窮小(D)f(x)是比x低階的無窮小解因為(令2x1t,3x1u)所以f(x)與x同階但非等價無窮小故應選B3設f(x)的定義域是[01]求下列函數的定義域(1)f(ex);(2)f(lnx);(3)