高中數(shù)學人教A版1第三章空間向量與立體幾何 全國獲獎

空間向量的直角坐標運算學案編號：GEXX2-1T3-1-4【學習要求】1．了解空間向量坐標的定義．2．掌握空間向量運算的坐標表示．3．能夠利用坐標運算來求空間向量的長度與夾角．【學法指導】通過類比平面向量的坐標運算，掌握空間向量運算的坐標表示．空間向量的運算與向量的坐標表示結合起來，可以使一些問題簡單化，培養(yǎng)從復雜問題中抽象出簡單問題的能力.1．空間直角坐標系及空間向量的坐標(1)建立空間直角坐標系Oxyz，分別沿x軸、y軸、z軸的正方向引單位向量i、j、k，這三個互相垂直的單位向量構成空間向量的一個基底{i，j，k}，這個基底叫做______________；單位向量i、j、k都叫做____________．(2)空間向量的坐標：已知任一向量a，根據(jù)空間向量分解定理，存在唯一實數(shù)組(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分別為向量a在i，j，k方向上的分向量，有序實數(shù)組(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐標系中的________．上式可簡記作a＝____________.2．空間向量的坐標運算法則設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)則向量運算坐標表示加法a＋b＝________________________減法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa＝(λa1，λa2，λa3)數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b33.空間向量平行和垂直的條件：設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(1)a∥b(b≠0)?________?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,,))當b與三個坐標平面都不平行時，a∥b?__________________(2)a⊥b?________________?________________________.4．兩個向量夾角與向量長度的坐標計算公式：(1)設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則|a|＝________________，|b|＝________________.cos〈a，b〉＝___________________________________________.(2)設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up14(→))＝________________________，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝________________________________________.探究點一空間向量的坐標表示及運算問題1如何確定向量的坐標？問題2向量的坐標和點的坐標有什么聯(lián)系？例1設正四棱錐S—P1P2P3P4的所有棱長均為2，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求eq\o(SP1,\s\up14(→))、eq\o(P2P3,\s\up14(→))的坐標．跟蹤1(1)已知向量a，b，c分別平行于x軸、y軸、z軸，它們的坐標各有什么特點？(2)設O為坐標原點，向量eq\o(OA,\s\up14(→))＝(1,2,3)，eq\o(OB,\s\up14(→))＝(2,1,2)，eq\o(OP,\s\up14(→))＝(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當eq\o(QA,\s\up14(→))·eq\o(QB,\s\up14(→))取得最小值時，求點Q的坐標．探究點二垂直與平行問題問題1已知a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，a、b共線的充要條件為eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)，對嗎？問題2a與b垂直的充要條件是什么？例2已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設a＝eq\o(AB,\s\up14(→))，b＝eq\o(AC,\s\up14(→)).若向量ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值．跟蹤2將本例中“若向量ka＋b與ka－2b互相垂直”改為“若向量ka＋b與a＋kb互相平行”其他條件不變，求k的值．探究點三向量的夾角與長度計算例3已知在△ABC中，A(2，－5,3)，eq\o(AB,\s\up14(→))＝(4,1,2)，eq\o(BC,\s\up14(→))＝(3，－2,5)，求頂點B、C的坐標，向量eq\o(AC,\s\up14(→))及∠A的余弦值．跟蹤3在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是D1D、BD的中點，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點，應用空間向量方法求解下列問題：(1)求EF與C1G所成的角的余弦值；(2)求FH【達標檢測】1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)是a∥b的 ()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，i，j，k是兩兩垂直的單位向量，則5a與3bA．－15 B．－5 C．－3 D．－13．若ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(－3,7，－5)，則頂點D的坐標為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4，－1)) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(－1,13，－3)4．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是 ()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形5．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，則eq\o(AB,\s\up14(→))在eq\o(AC,\s\up14(→))上的投影為______．【課堂小結】1．利用空間向量的坐標運算可以判斷兩個向量的平行、垂直；可以求向量的模以及兩個向量的夾角．2．幾何中的平行和垂直可以利用向量進行判斷，利用直線的方向向量的關系可以證明直線的平行和垂直；距離、夾角問題可以借助于空間直角坐標系利用數(shù)量積解決.3.1.4空間向量的直角坐標運算一、基礎過關1．在空間直角坐標系Oxyz中，已知點A的坐標為(－1，2,1)，點B的坐標為(1,3,4)，則()\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,1) \o(AB,\s\up6(→))＝(1,3,4)\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,3) \o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，－3)2．與向量m＝(0,2，－4)共線的向量是 ()A．(2,0，－4) B．(3,6，－12)C．(1,1，－2) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，－1))3．設A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，則AB的中點M到C的距離|CM|的值為()\f(\r(53),4) B .eq\f(53,2)\f(\r(53),2) \f(\r(13),2)4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為()A．30°B．45°C．60°D．90°5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，則x等于()A．4B．－4C.eq\f(1,2)D．－66．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為()\r(65) \f(\r(65),2)C．4D．8二、能力提升7．與a＝(2，－1,2)共線且滿足a·z＝－18的向量z＝__________.8．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，則〈b，c9．在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，DD1＝3，則eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD1,\s\up6(→))夾角的余弦值是________．10．單位向量a＝(x，y,0)與向量c＝(1,1,1)的夾角為eq\f(π,4)，求：x＋y與xy的值．11．已知空間三點A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；(2)若向量a分別與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))垂直，且|a|＝eq\