第四章-彈塑性有限元法基本理論及模擬方法

課程教學(xué)內(nèi)容：

第一章緒論第二章彈性力學(xué)變分原理第三章有限元單元法第四章彈塑性有限元法基本理論與模擬方法第五章剛塑性有限元法基本理論與模擬方法第六章彈塑性有限元變形有限元基本方程第七章塑性加工中的傳熱問題第八章幾種典型材料成形過程計算機(jī)模擬分析實(shí)例第四章彈塑性有限元法基本理論與模擬方法4.1非線性問題及分類在分析線性彈性問題時，假定：應(yīng)力應(yīng)變線性關(guān)系結(jié)構(gòu)位移很小（變形遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸）加載時邊界條件的性質(zhì)不變

如果不滿足上述條件之一，就稱為非線性問題非線性結(jié)構(gòu)的基本特征：變化的結(jié)構(gòu)剛度非線性問題可以分為三類：材料非線性：體系的非線性由材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的非線性引起。如金屬變形彈塑性行為、橡膠的超彈性行為等幾何非線性：結(jié)構(gòu)的位移使體系的受力狀態(tài)發(fā)生了顯著的變化。如板殼的大撓度問題——平衡方程必須建立于變形后的狀態(tài)接觸非線性：接觸狀態(tài)的變化所引起。如金屬成形、跌落試驗、多零件裝配體等碰到障礙物的懸臂梁（端部碰到障礙物時，梁端部的邊界條件發(fā)生了突然變化，阻止了進(jìn)一步的豎向撓度。）板料的沖壓成形接觸非線性例子隨著有限元算法理論、計算機(jī)硬件和軟件技術(shù)的進(jìn)步及實(shí)際工業(yè)的需求，CAE技術(shù)的應(yīng)用逐步由線性模擬為主向非線性模擬為主快速發(fā)展。1969年，第一個商業(yè)非線性有限元程序——Marc誕生。目前幾乎所有的商業(yè)有限元軟件都具備較強(qiáng)的非線性問題的分析求解能力。非線性求解技術(shù)的先進(jìn)性與穩(wěn)健性已經(jīng)成為衡量一個結(jié)構(gòu)分析程序優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。非線性問題的有限元求解方法非線性方程(組)的求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代法修正的Newton-Raphson迭代法非線性問題通常采用增量法求解（追蹤加載過程中應(yīng)力和變形的演變歷史。）每個增量步采用Newton-Raphson迭代法非線性問題有限元控制方程：非線性方程的迭代求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代修正的N-R迭代非線性方程組的迭代求解方法直接迭代法N-R迭代修正的N-R迭代第四章彈塑性有限元法基本理論與模擬方法非線性問題的增量法求解過程(1)將總的外力載荷分為一系列載荷段(2)在每一載荷段中進(jìn)行迭代，直至收斂(3)所有載荷段循環(huán)，并將結(jié)果進(jìn)行累加(1)將總的外力載荷分為一系列載荷段(2)在每一載荷段中進(jìn)行迭代，直至收斂N-R迭代:(3)所有載荷段循環(huán)，并將結(jié)果進(jìn)行累加4.2材料非線性問題及分類概念：由于材料的應(yīng)力應(yīng)變非線性關(guān)系引起的非線性。分類：不依賴時間的彈、塑性問題非線性彈性——橡膠彈塑性——沖壓成形依賴于時間的粘（彈、塑）性問題蠕變——載荷不變，變形隨時間繼續(xù)變化松弛——變形不變，應(yīng)力隨時間衰減非線性彈性材料行為橡膠應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線彈塑性材料進(jìn)入塑性的特征：載荷卸去后存在不可恢復(fù)的永久變形。應(yīng)力應(yīng)變之間不是單值對應(yīng)關(guān)系，與加載歷史有關(guān)。單軸應(yīng)力狀態(tài)下彈塑性材料行為單軸（一維）應(yīng)力狀態(tài)下材料的應(yīng)力應(yīng)變行為可以從拉伸試驗中獲得。單調(diào)加載硬化塑性理想彈塑性各向同性硬化:運(yùn)動硬化:混合硬化:反向加載運(yùn)動硬化各向同性硬化混合硬化

在簡單拉伸的情況下，當(dāng)材料發(fā)生塑性變形后卸載，此后再重新加載，則應(yīng)力和應(yīng)變的變化仍服從彈性關(guān)系，直至應(yīng)力到達(dá)卸載前曾經(jīng)達(dá)到的最高應(yīng)力點(diǎn)時，材料才再次屈服（后繼屈服）。這個最高應(yīng)力點(diǎn)的應(yīng)力就是材料在經(jīng)歷了塑性變形后的新的屈服應(yīng)力。由于材料的強(qiáng)化特性，它比初始屈服應(yīng)力大。第四章彈塑性有限元法基本理論與模擬方法為了與初始屈服應(yīng)力相區(qū)別，我們稱之為后繼屈服應(yīng)力。與初始屈服應(yīng)力不同，它不是一個材料常數(shù)，而是依賴于塑性變形的大小和歷史。后繼屈服應(yīng)力是在簡單拉伸下，材料在經(jīng)歷一定塑性變形后再次加載時，變形是按彈性還是塑性規(guī)律變化的界限。第四章彈塑性有限元法基本理論與模擬方法

和簡單應(yīng)力狀態(tài)相似，材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下同樣存在初始屈服和后繼屈服的問題。

材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，在經(jīng)歷初始屈服和發(fā)生塑性變形后，此時卸載，將再次進(jìn)入彈性狀態(tài)（稱為后繼彈性狀態(tài)）。第四章彈塑性有限元法基本理論與模擬方法

把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，確定材料后繼彈性狀態(tài)的界限的準(zhǔn)則就稱為后繼屈服條件，又稱為加載條件。問題:

當(dāng)材料處于后繼彈性狀態(tài)而繼續(xù)加載時，應(yīng)力（或變形）發(fā)展到什么程度材料再一次開始屈服呢？第四章彈塑性有限元法基本理論與模擬方法一般應(yīng)力狀態(tài)下彈塑性材料行為屈服準(zhǔn)則（初始屈服條件）硬化法則（后繼屈服函數(shù)、加載函數(shù)、加載曲面）流動法則加載、卸載準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則（初始屈服條件）在單向受力情況下，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到材料的屈服強(qiáng)度時材料開始產(chǎn)生塑性變形。對于一般復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力狀態(tài)由六個應(yīng)力分量決定時，顯然不能根據(jù)某個單獨(dú)應(yīng)力分量的數(shù)值作為判斷材料是否進(jìn)入塑性變形的標(biāo)準(zhǔn)。為此，引入以應(yīng)力分量為坐標(biāo)的應(yīng)力空間，根據(jù)代表不同應(yīng)力路徑的實(shí)驗結(jié)果，可以定出從彈性階段進(jìn)入塑性階段的各個界限，即屈服應(yīng)力點(diǎn)。在應(yīng)力空間中，這些屈服應(yīng)力點(diǎn)形成一個區(qū)分彈性和塑性的分界面——屈服面。描述這個屈服面的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是我們所要尋求的一般應(yīng)力狀態(tài)下的屈服準(zhǔn)則。常用的各向同性Von-Mises屈服準(zhǔn)則：各向同性屈服準(zhǔn)則：各個方向屈服應(yīng)力相同各向異性屈服準(zhǔn)則：不同方向屈服應(yīng)力有差異三維主應(yīng)力空間π平面上的屈服軌跡σ3=0平面上的屈服軌跡第四章彈塑性有限元法基本理論與模擬方法硬化法則塑性硬化法則規(guī)定了材料進(jìn)入塑性變形后的后繼屈服函數(shù)（又稱加載函數(shù)或加載曲面）各向同性硬化運(yùn)動硬化混合硬化運(yùn)動硬化：該模型假設(shè)材料隨塑性變形發(fā)展時，屈服面的大小和形狀不變，僅是整體在應(yīng)力空間作平動。

各向同性硬化：材料進(jìn)入塑性變形以后，屈服面在各方向均勻地向外擴(kuò)張，其形狀、中心及其在應(yīng)力空間的方位均保持不變。

材料的強(qiáng)化只與總的塑性變形功有關(guān)而與加載路徑無關(guān)。

應(yīng)力有反復(fù)變化時，等向強(qiáng)化模型與實(shí)驗結(jié)果不相符合。

混合硬化：其實(shí)質(zhì)就是將隨動強(qiáng)化模型和等向強(qiáng)化模型結(jié)合起來，即認(rèn)為后繼屈服面的形狀、大小和位置一起隨塑性變形的發(fā)展而變化。該模型能夠更好的反映材料的Bauschinger效應(yīng)。各向同性硬化運(yùn)動硬化第四章彈塑性有限元法基本理論與模擬方法流動法則塑性應(yīng)變增量和應(yīng)力分量的關(guān)系：塑性應(yīng)變沿后繼屈服面F=0的法線方向——是一正的待定系數(shù)，其具體數(shù)值和材料硬化準(zhǔn)則有關(guān)加載、卸載準(zhǔn)則對于硬化材料（當(dāng)材料處于某一塑性狀態(tài)）：4.3幾何非線性問題及分類概念：由于大位移、大轉(zhuǎn)動而引起的非線性。分類：大位移、大轉(zhuǎn)動、小應(yīng)變問題

——板殼的大撓度和后屈曲大位移、大轉(zhuǎn)動、大應(yīng)變問題

——薄板成形、彈性材料的受力比較：線彈性—幾何非線性線彈性：小變形假設(shè)——假定物體發(fā)生的位移遠(yuǎn)小于物體本身的幾何尺寸，應(yīng)變遠(yuǎn)小于1。建立平衡方程時不考慮物體位置和形狀的變化。幾何非線性：物體發(fā)生有限變形——大位移、大轉(zhuǎn)動的情況。建立平衡方程時必須考慮物體位置和形狀的變化。4.4彈塑性矩陣

應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系有各種不同的近似表達(dá)式和簡化式。根據(jù)普蘭特爾—羅伊斯（Prandtl-Reuss）假設(shè)和密賽斯屈服準(zhǔn)則，當(dāng)外作用力較小時，變形體內(nèi)的等效應(yīng)力小于屈服極限時為彈性狀態(tài)。當(dāng)外力增大到某一值，等效應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)，這時變形包括彈性變形和塑性變形兩部分，即：

式中下腳e、p分別表示彈、塑性狀態(tài)。

(4-10)在彈性階段，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系符合虎克定律。進(jìn)入塑性狀態(tài)后，符合Prandtl-Reuss假設(shè)。4.4.1彈性階段

在彈性階段，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系是線性的，應(yīng)變僅取決于最后的應(yīng)力狀態(tài)，并且一一對應(yīng)，而與變形過程無關(guān)，有下列全量形式：

式中為彈性矩陣。

(4-11)對于各向同性材料，由廣義虎克定律可得：

或：(4-12)式中：是材料的彈性模量，是泊松比。對于各向同性材料，廣義虎克定律：

是材料的剪切彈性模量式中：是材料的彈性模量，是泊松比。公式（4-12）的具體推導(dǎo)：

（2）+（3）有：將其帶入（1）得：將其帶入（1）得：同理可推得得表達(dá)式，寫成矩陣的形式，就是：4.4.2彈塑性階段

當(dāng)材料所受外力達(dá)到一定值時，等效應(yīng)力達(dá)到屈服極限，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線由彈塑性矩陣決定，現(xiàn)推導(dǎo)彈塑性矩陣。

等效應(yīng)力為：

對應(yīng)力求導(dǎo)得：

式中為應(yīng)力偏量，

(4-13)(4-14)公式（4-14）對應(yīng)力求導(dǎo)的具體推導(dǎo)：

由普蘭特爾—羅伊斯關(guān)系有：將式4-14代入式4-15得：寫成矩陣形式為：(4-15)(4-16)(4-17)公式（4-16）的具體推導(dǎo)：

式中:

又因有：

寫成矩陣乘積的形式為：(4-18)(4-19)設(shè)為硬化曲線上任一點(diǎn)的斜率，即將式4-20代入式4-19中得：

將式4-11寫成增量形式為：

(4-20)(4-21)

(4-22)

再利用式4-10就可得到：

兩邊同乘以后可得:利用式4-17和式4-21，可將上式寫成：(4-23)(4-24)(4-25)由此得：將式4-26代入式4-17得：(4-27)

(4-26)將式4-27代入式4-23得：(4-28)

由式4-14有：則:(4-29)(4-30)

將式4-12代入式4-30，并注意到：得：因有：

(4-31)

(4-32)

(4-33)

因為：所以：公式（4-31）的具體推導(dǎo)：

故：注意：因為：所以：公式（4-33）的具體推導(dǎo)：

即：那么：或者：故令：式4-28可寫成：(4-34)

(4-35)

利用上述關(guān)系式可將式4-34表示成顯式，即：(4-36)(4-31)公式（4-36）的具體推導(dǎo)：

對于平面應(yīng)力狀態(tài)，，則有：(4-38)(4-37)

公式（4-37）的具體推導(dǎo)：

對于平面應(yīng)力狀態(tài)，，則有：(1)(2)得：同理可推得的表達(dá)式:寫成矩陣的形式，就是：按照上述同樣方法可得：式中：在塑性區(qū)：(4-39)公式（4-39）的具體推導(dǎo)：

所以：

由普蘭特爾—羅伊斯關(guān)系有：寫成矩陣形式為：仿照前面，不難推得：而：其中：對于平面應(yīng)變問題，有

只需從式4-12和式4-36中消去上述為零的分量，就可得到下列各式。(4-40)(4-42)(4-41)4.5變剛度法

變剛度法又稱切線剛度法，它所采用的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系見圖3-1。在等效應(yīng)力達(dá)到屈服極限后，應(yīng)力與應(yīng)變不再是線性關(guān)系，而是由下列關(guān)系式所確定。(4-43)

彈塑性矩陣[D]ep中含有應(yīng)力，它是加載過程的函數(shù)。直接求解是困難的，通常采用增量形式來近似代替微分形式，這樣使求解成為可能。計算中由于[D]ep在?{σ}范圍內(nèi)變化不大，因此可假設(shè)在每一加載步中是一個常數(shù)，并以該加載步前的應(yīng)力狀態(tài)近似計算出[D]ep，即：

單元剛度矩陣[k]在一個加載步中也同樣取作常數(shù)，即：

(4-44)(4-45)

在一個變形體中，不僅各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不相同的，而且隨著加載而變化著，通常變形體受外力作用時，從一個區(qū)域到另一個區(qū)域，等效應(yīng)力是逐漸地達(dá)到屈服極限，即進(jìn)入塑性（彈塑性）狀態(tài)。為了簡化，本章所指進(jìn)入塑性即為彈塑性狀態(tài)，這就是說在變形體中，各單元的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)是不一樣的，隨著加載又是變化的，且各有各的變化規(guī)律。變形體內(nèi)的單元按狀態(tài)可分為三類:

彈性單元塑性單元過渡單元各類單元有不同的本構(gòu)關(guān)系和單元剛度矩陣。在加載過程中，各單元的狀態(tài)是變化的，為此[K]也是變化的。在計算中，每增加一個載荷增量，就得重新計算一次整體剛度矩陣[K]，這也就是變剛度法名稱的由來。式中[K]整體剛度矩陣；

n1、n2、n3分別為彈性單元、塑性單元和過渡單元的數(shù)量；

[k]e、[k]ep、[k]g

分別為彈性單元、塑性單元和過渡單元的單元剛度矩陣。對于整體來說，可用下列關(guān)系式表示：(4-46)整體剛度矩陣求得之后，就可根據(jù)下列載荷和位移的線性方程組求解出未知的節(jié)點(diǎn)位移增量。有了節(jié)點(diǎn)位移增量就能求得各單元的應(yīng)變及應(yīng)力增量。(4-47)(4-49)(4-48)4.5.1定加載法

定加載法又稱等量加載法。它每次的加載量是預(yù)先給定的。這種加載法的加載量一般較大。由于每次加載量較大，每次加載中由彈性單元轉(zhuǎn)變?yōu)閺椝苄詥卧倪^渡單元較多。過渡單元在加載步中達(dá)到屈服，式中m為加權(quán)系數(shù)，0≤m≤1，采用不同的加載方法，過渡單元的處理也有所不同。下面介紹幾種加載方法。(4-50)

m的取值需要進(jìn)行迭代來逼近，收斂性一般都很好，只需進(jìn)行2～3次迭代就能達(dá)到滿意的精確度。定加載法計算程序框圖4.5.2變加載法這種方法又被稱作r因子法。用這種方法計算，每次加載量是變化的，其大小是由計算結(jié)果來確定。計算開始時預(yù)先施加一個單位載荷增量，然后求出各單元在施加單位載荷增量后的等效應(yīng)力增加量。根據(jù)這個增加量求出各彈性單元當(dāng)達(dá)到屈服時所需要施加的增量值，最后取這些增量值中最小的一個增量值作為本次加載的加載量。各彈性單元的加載因子按下式進(jìn)行計算：式中,i單元前次加載后的等效應(yīng)力；

,i單元本次施加單位載荷增量后的等效應(yīng)力；

,i單元達(dá)到屈服所需施加單位加載量的倍數(shù)。(4-51)為了加快計算步伐，常假設(shè)單元的等效應(yīng)力接近屈服極限時就由彈性單元轉(zhuǎn)變?yōu)閺椝苄詥卧?。一般可取單元等效?yīng)力，在下一次施加載荷增量的計算中，這單元就按彈塑性單元處理。采用這種處理方法，能保證每次加載后彈性單元中等效應(yīng)力的最大者正好達(dá)到屈服。在下一次加載中該單元按彈塑性單元處理。這種方法能避免在每個加載步中單元由彈性轉(zhuǎn)變?yōu)閺椝苄运枰嬎鉳因子的過程，還能保證足夠好的計算精度。變加載法的計算程序框圖4.5.3位移法

對于有些問題如圓柱體鐓粗，每次施加的增量不是控制加載力，而是控制壓下量。假設(shè)工具為剛性體，在工具與坯料的接觸面上，各節(jié)點(diǎn)的位移相同。而接觸面上的壓力分布是未知的。這樣在計算中需對與接觸表面上節(jié)點(diǎn)有關(guān)的方程進(jìn)行處理。計算這類問題時，一般先假設(shè)接觸表面上有一個已知的軸向位移增量，根據(jù)這個已知位移增量求出各單元的應(yīng)力和應(yīng)變增量。這種施加位移增量的方法又分為定位移增量法和變位移增量法。4.5.3.1定位移增量法定位移增量法每次施加的位移增量相同。計算過程先算出各單元的應(yīng)力和應(yīng)變增量，有了應(yīng)力增量，累加后可得全應(yīng)力和計算得到等效應(yīng)力。根據(jù)等效應(yīng)力的大小將單元分成彈性單元、塑性單元和過渡單元。對于過渡單元的處理與定加載法相同，為此這種方法在求取m因子時也需要進(jìn)行迭代。

4.5.3.2變位移增量法

這種方法與變加載法相似，每次施加的位移增量由計算結(jié)果來決定。每步計算也是先施加一個單位位移增量，然后根據(jù)這位移增量計算應(yīng)力增量，從而找出彈性單元中等效應(yīng)力增長最快而又最先達(dá)到屈服極限的單元，以這個單元達(dá)到屈服所需要的位移增量為本次施加的位移增量。達(dá)到屈服極限的彈性單元在下次計算中按彈塑性單元處理。

4.6初載荷法

初載荷法是將塑性變形問題試圖轉(zhuǎn)化為彈性問題來求解，它把塑性變形部分視作初應(yīng)力或初應(yīng)變來處理。

在彈性有限元中，當(dāng)彈性體的單元中存在初應(yīng)變{ε}，如因溫度而引起的應(yīng)變，或有初應(yīng)力，如殘余應(yīng)力，則應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系分別為：(4-52)(4-53)這樣可得有初應(yīng)變時的變形能為：即：

(4-54)(4-55)因：得：上式中最后一項為與節(jié)點(diǎn)位移無關(guān)的變形能，由此可得到與節(jié)點(diǎn)位移有關(guān)的變形能為：式中∑是對所有單元求和。

(4-56)(4-57)通過變分可得到初載荷時的有限元公式為：

同樣可導(dǎo)出有初應(yīng)力時的變形能為：這樣，基本方程就比無初應(yīng)變或無初應(yīng)力時多一項{R}，{R}是作為載荷存在于基本方程中，稱為載荷向量。它是由于有初應(yīng)變或初應(yīng)力而引起的，下面分別導(dǎo)出{R}的表達(dá)式。(4-58)(4-59)4.6.1初應(yīng)力法

在小位移的彈塑性問題中，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

為使問題線性化，對于區(qū)域中已達(dá)到屈服的單元，采用逐次加載法。如每次加載的載荷較小，可將上式的微分形式近似地寫作增量形式，即：

(4-60)(4-61)得：

因有：將式:

代入上式，并將右邊表示成矩陣乘積形式，變分后得到：

令：由前面可知：(4-64)(4-63)(4-65)(4-62)上式要表示成（*）的形式，必有：

寫成增量形式為：式中：(4-66)(4-68)(4-67)由上式可以看出，初載荷{R}不僅與加載前的應(yīng)力有關(guān)，而且與該次加載引起的應(yīng)變增量有關(guān)，即式：的兩邊都含未知數(shù)。因此每此加載時，必須利用迭代法來求解。具體迭代過程：可先取，則得，求得初載矢量，在載荷下，解方程式：此時方程可寫成：(4-69)解方程：得到后，再照上述方法依次迭代計算下去。寫作一般迭代式為：

當(dāng)相鄰兩次迭代所得初應(yīng)力相差甚小時，可認(rèn)為迭代結(jié)束。

求得后，再由求和初載荷矢量，然后進(jìn)行第二次迭代計算。(4-70)(4-71)為了考慮過渡單元，運(yùn)用前面引入的加權(quán)系數(shù)m，這樣初載荷矢量為：當(dāng)單元為彈性狀態(tài)時，取m=1單元為塑性狀態(tài)時，取m=0若為過渡單元，則取計算出的m值。(4-72)

計算步驟如下：

⑴施加全部載荷{P}

于結(jié)構(gòu)，按線彈性計算；⑵算出各單元的等效應(yīng)力，并取出最大值σmax

。若σmax≤σs

，則材料尚未達(dá)到或剛巧達(dá)到屈服，所計算結(jié)果就是最終結(jié)果。否則，令β=σs/σmax

，則β{P}是恰好使等效應(yīng)力為σmax的單元達(dá)到屈服的載荷，同時存貯由β{P}

產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和節(jié)點(diǎn)位移。余下的載荷{P}?β{P}

如分n

次加載完，每次施加的載荷增量為：⑶再施加載荷增量?{P}

于結(jié)構(gòu)；⑷計算屈服單元和過渡單元的[D]p，應(yīng)力取加載前的值，過渡單元取達(dá)到屈服時的應(yīng)力值；⑸對載荷增量?{P}

進(jìn)行純彈性計算，求得各單元的全應(yīng)變增量?{ε}；⑹用迭代所得的全應(yīng)變增量，重新計算初應(yīng)力；⑺求出相應(yīng)的初載荷，與?{P}一起作用，按彈性問題求解得節(jié)點(diǎn)位移增量和應(yīng)變增量；⑻重復(fù)步驟⑹、⑺直到相鄰兩次計算所得的初應(yīng)力非常接近時為止；

⑼

求出應(yīng)力增量，把位移增量、應(yīng)變增量、應(yīng)力增量迭加到加載前的數(shù)值上；⑽輸出本次加載后的計算結(jié)果；

⑾載荷若全部加完，則停機(jī)。否則，回到步驟⑶繼續(xù)計算。

4.6.2初應(yīng)變法

有初應(yīng)變時，與節(jié)點(diǎn)位移有關(guān)的變形能為：將上式代入式4-64后，進(jìn)行變分運(yùn)算可得：(4-73)(4-64)

由此可得：

在小位移彈塑性問題中，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可寫成：把視為初應(yīng)變，則與彈性問題中存在初應(yīng)變的情況相似，只要在基本方程的右邊加上由引起的初載荷矢量。由于使用的只是彈性矩陣，所以其相應(yīng)的剛度矩陣計算與彈性時相同。

(4-74)(4-75)把塑性應(yīng)變增量視為初應(yīng)變，則:

由式4-17與式4-21可得：

寫作增量形式為：(4-76)(4-78)(4-77)應(yīng)用式4-76和式4-78的關(guān)系，式4-72可寫成：(4-79)

這樣，初載荷矢量不僅與加載前的應(yīng)力有關(guān)，而且與這次加載的應(yīng)力增量有關(guān)。因此在基本方程式4-67的等式兩邊都有未知數(shù)，必須用迭代的方法求解。迭代公式與初應(yīng)力相似，即：(4-80)

當(dāng)i=0時，?{σ0}=0，{R0}=0，按純彈性計算，當(dāng)?shù)邢噜彾斡嬎闼玫?{ε}p相差很小時，則迭代完成。每次加載時，的計算可利用本次加載前的應(yīng)力進(jìn)行計算。以上表明:對于變剛度法，每次加載都必須重新計算剛度矩陣。對于初應(yīng)力或初應(yīng)變法，每一步加載只需求解一個具有相同剛度矩陣的問題。所以，變剛度法的計算量一般比初應(yīng)力法或初應(yīng)變法大一些。但是，后兩種方法每加載一步都必須對初應(yīng)力或初應(yīng)變進(jìn)行迭代，于是就存在迭代是否收斂的問題。對于應(yīng)變強(qiáng)化的材料，初應(yīng)力法一定收斂；一般初應(yīng)變法也是收斂的。但對理想塑性