第五章 線性系統(tǒng)狀態(tài)變量分析

第5章線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析本章主要教學(xué)內(nèi)容

1.狀態(tài)變量分析的基本概念2.用狀態(tài)方程描述線性定常連續(xù)系統(tǒng)3.線性離散系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達式4.線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程分析5.用線性離散狀態(tài)方程分析系統(tǒng)6.線性連續(xù)系統(tǒng)的離散化

研究對象數(shù)學(xué)工具理論時域頻域單輸入-單輸出系統(tǒng)連續(xù)微分方程傳遞函數(shù)法(Laplace變換)經(jīng)典控制理論離散差分方程Z傳遞函數(shù)法(Z變換)計算機控制理論多輸入-多輸出系統(tǒng)

連續(xù)一階微分方程組(狀態(tài)空間法)傳遞矩陣法現(xiàn)代控制理論

離散一階差分方程組(離散狀態(tài)空間法)

Z傳遞矩陣法計算機控制理論研究對象、數(shù)學(xué)工具與理論之比較●

現(xiàn)代控制理論復(fù)雜的工程系統(tǒng)可能具有多輸入量和多輸出量，并且可能是時變的。從1960年開始發(fā)展起來的現(xiàn)代控制理論，就是對復(fù)雜系統(tǒng)進行分析和設(shè)計的新方法，它建立在“狀態(tài)”概念之上?！?/p>

現(xiàn)代控制理論與經(jīng)典控制理論的區(qū)別前者適用于多輸入–多輸出系統(tǒng)，可以是線性的或非線性的，也可以是定常的或時變的；后者僅適用于線性、定常、單輸入–單輸出系統(tǒng)。5.1狀態(tài)變量分析的基本概念5.1.1引例1.右圖所示質(zhì)量-阻尼-彈簧系統(tǒng)，有三種描述方法。（1）微分方程（2）傳遞函數(shù)時，系統(tǒng)的狀態(tài)就速度、和輸入量當(dāng)已知初始位移、（3）一階微分方程組這是系統(tǒng)的狀態(tài)方程，唯一確定了。定義狀態(tài)變量定義狀態(tài)向量則則得到狀態(tài)方程（5.1-1）輸出方程（5.2-2）寫成標(biāo)準(zhǔn)形式式中2.由一個電阻R（歐姆）、電感L（亨利）和一個電容C（法拉）組成的電路系統(tǒng)。（1）微分方程（2）傳遞函數(shù)（3）狀態(tài)空間表示。定義狀態(tài)變量定義輸入和輸出變量則可得狀態(tài)方程輸出方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式式中以狀態(tài)變量為元組成的列向量5.1.2狀態(tài)變量、狀態(tài)向量、狀態(tài)空間、狀態(tài)方程1狀態(tài)變量動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量是指能完整地、準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的時域行為的最小一組變量：2狀態(tài)向量稱為狀態(tài)向量.3狀態(tài)空間狀態(tài)向量所有可能的集合—以狀態(tài)向量各元素為坐標(biāo)軸組成的n維正交空間稱為狀態(tài)空間。4狀態(tài)方程描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組，用向量矩陣表示的方程式稱為狀態(tài)方程。標(biāo)準(zhǔn)形式或為n×m維系數(shù)矩陣（輸入矩陣）。為n×n維系數(shù)矩陣（狀態(tài)矩陣）；為n×1維狀態(tài)向量；為m×1維輸入向量；5.1.3狀態(tài)方程與輸出方程的標(biāo)準(zhǔn)形式1狀態(tài)方程式中（3）非線性系統(tǒng)—其狀態(tài)方程不可能寫成上述標(biāo)準(zhǔn)（1）定常系統(tǒng)—A和B中的各元素都是不隨時間變化的常數(shù)；（2）時變系統(tǒng)—有一些元素是時間的函數(shù)，即形式，只能一般地表示為—p×1維輸出向量；2輸出方程標(biāo)準(zhǔn)形式式中—p×n維系數(shù)矩陣（輸出矩陣；—p×m維系數(shù)矩陣（直傳矩陣）。！注意在狀態(tài)方程中不能含有X高于一階的導(dǎo)數(shù)項和U的任何階的導(dǎo)數(shù)項；在輸出方程中不含有任何導(dǎo)數(shù)項。5.2用狀態(tài)方程描述線性定常連續(xù)系統(tǒng)5.2.1由高階微分方程化為狀態(tài)方程(m＜n)其中y為輸出函數(shù)，u為輸入函數(shù)。列寫狀態(tài)方程就是1方程中不包含輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)的情況把上式的高階微分方程化為與確定的狀態(tài)變量相應(yīng)的一階微分方程組，然后用矩陣表示?；癁闋顟B(tài)變量（1）選擇狀態(tài)變量（2）將高階微分方程的一階微分方程組。系統(tǒng)輸出關(guān)系式為（3）將一階微分方程組用矩陣形式表示狀態(tài)方程為輸出方程為若記則狀態(tài)方程和輸出方程可寫成2方程中包含輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)的情況（1）選擇狀態(tài)變量，令式中：為待定系數(shù)。（1）（2）經(jīng)推導(dǎo)可得（即可由、計算）（3）（2）導(dǎo)出狀態(tài)變量的一階微分方程組和輸出方程（3）寫成矩陣形式狀態(tài)方程輸出方程5.2.2由傳遞函數(shù)求狀態(tài)方程1單輸入單輸出定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是一般的有理式式中m＜n，它所對應(yīng)的微分方程為初始條件為選狀態(tài)變量，可得引入一個中間變量X(s)，將G(s)改寫為令則有狀態(tài)方程……（1）（5.2-1)上頁式（1）等價于即輸出方程（5.2-2）2傳遞函數(shù)展成部分分式，只有單極點設(shè)其中分母N(s)只有單根，即其中待定系數(shù)是在相應(yīng)極點處的留數(shù)，即（5.2-3）（5.2-4）于是輸出的拉氏變換令則輸出（5.2-5）（5.2-6）由式（4.2-5）可得到的拉氏反變換以為狀態(tài)變量，可以寫出狀態(tài)方程：輸出方程：3函數(shù)展成部分分式，有重極點設(shè)G(s)的分母N(s)可分解為則G(s)可分解為其中重極點對應(yīng)各項的系數(shù)其余系數(shù)按式（5.2-4）求得。由傳遞函數(shù)可得選擇狀態(tài)變量則輸出的拉氏變換由上組方程的拉氏反變換得到狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式狀態(tài)方程：輸出方程：上述狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣為若當(dāng)（John）標(biāo)準(zhǔn)型。其特征是：除主對角線上的元素可取任意值及緊靠主對角線上的元素可為1外，其余元素都為0.的狀態(tài)方程按前述三種情況求出?；琩是常數(shù)，是有理分式。輸出的4傳遞函數(shù)分子分母階次相等當(dāng)傳遞函數(shù)的分子的階次m等于分母的階次n時,拉氏變換為例5.2-1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，求它的動態(tài)方程。【解】輸出的拉氏變換由式（5.2-1）可寫出狀態(tài)方程輸出方程由兩部分組成5.3線性離散系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達式單輸入-單輸出多輸入-多輸出連續(xù)系統(tǒng)時域微分方程一階微分方程組復(fù)域傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)矩陣離散系統(tǒng)時域差分方程一階差分方程組復(fù)域Z傳遞函數(shù)

Z傳遞函數(shù)矩陣連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的分析方法之比較線性離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式可表示為F：n×n維，狀態(tài)矩陣G：n×m維，輸入矩陣/驅(qū)動矩陣C：p×n維，輸出矩陣D：p×m維，直傳矩陣/傳輸矩陣5.3.1由差分方程導(dǎo)出離散狀態(tài)空間表達式單輸入-單輸出離散系統(tǒng)的n階差分方程1m=1.即控制變量（差分方程的輸入函數(shù)）不包含差分項狀態(tài)方程：（1）選擇狀態(tài)變量輸出方程簡寫成2

m≠0，即控制變量包含高于一階的差分選擇狀態(tài)變量差分方程其中待定系數(shù)狀態(tài)方程可以求得.于是得到輸出方程例5.2-1設(shè)線性定常差分方程為試寫出狀態(tài)方程和輸出方程?！窘狻坑梢阎獥l件知

!由于狀態(tài)變量的選擇不是唯一的，因此狀態(tài)方程也不是唯一的。輸出方程狀態(tài)方程5.3.2由Z傳遞函數(shù)建立離散狀態(tài)空間表達式1直接程序法G(z)可寫成令選擇狀態(tài)變量狀態(tài)方程（1）G(z)具有不同的極點.輸出方程2分式展開法式中令則有及設(shè)為r重極點.（2）G(z)具有多重極點式中狀態(tài)方程與輸出方程分別為初始條件.5.4線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程分析5.4.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解先用逐次逼近法求解純量齊次微分方程用逐次逼近法可求得可以驗證級數(shù)（5.4-2）是齊次方程（5.4-1）的解，（5.4-1）（5.4-2）對式（5.4-2）求導(dǎo)方程（5.4-2）右端級數(shù)是一致收斂的，所以方程（5.4-3）成立，級數(shù)（5.4-2）是方程（5.4-1）的解.而由微分方程理論已知，滿足初始條件的方程（5.4-1）的解為（5.4-3）1向量微分方程逐次逼近求解法（5.4-4）式中：X為n維列向量；A為n×n維定常矩陣.參照純量方程的解（5.4-2）可以得到齊次方程（5.4-4）的解（5.4-5）可以證明式（5.4-5）右端的矩陣級數(shù)對任意A和t是一致收斂的，所以它是方程（5.4-4）的解.比較式（5.4-2）和（5.4-5）括號內(nèi)的兩個級數(shù)，它在形式上完全一樣，因此后者可以認(rèn)為收斂為矩陣指數(shù)函數(shù).定義無窮級數(shù)矩陣稱為矩陣指數(shù)，可以證明此級數(shù)對于任何實數(shù)矩陣A都是絕對收斂的。定理狀態(tài)方程（5.4-4）滿足初始條件的解為2拉氏變換求解法對方程（5.4-4）兩邊做拉氏變換式中（5.4-6）（5.4-7）后，利用可求得任意時刻的狀態(tài)。因此包含稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。當(dāng)系統(tǒng)的初始條件已知對式（5.4-7）兩邊取拉氏反變換，得到狀態(tài)方程的解根據(jù)線性定常微分方程截的唯一性，可知了系統(tǒng)的自由運動的全部信息。5.4.2線性定常非齊次方程的解狀態(tài)方程初始條件（5.4-8）1方程（5.4-8）移項后兩端左乘，經(jīng)推導(dǎo)得到非齊次方程的解（5.4-9）同樣（5.4-10）初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)移項控制作用下的受控項2利用拉氏變換求解對式（5.4-8）兩端取拉普拉斯變換對上式兩端取拉氏反變換零輸入分量：初態(tài)對各狀態(tài)的影響零狀態(tài)分量：各狀態(tài)對輸入的響應(yīng)（5.4-11）（5.4-12）系統(tǒng)的輸出方程對上式兩邊取拉氏變換（5.4-12）（5.4-13）將式（5.4-11）代入上式（5.4-14）3傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間方程的關(guān)系零初始條件下，即方程（5.4-8）的初態(tài)時，就是單輸入-單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，由式（5.4-14）可得則4傳遞函數(shù)矩陣多輸入-多輸出系統(tǒng)，設(shè)有m個輸入，n個輸出，（5.4-15）則可用傳遞函數(shù)矩陣將輸出量Y(s)與輸入量U(s)聯(lián)系起來，即G(s)是n×m維矩陣。是系統(tǒng)的特征方程，反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。（5.4-16）5.4.3矩陣指數(shù)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1矩陣指數(shù)的定義關(guān)于n×n的方陣A，定義矩陣指數(shù)函數(shù)如下：這里規(guī)定?？梢宰C明上式的右端級數(shù)對于任何（5.4-17）A和t都是收斂的。2矩陣指數(shù)的性質(zhì)（略）稱為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。而且，是非奇異矩的初始狀態(tài)向量。矩陣可以表明，在沒有外作用下，從時刻0到t的狀態(tài)演化（變換），因此，把3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣在沒有輸入即u(t)=0的情形下，齊次狀態(tài)方程的解就是系統(tǒng)的自由運動。X(t)為系統(tǒng)在時刻t的狀態(tài)向量，X(0)為系統(tǒng)在t=0陣。這種是線性變換，也是可逆變換?！?/p>

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的一般定義設(shè)時變系統(tǒng)為定義一個n×n階矩陣（5.4-18）其中第k列是方程（5.4-18）在初始條件為的解，稱是系統(tǒng)（5.4-18）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?！?/p>

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的一般性質(zhì)（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足微分方程●把寫成n個列向量（2）（3）并設(shè)初值為。稱作狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即作用于系統(tǒng)時，矩陣的各列構(gòu)成函數(shù)列向量的向量空則上式表明，齊次狀態(tài)方程在任意初始條件下的解，總是各個列向量的線性組合。即間的一組基。就把系統(tǒng)時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到t時刻的狀態(tài)5.5用線性離散狀態(tài)方程分析系統(tǒng)●線性離散狀態(tài)方程的解法●

Z傳遞矩陣●

Z特征方程5.5.1線性離散狀態(tài)方程的求解線性離散狀態(tài)方程就是由高階的差分方程轉(zhuǎn)化過來的一階差分方程組。●迭代法●

Z變換法1迭代法設(shè)線性系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達式為狀態(tài)量和輸入的初始值分別為X(0)、u(0)。（k=0,1,2,…）以k=0,1,2,…,代入式（5.5-1）可推得（5.5-1）（5.5-2）方程（5.5-2）給出了離散方程狀態(tài)方程的通解，代入方程（5.5-1）便可得到輸出y(kT).從方程（5.5-2）還可以看出系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為它描述了當(dāng)u(kT)=0時，系統(tǒng)由t=0的初始狀態(tài)X(0)向任意時刻t=kT的狀態(tài)X(kT)轉(zhuǎn)移的特性。！用迭代法接狀態(tài)方程得不到閉合解析式（5.5-3）（5.5-4）例5.5-1試用Z變換法求如下狀態(tài)方程的解設(shè)【解】令k=0,1,2,···,用迭代式，可得狀態(tài)方程的解可見，用迭代法求得上述的解，只能得到數(shù)值解，而不能寫成閉合形式。若要寫成閉式解，可以先求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，然后求得閉式解。2

Z變換法對式（5.5-1）兩邊作Z變換，可推得（5.5-5）對式（5.5-3）作Z反變換，可得（5.5-6）比較式（5.5-6）和（5.5-3），有（5.5-7）例5.5-2試用Z變換法求解例5.5-1.【解】于是可算出解得為5.5.2線性離散系統(tǒng)的Z傳遞矩陣

設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為對上式作Z變換式中：X(kT)—n×1維狀態(tài)向量U(kT)—m×1維輸入向量Y(kT)—p×1維輸出向量當(dāng)初始條件為零，即X(0)=0時，有其中（5.5-9）稱為線性離散系統(tǒng)的Z傳遞矩陣（p×m維矩陣）。它反映了在初態(tài)靜止的條件下，輸出量和輸入量的Z變換即Y(z)與U(z)之間的關(guān)系。5.5.3線性離散系統(tǒng)的Z特征方程狀態(tài)方程對上式作Z變換，可得仿照線性連續(xù)系統(tǒng)，令矩陣行列式（5.5-10）稱上式為離散系統(tǒng)的Z特征方程，它的根是矩陣F的特征值，就是線性離散系統(tǒng)的極點。當(dāng)時，是否收斂決定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。5.5.4用離散狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性狀態(tài)方程當(dāng)輸入量u(kT)=0時，可知其解為系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)特征方程的所有特征根滿