第五講 統(tǒng)計檢驗及預測

回顧5、參數(shù)估計的最大似然法和矩法4、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計思考：在5%的顯著性水平下，若通過樣本得到了置信區(qū)間一個，如何解釋？答：給定置信系數(shù)95%，從長遠看，在類似于的固定區(qū)間含有真實值的概率不是1就是0。區(qū)間中，將有95個包含著真實的每100個的值；但這個特殊2.4一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗

2.5一元線性回歸分析的應用：預測問題一、參數(shù)的區(qū)間估計二、擬合優(yōu)度檢驗

三、變量的顯著性檢驗

一、擬合優(yōu)度檢驗二、變量的顯著性檢驗三、條件均值與個別值的預測

一、擬合優(yōu)度檢驗

擬合優(yōu)度檢驗：對樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合程度的檢驗。

回答樣本回歸直線對樣本觀測點擬合的多么好的度量

度量擬合優(yōu)度的指標：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R21、總離差平方和的分解

已知由一組樣本觀測值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線

Y的第i個觀測值可表述為如果Yi=?i即實際觀測值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好?？烧J為，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關(guān)。

對于所有樣本點，則需考慮這些點與樣本均值離差的平方和（兩邊取平方后求和）,可以證明（P34頁結(jié)論）：記總離差平方和（TotalSumofSquares）回歸平方和（ExplainedSumofSquares）殘差平方和（ResidualSumofSquares

）TSS=ESS+RSS

Y的觀測值圍繞其均值的總離差(totalvariation)可分解為兩部分：一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則來自隨機勢力(RSS)。在給定樣本中，TSS不變，如果實際觀測點離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此

擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS2、可決系數(shù)R2統(tǒng)計量

稱R2為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficientofdetermination)。

可決系數(shù)的取值范圍：[0，1]。R2越接近1，說明實際觀測點離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高。在例2.1.1的收入-消費支出例中，

注：可決系數(shù)是一個非負的統(tǒng)計量。它也是隨著抽樣的不同而不同。為此，對可決系數(shù)的統(tǒng)計可靠性也應進行檢驗，這將在第3章中進行。

擬合優(yōu)度0.9935說明X的變化可以解釋Y的99.35%的變化。關(guān)于可決系數(shù)的說明可決系數(shù)只是說明列入模型的所有解釋變量對被解釋變量的聯(lián)合的影響程度，不說明模型中各解釋變量的單獨的影響程度（在多元中）回歸分析的主要目的如果是經(jīng)濟結(jié)構(gòu)分析，不能只追求高的可決系數(shù)，而是要得到總體回歸系數(shù)可信的估計量。可決系數(shù)高并不一定每個系數(shù)都可信任。如果建模的目的只是為了預測被解釋變量的值，不是為了正確估計回歸系數(shù)，一般可考慮有較高的可決系數(shù)。

二、變量的顯著性檢驗

從擬合優(yōu)度中看出，擬合優(yōu)度越高，就說明樣本回歸線對觀測值的擬合就越好，但這只是推測，解釋變量對被解釋變量是否有顯著的線性影響需要我們?nèi)パ芯?，這就是變量的顯著性檢驗。

回歸分析中，主要是針對變量前的參數(shù)真值是否為零來檢驗。

1、假設檢驗

先根據(jù)實際問題的要求提出一個論斷，稱為原假設，然后根據(jù)樣本信息，看能得到什么結(jié)果，如果導致一個不合理的結(jié)果，拒絕原假設。判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的。注意這里的“接受和拒絕”

2、變量的顯著性檢驗

如果變量X是顯著的，那么參數(shù)應該顯著的不為0

檢驗步驟：

（1）對總體參數(shù)提出假設H0：1=0，H1：10（2）以原假設H0構(gòu)造t統(tǒng)計量，并由樣本計算其值（3）給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值t/2(n-2)(4)比較，判斷若給定顯著性水平,則雙側(cè)檢驗的臨界值為0t若|t|>t/2(n-2)，則拒絕H0，接受H1；（小概率事件發(fā)生）若|t|

t/2(n-2)，則接受H0；

對于一元線性回歸方程中的0，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量進行顯著性檢驗：

在上述收入-消費支出例中，首先計算2的估計值

t統(tǒng)計量的計算結(jié)果分別為：

給定顯著性水平=0.05，查t分布表得臨界值

t0.05/2(8)=2.306|t1|>2.306，說明家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即是消費支出的主要解釋變量；

|t0|>2.306,表明在95%的置信度下，拒絕截距項為零的假設。

92.34019.0670.0?1?11===bbSt20.345.4440.142?0?00-=-==bbSt一個“大”的是與虛擬假設相抵觸的跡象。觀察t分布表，當自由度為20或更大時，計算的t值如果是2.5或3或更大，則我們就不需要再查閱t分布表以評定所估的參數(shù)的顯著性，它必定是要拒絕原假設，即該變量通過了顯著性檢驗。當自由度小于20時，我們要查閱t分布表。注意1：注意2：顯著性水平—犯第一類錯誤的概率——拒絕了真值的假設的概率經(jīng)典假設檢驗方法的痛處—選擇的武斷用精確的顯著性水平P值判斷參數(shù)的顯著性P值是根據(jù)既定的樣本數(shù)據(jù)所計算的統(tǒng)計量與相應自由度下查到的臨界值比較，得到的臨界值和計算的統(tǒng)計量一樣大或者更大的概率——拒絕原假設的最小顯著性水平規(guī)則：時，值越小，越能拒絕原假設。如果數(shù)據(jù)不支持原假設，則在原假設下得到的值將會很“大”，得到這樣一個的值的p值就很“小”。固定在一定的水平上將再回到區(qū)間估計給定顯著性水平整理可以得到的置信度下的置信區(qū)間是通過變量的顯著性檢驗，我們知道

由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。

要縮小置信區(qū)間，需

（1）增大樣本容量n，因為在同樣的置信水平下，n越大，t分布表中的臨界值越小

（2）提高模型的擬合優(yōu)度，因為樣本參數(shù)估計量的標準差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應越小。回歸分析結(jié)果的報告經(jīng)過模型的估計、檢驗，得到一系列重要的數(shù)據(jù)，為了簡明、清晰、規(guī)范的表述這些數(shù)據(jù)，計量經(jīng)濟學通常采用以下規(guī)范化的方式：標準誤差SE估計的t統(tǒng)計量可決系數(shù)和自由度F統(tǒng)計量DW統(tǒng)計量估計的樣本回歸函數(shù)計量經(jīng)濟預測是一種條件預測：模型設定的關(guān)系式不變所估計的參數(shù)不變解釋變量在預測期的取值已作出預測對被解釋變量的預測分為：平均值和個別值預測對被解釋變量的預測又分為點預測和區(qū)間預測預測的類型2.5一元線性回歸分析的應用：預測問題預測值、平均值、個別值的關(guān)系PRFSRF點預測值真實平均值個別值是真實平均值預測值的點估計，也是個別值預測值的點估計?？傮w條件均值的區(qū)間估計必須找出與和都有關(guān)的統(tǒng)計量由于存在抽樣波動，預測的值不一定等于真實總體條件均值。基本思想：具體做法：從的分布分析)))(1(,(~?2202F10F?-++ixXXnXNYsbb于是，在1-的置信度下，總體均值的置信區(qū)間為

個別預測值的置信區(qū)間基本思想：是真實平均值的點估計，也是個別值的點估計。由于存在隨機擾動項的影響，Y的條件均值并不等于Y的個別值。為了對Y的個別值做區(qū)間預測，需要尋找與預測值和個別值有關(guān)的統(tǒng)計量，并要明確其概率分布。于是

具體做法：已知殘差項是與預測值和個別值都有關(guān)的變量，并且已知服從正態(tài)分布式中:從而在1-的置信度下，個別值Y0的置信區(qū)間為

被解釋變量點估計與區(qū)間估計的特點Y的總體條件均值的預測值與真實的總體條件均值有誤差，主要是受抽樣波動影響。

Y個別值的預測值與真實個別值的差異，不僅受抽樣波動影響，而且還受隨機擾動項的影響。總體條件均值和個別值的預測區(qū)間都不是常數(shù)，是隨XF的變化而變化。預測區(qū)間上下限與樣本容量有關(guān)，樣本容量n越大，預測精度越高，反之預測精度越低；當樣本容量n趨近于無窮時，個別值的預測誤差只決定于隨機擾動項的方差。若對于前面的例子，我們得到了總體均值的95%的置信區(qū)間為

給定在重復抽樣中，每100個類似于(533.05，814.62)的區(qū)間將有95個包含著真實的均值。如何解釋？如果我們對每一個X值求類似于(533.05，814.62)的95%的置信區(qū)間，把這些區(qū)間的端點連接起來，我們就得到如圖所展示的一個關(guān)于總體回歸函數(shù)的置信帶。如果我們對每一個X值求類似于（372.03，975.6