第2章 材料力學(xué)基礎(chǔ)

第2章材料力學(xué)基礎(chǔ)材料力學(xué)的基本概念2.1軸向拉伸和壓縮2.2剪切與擠壓2.3圓軸扭轉(zhuǎn)2.4

工程中有各種各樣的結(jié)構(gòu)或機(jī)械，不管其結(jié)構(gòu)多么復(fù)雜，它們都是由一個(gè)個(gè)構(gòu)件組合而成的。

任何構(gòu)件在外力作用下，它的幾何形狀和尺寸大小都會(huì)發(fā)生一定程度的改變，如各種機(jī)床的刀具、車床的主軸（見圖2.1）等，它們?cè)谕饬υ黾拥揭欢ǔ潭葧r(shí)會(huì)發(fā)生破壞。

構(gòu)件的過大變形和破壞，都會(huì)影響工程結(jié)構(gòu)的正常工作。為了保證工程結(jié)構(gòu)在載荷作用下正常工作，要求每個(gè)構(gòu)件具有足夠的承載能力，承載能力的大小主要由強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性3個(gè)方面來衡量。圖2.1車床的主軸2.1材料力學(xué)的基本概念2.1.1構(gòu)件的承載能力

機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)都是由許多構(gòu)件組合而成的，任何一個(gè)構(gòu)件都是用某種材料制成的。

承載能力主要由以下3個(gè)方面的指標(biāo)來衡量，如表2.1所示。名稱含義指標(biāo)要求實(shí)例強(qiáng)度構(gòu)件抵抗破壞的能力構(gòu)件承載后不發(fā)生破壞時(shí)構(gòu)件應(yīng)具有的足夠強(qiáng)度起重用的鋼絲繩在起吊額定重量的重物時(shí)不能斷裂；車床主軸在正常工作時(shí)不能折斷等剛度構(gòu)件抵抗變形的能力構(gòu)件承載后不發(fā)生過大變形時(shí)構(gòu)件應(yīng)具有的足夠的剛度如車床主軸在保證足夠強(qiáng)度的同時(shí)，還需要有足夠的剛度，否則過大的變形，會(huì)影響工件的加工精度表2.1 構(gòu)件安全性指標(biāo)穩(wěn)定性桿件維持其原有平衡形式的能力構(gòu)件應(yīng)具有足夠的穩(wěn)定性，以保證在規(guī)定的使用條件下不喪失穩(wěn)定性而破壞螺旋千斤頂中的螺桿和內(nèi)燃機(jī)中配氣機(jī)構(gòu)的挺桿當(dāng)壓力增大到一定程度時(shí)，桿件就會(huì)突然變彎，失去原來的直線平衡形式2.1.2材料力學(xué)的任務(wù)

在設(shè)計(jì)一個(gè)構(gòu)件時(shí)，除了保證構(gòu)件安全工作外，同時(shí)還要考慮經(jīng)濟(jì)方面的要求。2.1.3桿件變形的基本形式

工程中大多數(shù)構(gòu)件，如軸、絲杠和螺栓等都是縱向尺寸（長度）遠(yuǎn)大于橫向尺寸的材料，在材料力學(xué)上將這類構(gòu)件稱為桿。

如果桿的軸線為曲線稱為曲桿，如果桿的軸線為直線，稱為直桿。

若直桿各橫截面都相等，這種桿件稱為等橫截面直桿。

它是材料力學(xué)研究的基本對(duì)象。

桿件在不同的受力情況下，會(huì)產(chǎn)生各種不同的變形。

基本變形形式有4種，如表2.2所示。

對(duì)于工程中比較復(fù)雜的桿件變形，也只是這幾種基本變形形式的組合。續(xù)表2.2軸向拉伸和壓縮2.2.1軸向拉伸和壓縮時(shí)的內(nèi)力1．內(nèi)力

桿件在外力作用下產(chǎn)生變形，其內(nèi)部的一部分對(duì)另一部分的作用稱為內(nèi)力。

拉壓桿上的內(nèi)力又稱為軸力。

這種內(nèi)力將隨外力增大而增大，當(dāng)外力增大到一定限度時(shí)，桿件就會(huì)發(fā)生破壞。2．截面法

將受外力作用的桿件假想地切開來用以顯示內(nèi)力，并以平衡條件來確定其合力的方法，稱為截面法。圖2.2受拉桿件受力分析

綜上所述，求桿件內(nèi)力的方法—截面法可概述如下。（1）截開沿欲求內(nèi)力的截面，假想把桿件分成兩部分。（2）代替取其中一部分為研究對(duì)象，畫出其受力圖。在截面上用內(nèi)力代替移去部分對(duì)留下部分的作用。（3）平衡列出平衡方程，確定未知的內(nèi)力。注意

軸力符號(hào)的規(guī)定為拉伸時(shí)N為正（N的指向背離截面）；壓縮時(shí)N為負(fù)（N的指向朝向截面）。2.2.2拉伸和壓縮時(shí)橫截面上的應(yīng)力1．應(yīng)力

有兩根桿件材料相同，一根較細(xì)，一根較粗。

在相同外力作用下，較細(xì)那根構(gòu)件容易破壞。

因此，需綜合內(nèi)力和橫截面面積兩個(gè)因素才能正確反映桿件的強(qiáng)度。

工程上常用應(yīng)力來衡量構(gòu)件受力的強(qiáng)弱程度。

應(yīng)力是指構(gòu)件在外力作用下，單位面積上的內(nèi)力。2．正應(yīng)力

垂直于橫截面上的應(yīng)力，稱為正應(yīng)力，用

表示，即

=N/A

式中

—橫截面上的正應(yīng)力，單位為MPa；

N—橫截面上的內(nèi)力（軸力），單位為N；

A—橫截面的面積，單位為mm2。2.2.3拉伸（壓縮）時(shí)橫截面上的應(yīng)變1．絕對(duì)變形和相對(duì)變形

現(xiàn)在我們研究圖2.5所示的軸向尺寸的變化。圖2.5桿件受拉和受壓絕對(duì)變形與桿的原長有關(guān)，為了消除桿件原長度的影響，采用單位原長度的變形量來度量桿件的變化程度，稱為相對(duì)變形，又稱為應(yīng)變。用ε表示，則

對(duì)于拉桿，

為正值；對(duì)于壓桿，

為負(fù)值。

是無單位的，通常用百分比表示。2．胡克定律

桿件拉伸或壓縮時(shí)，其變形和應(yīng)力間存在著一定的關(guān)系。

實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)桿件橫截面上的正應(yīng)力不超過某一限度時(shí)，桿的正應(yīng)力與軸向線應(yīng)變成正比，這一關(guān)系稱為胡克定律，即材料名稱碳鋼合金鋼灰鑄鐵銅及其合金鋼鋁合金橡膠E值196～216186～20678.5～15773～128703表2.3 常用材料的E值2.2.4拉伸（壓縮）時(shí)的應(yīng)力—

應(yīng)變曲線1．低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線

試件在受到緩慢施加的拉力作用下，試件逐漸被拉長（伸長量用L來表示），直到試件斷裂為止。

這樣得到F與L的關(guān)系曲線，稱為拉伸圖或F—L曲線，如圖2.6所示。圖2.6低碳鋼拉伸圖圖2.7低碳鋼拉伸變形

—

曲線①彈性階段②屈服階段③強(qiáng)化階段④頸縮階段2．鑄鐵拉伸時(shí)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線

從灰口鑄鐵拉伸時(shí)的

—

圖可以看

出是一段微彎的曲線，如圖2.8所示。

無明顯直線部分，表明應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系不符合胡克定律，但在應(yīng)力較小時(shí)，可近似以直線代替曲線。

也就是說，在較小應(yīng)力時(shí)仍近似符合胡克定律，從而可確定彈性模量E的值。圖2.8灰鑄鐵拉伸變形圖3．低碳鋼壓縮時(shí)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線4．鑄鐵壓縮時(shí)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線

綜上，塑性材料和脆性材料力學(xué)性能的主要區(qū)別如下。（1）塑性材料斷裂前既有明顯的塑性變形又有明顯的屈服現(xiàn)象，而脆性材料在變形很小時(shí)突然斷裂，無屈服現(xiàn)象。（2）塑性材料在拉伸和壓縮時(shí)的比例極限、屈服極限和彈性摸量均相同，因塑性材料一般不允許達(dá)到屈服極限，所以其抵抗拉伸和壓縮的能力相同。脆性材料抵抗拉伸的能力遠(yuǎn)低于其抵抗壓縮的能力。2.2.5拉伸和壓縮的強(qiáng)度條件和應(yīng)用1．許用應(yīng)力和安全系數(shù)

為保證構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度，構(gòu)件在外力作用下的最大工作應(yīng)力必須小于材料的極限應(yīng)力。2．構(gòu)件在拉伸和壓縮時(shí)的強(qiáng)度條件

為保證拉（壓）桿不致因強(qiáng)度不夠而失去正常的工作能力，必須使其最大工作應(yīng)力不超過材料在拉伸（壓縮）時(shí)的許用應(yīng)力[

]，即

N/A≤[

]式中[

]

—許用應(yīng)力，單位為MPa；

N

—橫截面上的內(nèi)力，單位為N；

A

—橫截面的面積，單位為mm2。2.3剪切與擠壓2.3.1剪力和切應(yīng)力

在工程實(shí)際中，有很多承受剪切的構(gòu)件，如鉚釘、鍵和銷等連接件，都是剪切變形的工程實(shí)例。

圖2.12（a）所示為一鉚釘連接的簡圖。

切應(yīng)力的計(jì)算公式為

式中—切應(yīng)力，單位為MPa；

Q

—剪切面上的剪力，單位為N；

A

—剪切面面積，單位為mm2。圖2.12鉚釘連接的簡圖2.3.2擠壓應(yīng)力

機(jī)械中受剪切作用的連接件，在傳力的接觸面上，由于局部承受較大的壓力，而出現(xiàn)塑性變形，這種現(xiàn)象稱為擠壓。

擠壓應(yīng)力在擠壓面上的分布也很復(fù)雜，工程中近似認(rèn)為擠壓應(yīng)力在擠壓面上均勻分布，如圖2.13（c）所示，則bs

=

P/Abs

式中bs

—擠壓應(yīng)力，單位為MPa；

P

—擠壓面上的作用力，單位為N；

Abs

—擠壓面面積，單位為mm2。

為了簡化計(jì)算，一般取通過圓柱直徑的平面面積（即圓柱的正投影面面積）作為擠壓面的計(jì)算面積，如圖2.13（d）所示。圖2.13螺栓連接2.3.3剪切和擠壓強(qiáng)度條件和應(yīng)用1．抗剪強(qiáng)度條件

剪切面上最大切應(yīng)力，即抗剪強(qiáng)度τmax不得超過材料的許用切應(yīng)力，即max=Q/A≤[]

式中τmax

—剪切面上的最大切應(yīng)力，單位為MPa； Q

—剪切面上的剪力，單位為N；A

—剪切面截面積，單位為mm2；

[]

—許用切應(yīng)力，單位為MPa。

許用切應(yīng)力

[]

可通過試驗(yàn)測得。2．抗擠壓強(qiáng)度條件擠壓面上的最大擠壓應(yīng)力不得超過擠壓許用應(yīng)力，即

bsmax

=

P/Abs≤

式中bsmax

—最大擠壓應(yīng)力，單位為MPa；

P

—擠壓力，單位為N；

Abs

—擠壓面面積，單位為mm2；

—許用擠壓應(yīng)力，單位為MPa。3．抗剪和抗擠壓條件的應(yīng)用

工程中為使機(jī)器中關(guān)鍵零件或貴重零件不致?lián)p壞，而把機(jī)器中某個(gè)次要零件設(shè)計(jì)成機(jī)器中最薄弱的環(huán)節(jié)。注意（1）由于受剪零件同時(shí)伴有擠壓作用，因此在校核強(qiáng)度時(shí)，不僅要計(jì)算抗剪強(qiáng)度，還要計(jì)算擠壓強(qiáng)度；（2）在進(jìn)行3類強(qiáng)度問題計(jì)算前，先明確計(jì)算類別，再根據(jù)強(qiáng)度條件進(jìn)行計(jì)算；（3）解題步驟為：先用截面法求內(nèi)力，然后用強(qiáng)度條件進(jìn)行相關(guān)問題的計(jì)算。4．提高連接件強(qiáng)度的主要措施

提高連接件強(qiáng)度的主要措施如下。（1）增加連接件的數(shù)量，加大承載面積；（2）通過增加連接件剪切面數(shù)量，加大承載面積。2.4圓軸扭轉(zhuǎn)2.4.1扭轉(zhuǎn)的概念

工程中，很多傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的回轉(zhuǎn)體都會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。

在工程計(jì)算中，作用于軸上的外力偶矩往往不是直接給出其數(shù)值，而是給出軸所傳遞的功率P（kW）和軸的轉(zhuǎn)速n（r/min），通過計(jì)算得出外力偶矩m

=

9

550P/n

（N·m）2.4.2扭矩、扭矩圖1．扭矩

圓軸在外力偶矩作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，其橫截面上將產(chǎn)生內(nèi)力。圖2.18圓軸扭轉(zhuǎn)變形圖2.19右手螺旋法則2．扭矩圖

當(dāng)軸上承受多個(gè)外力偶矩作用時(shí)，各橫截面上的扭矩是不同的。

為了確定最大扭矩的所在位置，以便分析危險(xiǎn)截面，常需畫出扭矩隨截面位置變化的圖形，這種圖形稱為扭矩圖。

扭矩圖橫坐標(biāo)表示橫截面的位置，縱坐標(biāo)表示各橫截面上扭矩的大小。圖2.20傳動(dòng)軸2.4.3圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力1．圓軸扭轉(zhuǎn)變形

取一等直圓軸，在它的表面劃出一組平行于軸線的縱向線和一組代表橫截面的圓周線，形成許多矩形格子。

圖2.21圓軸扭轉(zhuǎn)變形2．圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力（1）切應(yīng)力分布規(guī)律圓軸橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)所在圓周的半徑成正比，方向與過該點(diǎn)的半徑垂直，切應(yīng)力最大處發(fā)生在半徑最大處。應(yīng)力分布規(guī)律如圖2.22所示。圖2.22圓軸橫截面上應(yīng)力分布規(guī)律（2）切應(yīng)力計(jì)算公式根據(jù)靜力學(xué)關(guān)系導(dǎo)出切應(yīng)力計(jì)算公式為

式中

—切應(yīng)力，單位為MPa；

MT

—橫截面上的扭矩，單位為kN·m；

—橫截面上任意一點(diǎn)的半徑，單位為mm；

IP

—橫截面的極慣性矩，單位為mm4。當(dāng)

=R時(shí)，切應(yīng)力最大，即令I(lǐng)P/R=Wn，于是上式可改為式中Wn

—抗扭截面系數(shù)，單位為mm3。3．圓軸抗扭截面模量計(jì)算公式

機(jī)器中軸的橫截面通常采用實(shí)心圓和空心圓兩種形狀。

它們的極慣性矩Ip和抗扭截面系數(shù)Wn計(jì)算公式如下。（1）實(shí)心圓軸（設(shè)直徑為D）

極慣性矩

抗扭截面系數(shù)

（2）空心圓軸（設(shè)軸的外徑為D，內(nèi)徑為d）

極慣性矩

抗扭截面系數(shù)

式中，

=

d/D。2.4.4圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算為保證圓軸的正常工作，應(yīng)使危險(xiǎn)截面上最大工作剪應(yīng)力max不超過材料的許用剪應(yīng)力[

]。由此得圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為

式中max

—最大切應(yīng)力，單位為MPa；

MT

—橫截面上的扭矩，單位為kN·m；

Wn

—抗扭截面系數(shù)，單位為mm3；[

]

—許用切應(yīng)力，單位為MPa。

受靜載荷作用時(shí)，[

]與[

]之間存在以下關(guān)系。

對(duì)于塑性材料[

]

=（0.5～0.6）[

]

對(duì)于脆性材料[

]

=（0.8～1.0）[

]2.4.5提高軸抗扭能力的方法

由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件max=MT/Wn≤[

]可知，要提高軸的抗扭能力就必須提高軸的強(qiáng)度。

要提高軸的強(qiáng)度必須從以下兩方面考慮。 1．合理選用截面，提高軸的抗扭截面系數(shù)Wn 2．合理安排受力情況，降低最大扭矩

除了抗扭強(qiáng)度的影響外，對(duì)許多軸來說，還要考慮剛度對(duì)抗扭能力的影響，即在軸滿足強(qiáng)度條件下，還要使軸避免產(chǎn)生過大扭轉(zhuǎn)變形。

我們把抗扭轉(zhuǎn)變形的能力稱為抗扭剛度，提高抗扭剛度的方法有以下3種。（1）合理安排受力，降低最大扭矩。（2）合理選擇截面，提高抗扭剛度。（3）在強(qiáng)度條件許可的條件下，選擇剛度大的材料。2.5直梁彎曲2.5.1概述1．彎曲的概念

在工程結(jié)構(gòu)和機(jī)械零件中，存在大量的彎曲問題，如橋式起重機(jī)橫梁在載荷和自重作用時(shí)，汽車用的鋼板彈簧以及火車的車軸在受到橫向載荷作用時(shí)，都會(huì)產(chǎn)生彎曲變形。

以彎曲變形為主要變形的桿件稱為梁。注意

彎曲變形的特點(diǎn)是桿件所受的力是垂直于梁軸線的橫向力，在其作用下梁的軸線由直線變成曲線。2．平面彎曲

工程中大多數(shù)梁的橫截面都具有對(duì)稱性，梁的軸線和截面縱向?qū)ΨQ軸所決定的平面稱為縱向?qū)ΨQ面，如圖2.24所示。圖2.24梁的平面彎曲3．梁的類型

據(jù)約束特點(diǎn)對(duì)支座簡化，分為下列3種基本形式。（1）簡支梁（2）懸臂梁（3）外伸梁圖2.25橋式起重機(jī)橫梁圖2.26車刀圖2.27車床主軸4．梁上外力形成

梁上外力包括載荷和支座兩部分，梁上的載荷常見形式有以下3種。（1）集中力F，單位是N或kN。（2）集中力偶M，單位是N·m或kN·m。（3）均勻分布載荷q，單位是N/m或kN/m。

工程上，作用在梁上的載荷是已知的，而支座反力是未知的，必須通過靜力平衡方程求得。2.5.2梁的內(nèi)力—剪力和彎矩

梁的內(nèi)力包括剪力FQ和彎矩M，下面以圖2.28（a）所示的簡支梁為例加以說明。梁在C點(diǎn)受集中力F。（1）求梁上所受約束力（2）用截面法求得內(nèi)力

①在截面m?m處假想地把梁切為兩段，取左端為研究對(duì)象，如圖2.28（b）所示。

②建立平衡方程

由此可以看出，彎曲時(shí)，梁的橫截面上產(chǎn)生兩種內(nèi)力，一個(gè)是剪力，另一個(gè)是彎矩。圖2.28簡支梁受力分析注意

彎矩符號(hào)的規(guī)定。如圖2.29所示，梁彎曲成凹面向上時(shí)，橫截面上的彎矩為正；彎曲成凸面向下時(shí)，彎矩為負(fù)。圖2.29彎矩符號(hào)的規(guī)定2.5.3彎矩圖

一般情況下，在梁的不同截面上，彎矩是不相同的，并隨著橫截面位置的不同而改變。圖2.30齒輪軸2.5.4彎曲正應(yīng)力1．純彎曲

圖2.31（a）所示的梁AB段，各橫截面上的剪力為零，而彎矩為常量。

只有彎曲作用而沒有剪力作用的梁，稱為純彎曲梁。圖2.31直梁彎曲2．應(yīng)力的分布規(guī)律

取一矩形截面梁，在其表面畫上橫向線1-1、2-2和縱向線ab、cd，然后在梁的縱向?qū)ΨQ平面施加一對(duì)大小相等、方向相反的力偶時(shí)，使梁產(chǎn)生純彎曲變形。注意

正應(yīng)力的分布規(guī)律為橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力的大小，與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。

如圖2.32所示，在中性軸處正應(yīng)力為零，離中性軸最遠(yuǎn)的截面上，上、下邊緣正應(yīng)力最大。

正應(yīng)力沿截面高度按直線規(guī)律分布。圖2.32正應(yīng)