第2章 電磁場(chǎng)基本方程-4

1庫侖定律電場(chǎng)強(qiáng)度高斯定理比奧—沙伐定律磁感應(yīng)強(qiáng)度安培環(huán)路定律全電流定律磁通連續(xù)性原理法拉第電磁感應(yīng)定律Maxwell方程組位函數(shù)及邊界條件坡印廷定理唯一性定理第二章電磁場(chǎng)基本方程2麥克斯韋方程組的積分形式3麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)麥克斯韋第三方程，表明磁場(chǎng)是無源場(chǎng)，磁感線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場(chǎng)4媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

代入麥克斯韋方程組中，有限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）各向同性線性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為5時(shí)變電場(chǎng)的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場(chǎng)；而時(shí)變磁場(chǎng)的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再相互獨(dú)立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)整體——

電磁場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別是電磁場(chǎng)的兩個(gè)分量。在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場(chǎng)和磁場(chǎng)仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。6§2.4電磁場(chǎng)的邊界條件

BoundaryConditionsofEMFields

實(shí)際應(yīng)用中，常需要求解麥?zhǔn)戏匠探M在不同區(qū)域的特解，比如微波電路中通常用到的微帶線，它就涉及三種媒質(zhì)：介質(zhì)基片中的媒質(zhì)、金屬導(dǎo)帶和空氣

?

不同媒質(zhì)的介電常數(shù)ε、磁導(dǎo)率μ、電導(dǎo)率σ不同，在分界面兩側(cè)的媒質(zhì)參數(shù)有突變。?

邊界上Maxwell方程組的微分失去意義?

從積分形式的Maxwell方程組出發(fā)推導(dǎo)邊界兩側(cè)電磁場(chǎng)間的關(guān)系。72.4電磁場(chǎng)的邊界條件

什么是電磁場(chǎng)的邊界條件?

為什么要研究邊界條件?媒質(zhì)1媒質(zhì)2

如何討論邊界條件?

實(shí)際電磁場(chǎng)問題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場(chǎng)矢量滿足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場(chǎng)的基本屬性。物理：由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場(chǎng)在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義，必須采用邊界條件。數(shù)學(xué)：麥克斯韋方程組是微分方程組，其解是不確定的，邊界條件起定解的作用。

麥克斯韋方程組的積分形式在不同媒質(zhì)的分界面上仍然適用，由此可導(dǎo)出電磁場(chǎng)矢量在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件。8

本節(jié)內(nèi)容

2.4.1邊界條件的一般表達(dá)式

2.4.2兩種常見的情況9媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)1媒質(zhì)2PS10一、

邊界條件一般表達(dá)式媒質(zhì)1媒質(zhì)2

分界面上的電荷面密度

分界面上的電流面密度11

邊界條件的推證

分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)

§2.4電磁場(chǎng)的邊界條件媒質(zhì)1媒質(zhì)212?

是與小回路面積相垂直方向上的傳導(dǎo)電流密度(單位:A/m)?

時(shí)，兩面積分可以忽略?當(dāng)分界面上有面電流時(shí)，小回路包圍電流

（不是J！）媒質(zhì)1媒質(zhì)213(單位：C/m2)是分界面上自由電荷的面密度（理想導(dǎo)體電導(dǎo)率，內(nèi)部不存在電場(chǎng)，電荷只存在于理想導(dǎo)體表面，形成面電荷）

分界面上磁通密度的法向分量連續(xù)

取一個(gè)圓柱形小體積元如右圖所示，忽略穿出側(cè)壁的通量，計(jì)算通過上下底面的通量，面上的和可以視為常數(shù)。

由Maxwell方程組的方程（不是）§2.4電磁場(chǎng)的邊界條件媒質(zhì)1媒質(zhì)2PS14(a)任何分界面上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)。(b)分界面上若存在面電流，則磁場(chǎng)的切向分量不連續(xù)，其差等于面電流密度，（這種情況只在理想導(dǎo)體表面存在，即，只有理想導(dǎo)體表面存在面電流）；

否則磁場(chǎng)的切向分量連續(xù)。(c)分界面上有面電荷時(shí)，電通密度的法向分量不連續(xù)，其差等于面電荷密度，（這種情況也只在理想導(dǎo)體表面存在，即，只有理想導(dǎo)體表面存在面電荷）；

否則電通密度的法向分量連續(xù)。(d)任何分界面上磁通密度的法向分量連續(xù)。

電磁場(chǎng)的邊界條件:§2.4電磁場(chǎng)的邊界條件代數(shù)式

矢量式

(1a)(1b)(1c)(1d)(2a)(2b)(2c)(2d)15?

基于兩個(gè)散度方程得出的邊界條件與基于兩個(gè)旋度方程得出的邊界條件是否完全相獨(dú)立？?

的切向分量邊界條件成立，則的法向分量邊界條件必成立(例2.4-3)；?

的切向分量邊界條件成立，則的法向分量邊界條件也必成立。?

在分析時(shí)變場(chǎng)問題時(shí)，只需用和在分界面上的切向分量邊界條件即可。

§2.4電磁場(chǎng)的邊界條件16二、兩種常見情形§2.4電磁場(chǎng)的邊界條件a)兩種理想介質(zhì)間的邊界條件

理想介質(zhì)的分界面上，代數(shù)式矢量式

b)理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體間的邊界條件

的法向分量連續(xù)

的法向分量連續(xù)

的切向分量連續(xù)

的切向分量連續(xù)17§2.4電磁場(chǎng)的邊界條件b)理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體間的邊界條件代數(shù)式

矢量式

設(shè)媒質(zhì)①是理想介質(zhì)，②是理想導(dǎo)體

導(dǎo)體表面處：電場(chǎng)只有法向分量，而磁場(chǎng)只有切向分量。理想導(dǎo)體表面的電磁場(chǎng)

“電立不躺，磁躺不立”

理想導(dǎo)體：電導(dǎo)率為無限大的導(dǎo)電媒質(zhì)

特征：電磁場(chǎng)不可能進(jìn)入理想導(dǎo)體內(nèi)18習(xí)題2.1-4題圖2-1同軸線橫截面

[解]圓柱坐標(biāo)系下直流導(dǎo)體中通過的電流密度是均勻的。外導(dǎo)體（a）內(nèi)導(dǎo)體區(qū)域:

應(yīng)用Maxwell方程組的方程

：

§2.4電磁場(chǎng)的邊界條件內(nèi)導(dǎo)體的電流密度大小：

同軸線通過直流電流I，內(nèi)外導(dǎo)體上電流大小相等，方向相反。求各區(qū)域中的磁場(chǎng)和其旋度，并驗(yàn)證各分界面處的邊界條件。19題圖2-1同軸線橫截面

§2.4電磁場(chǎng)的邊界條件20所以各分界面處的切向磁場(chǎng)分量連續(xù)另外，法向分量Bn，即處處為0，因此它也是連續(xù)的?！?.4電磁場(chǎng)的邊界條件下面驗(yàn)證邊界條件：題圖2-1同軸線橫截面

21

例1

z<0的區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為,z

>0區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為。若媒質(zhì)1中的電場(chǎng)強(qiáng)度為媒質(zhì)2中的電場(chǎng)強(qiáng)度為（1）試確定常數(shù)A的值;（2）求磁場(chǎng)強(qiáng)度和；（3）驗(yàn)證和滿足邊界條件。

解:（1）這是兩種電介質(zhì)的分界面，在分界面z=0處，有22利用兩種電介質(zhì)分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)的邊界條件得到將上式對(duì)時(shí)間t積分，得

（2）由，有23可見，在z=0處，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，因?yàn)樵诜纸缑嫔希▃=0）不存在面電流。

（3）z=0時(shí)同樣，由，得24

解

（1）由,有試求:（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度；（2）導(dǎo)體表面的電流密度。

例2

在兩導(dǎo)體平板（z=0和z=d）之間的空氣中，已知電場(chǎng)強(qiáng)度25將上式對(duì)時(shí)間t

積分，得

（2）z=0處導(dǎo)體表面的電流密度為z=d處導(dǎo)體表面的電流密度為26§2.5坡印廷定理和坡印廷矢量

PoyntingTheoremandPoyntingVector

電磁場(chǎng)是具有能量的;時(shí)變電磁場(chǎng)中的能量守恒定律——坡印廷定理；坡印廷矢量是描述電磁場(chǎng)能量流動(dòng)的物理量。27

進(jìn)入體積V的能量＝體積V內(nèi)增加的能量＋體積V內(nèi)損耗的能量電場(chǎng)能量密度：磁場(chǎng)能量密度：電磁能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量：

特點(diǎn)：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng)。

電磁能量守恒關(guān)系：

電磁能量及守恒關(guān)系28其中：——單位時(shí)間內(nèi)體積V中所增加的電磁能量?！?/p>

單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流所做的功；在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率?！?/p>

通過曲面S進(jìn)入體積V的電磁功率。

積分形式：

一、坡印廷定理----表征電磁能量守恒關(guān)系的定理微分形式：29§2.5坡印廷定理和坡印廷矢量

右端代表體積V中電磁場(chǎng)能量的增加率和熱損耗功率左端是單位時(shí)間內(nèi)流入封閉面S的能量。

物理意義：單位時(shí)間內(nèi)，通過曲面S進(jìn)入體積V的電磁能量等于體積V中所增加的電磁場(chǎng)能量與損耗的能量之和。Poynting定理-----時(shí)變電磁場(chǎng)中的能量守恒定律簡單媒質(zhì)：30在線性和各向同性的媒質(zhì)中，當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí)，則有將以上兩式相減，得到由

推證31即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：在任意閉曲面S所包圍的體積V上，對(duì)上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式32

物理意義：

的方向

——波傳播的方向電磁能量傳輸?shù)姆较?/p>

的大小

——通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率，亦即功率流密度；

描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量

二、坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）W/m2定義：33例2.5-1導(dǎo)線半徑為a，長為，電導(dǎo)率為，試用坡印廷矢量計(jì)算導(dǎo)線損耗的能量。[解]思路：導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度以導(dǎo)體表面為閉合面，則導(dǎo)體吸收的電磁場(chǎng)功率為圖2.5-3直流導(dǎo)線段§2.5坡印廷定理和坡印廷矢量可見，傳給導(dǎo)體的電磁場(chǎng)功率就等于該導(dǎo)體電阻的損耗功率上面我們從場(chǎng)的觀點(diǎn)也導(dǎo)出了電路中的焦耳定理：,其微分形式為：34

例1

同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U，導(dǎo)體中流過的電流為I。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)墓β?；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí)，計(jì)算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線(例

2.5-2)35

解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場(chǎng)無切向分量，只有電場(chǎng)的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量36電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng)，即由電源流向負(fù)載，如圖所示。穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）37根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場(chǎng)為內(nèi)（2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場(chǎng)內(nèi)磁場(chǎng)則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）38式中是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率為

以上分析表明電磁能量是由電磁場(chǎng)傳輸?shù)模瑢?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）39例2

：已知無源自由空間中，時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為求：(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度；(2)瞬時(shí)坡印廷矢量；(3)平均坡印廷矢量解：(1)40(2)(3)41電場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度功率流密度電阻導(dǎo)體電容器電感

三、場(chǎng)與路的一些對(duì)應(yīng)關(guān)系場(chǎng)路

電壓U

電流I

功率P=UI

電路理論中電壓U和電流I是某一物理區(qū)域中電磁反應(yīng)的總和：

42§2.6惟一性定理

UniquenessTheorem

在分析有界區(qū)域的時(shí)變電磁場(chǎng)問題時(shí)，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問題。

惟一性問題43

對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)，對(duì)封閉面S所包圍的體積V，若給定S面上電場(chǎng)或磁場(chǎng)的切向分量，則在體積V內(nèi)任一點(diǎn)，場(chǎng)方程的解是惟一的。

一、惟一性定理表述

惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場(chǎng)問題的求解提供