第2章 電磁場基本方程-4

1庫侖定律電場強(qiáng)度高斯定理比奧—沙伐定律磁感應(yīng)強(qiáng)度安培環(huán)路定律全電流定律磁通連續(xù)性原理法拉第電磁感應(yīng)定律Maxwell方程組位函數(shù)及邊界條件坡印廷定理唯一性定理第二章電磁場基本方程2麥克斯韋方程組的積分形式3麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場產(chǎn)生電場麥克斯韋第三方程，表明磁場是無源場，磁感線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場4媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

代入麥克斯韋方程組中，有限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）各向同性線性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為5時變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時變磁場的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場。電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時變電磁場的電場和磁場不再相互獨立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個整體——

電磁場。電場和磁場分別是電磁場的兩個分量。在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。6§2.4電磁場的邊界條件

BoundaryConditionsofEMFields

實際應(yīng)用中，常需要求解麥?zhǔn)戏匠探M在不同區(qū)域的特解，比如微波電路中通常用到的微帶線，它就涉及三種媒質(zhì)：介質(zhì)基片中的媒質(zhì)、金屬導(dǎo)帶和空氣

?

不同媒質(zhì)的介電常數(shù)ε、磁導(dǎo)率μ、電導(dǎo)率σ不同，在分界面兩側(cè)的媒質(zhì)參數(shù)有突變。?

邊界上Maxwell方程組的微分失去意義?

從積分形式的Maxwell方程組出發(fā)推導(dǎo)邊界兩側(cè)電磁場間的關(guān)系。72.4電磁場的邊界條件

什么是電磁場的邊界條件?

為什么要研究邊界條件?媒質(zhì)1媒質(zhì)2

如何討論邊界條件?

實際電磁場問題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場矢量滿足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場的基本屬性。物理：由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義，必須采用邊界條件。數(shù)學(xué)：麥克斯韋方程組是微分方程組，其解是不確定的，邊界條件起定解的作用。

麥克斯韋方程組的積分形式在不同媒質(zhì)的分界面上仍然適用，由此可導(dǎo)出電磁場矢量在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件。8

本節(jié)內(nèi)容

2.4.1邊界條件的一般表達(dá)式

2.4.2兩種常見的情況9媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)1媒質(zhì)2PS10一、

邊界條件一般表達(dá)式媒質(zhì)1媒質(zhì)2

分界面上的電荷面密度

分界面上的電流面密度11

邊界條件的推證

分界面上電場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)

§2.4電磁場的邊界條件媒質(zhì)1媒質(zhì)212?

是與小回路面積相垂直方向上的傳導(dǎo)電流密度(單位:A/m)?

時，兩面積分可以忽略?當(dāng)分界面上有面電流時，小回路包圍電流

（不是J?。┟劫|(zhì)1媒質(zhì)213(單位：C/m2)是分界面上自由電荷的面密度（理想導(dǎo)體電導(dǎo)率，內(nèi)部不存在電場，電荷只存在于理想導(dǎo)體表面，形成面電荷）

分界面上磁通密度的法向分量連續(xù)

取一個圓柱形小體積元如右圖所示，忽略穿出側(cè)壁的通量，計算通過上下底面的通量，面上的和可以視為常數(shù)。

由Maxwell方程組的方程（不是）§2.4電磁場的邊界條件媒質(zhì)1媒質(zhì)2PS14(a)任何分界面上電場的切向分量連續(xù)。(b)分界面上若存在面電流，則磁場的切向分量不連續(xù)，其差等于面電流密度，（這種情況只在理想導(dǎo)體表面存在，即，只有理想導(dǎo)體表面存在面電流）；

否則磁場的切向分量連續(xù)。(c)分界面上有面電荷時，電通密度的法向分量不連續(xù)，其差等于面電荷密度，（這種情況也只在理想導(dǎo)體表面存在，即，只有理想導(dǎo)體表面存在面電荷）；

否則電通密度的法向分量連續(xù)。(d)任何分界面上磁通密度的法向分量連續(xù)。

電磁場的邊界條件:§2.4電磁場的邊界條件代數(shù)式

矢量式

(1a)(1b)(1c)(1d)(2a)(2b)(2c)(2d)15?

基于兩個散度方程得出的邊界條件與基于兩個旋度方程得出的邊界條件是否完全相獨立？?

的切向分量邊界條件成立，則的法向分量邊界條件必成立(例2.4-3)；?

的切向分量邊界條件成立，則的法向分量邊界條件也必成立。?

在分析時變場問題時，只需用和在分界面上的切向分量邊界條件即可。

§2.4電磁場的邊界條件16二、兩種常見情形§2.4電磁場的邊界條件a)兩種理想介質(zhì)間的邊界條件

理想介質(zhì)的分界面上，代數(shù)式矢量式

b)理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體間的邊界條件

的法向分量連續(xù)

的法向分量連續(xù)

的切向分量連續(xù)

的切向分量連續(xù)17§2.4電磁場的邊界條件b)理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體間的邊界條件代數(shù)式

矢量式

設(shè)媒質(zhì)①是理想介質(zhì)，②是理想導(dǎo)體

導(dǎo)體表面處：電場只有法向分量，而磁場只有切向分量。理想導(dǎo)體表面的電磁場

“電立不躺，磁躺不立”

理想導(dǎo)體：電導(dǎo)率為無限大的導(dǎo)電媒質(zhì)

特征：電磁場不可能進(jìn)入理想導(dǎo)體內(nèi)18習(xí)題2.1-4題圖2-1同軸線橫截面

[解]圓柱坐標(biāo)系下直流導(dǎo)體中通過的電流密度是均勻的。外導(dǎo)體（a）內(nèi)導(dǎo)體區(qū)域:

應(yīng)用Maxwell方程組的方程

：

§2.4電磁場的邊界條件內(nèi)導(dǎo)體的電流密度大小：

同軸線通過直流電流I，內(nèi)外導(dǎo)體上電流大小相等，方向相反。求各區(qū)域中的磁場和其旋度，并驗證各分界面處的邊界條件。19題圖2-1同軸線橫截面

§2.4電磁場的邊界條件20所以各分界面處的切向磁場分量連續(xù)另外，法向分量Bn，即處處為0，因此它也是連續(xù)的。§2.4電磁場的邊界條件下面驗證邊界條件：題圖2-1同軸線橫截面

21

例1

z<0的區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為,z

>0區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為。若媒質(zhì)1中的電場強(qiáng)度為媒質(zhì)2中的電場強(qiáng)度為（1）試確定常數(shù)A的值;（2）求磁場強(qiáng)度和；（3）驗證和滿足邊界條件。

解:（1）這是兩種電介質(zhì)的分界面，在分界面z=0處，有22利用兩種電介質(zhì)分界面上電場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)的邊界條件得到將上式對時間t積分，得

（2）由，有23可見，在z=0處，磁場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，因為在分界面上（z=0）不存在面電流。

（3）z=0時同樣，由，得24

解

（1）由,有試求:（1）磁場強(qiáng)度；（2）導(dǎo)體表面的電流密度。

例2

在兩導(dǎo)體平板（z=0和z=d）之間的空氣中，已知電場強(qiáng)度25將上式對時間t

積分，得

（2）z=0處導(dǎo)體表面的電流密度為z=d處導(dǎo)體表面的電流密度為26§2.5坡印廷定理和坡印廷矢量

PoyntingTheoremandPoyntingVector

電磁場是具有能量的;時變電磁場中的能量守恒定律——坡印廷定理；坡印廷矢量是描述電磁場能量流動的物理量。27

進(jìn)入體積V的能量＝體積V內(nèi)增加的能量＋體積V內(nèi)損耗的能量電場能量密度：磁場能量密度：電磁能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量：

特點：當(dāng)場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨時間改變，從而引起電磁能量流動。

電磁能量守恒關(guān)系：

電磁能量及守恒關(guān)系28其中：——單位時間內(nèi)體積V中所增加的電磁能量?！?/p>

單位時間內(nèi)電場對體積V中的電流所做的功；在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率?！?/p>

通過曲面S進(jìn)入體積V的電磁功率。

積分形式：

一、坡印廷定理----表征電磁能量守恒關(guān)系的定理微分形式：29§2.5坡印廷定理和坡印廷矢量

右端代表體積V中電磁場能量的增加率和熱損耗功率左端是單位時間內(nèi)流入封閉面S的能量。

物理意義：單位時間內(nèi)，通過曲面S進(jìn)入體積V的電磁能量等于體積V中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。Poynting定理-----時變電磁場中的能量守恒定律簡單媒質(zhì)：30在線性和各向同性的媒質(zhì)中，當(dāng)參數(shù)都不隨時間變化時，則有將以上兩式相減，得到由

推證31即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：在任意閉曲面S所包圍的體積V上，對上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式32

物理意義：

的方向

——波傳播的方向電磁能量傳輸?shù)姆较?/p>

的大小

——通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率，亦即功率流密度；

描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量

二、坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）W/m2定義：33例2.5-1導(dǎo)線半徑為a，長為，電導(dǎo)率為，試用坡印廷矢量計算導(dǎo)線損耗的能量。[解]思路：導(dǎo)體內(nèi)電場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度以導(dǎo)體表面為閉合面，則導(dǎo)體吸收的電磁場功率為圖2.5-3直流導(dǎo)線段§2.5坡印廷定理和坡印廷矢量可見，傳給導(dǎo)體的電磁場功率就等于該導(dǎo)體電阻的損耗功率上面我們從場的觀點也導(dǎo)出了電路中的焦耳定理：,其微分形式為：34

例1

同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U，導(dǎo)體中流過的電流為I。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)墓β?；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時，計算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線(例

2.5-2)35

解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場和磁場只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場和磁場分別為內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量36電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動，即由電源流向負(fù)載，如圖所示。穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）37根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場為內(nèi)（2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場內(nèi)磁場則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）38式中是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率為

以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）39例2

：已知無源自由空間中，時變電磁場的電場強(qiáng)度為求：(1)磁場強(qiáng)度；(2)瞬時坡印廷矢量；(3)平均坡印廷矢量解：(1)40(2)(3)41電場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度功率流密度電阻導(dǎo)體電容器電感

三、場與路的一些對應(yīng)關(guān)系場路

電壓U

電流I

功率P=UI

電路理論中電壓U和電流I是某一物理區(qū)域中電磁反應(yīng)的總和：

42§2.6惟一性定理

UniquenessTheorem

在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問題。

惟一性問題43

對于時變電磁場，對封閉面S所包圍的體積V，若給定S面上電場或磁場的切向分量，則在體積V內(nèi)任一點，場方程的解是惟一的。

一、惟一性定理表述

惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場問題的求解提供