第3章 流體運動學

第三章

流體運動學研究流體運動的方式和狀態(tài)，研究的是流體（速度、加速度、變形等運動參數(shù)隨空間和時間的變化規(guī)律），由于不涉及力，故對理想流體、粘性流體均適用。

3.1描述液體運動的兩種方法

3.1.1拉格朗日（Lagrange)法拉格朗日法:屬于研究質(zhì)點的方法，以研究液流中每一個質(zhì)點為對象，跟蹤質(zhì)點，把它們在流動過程中的流動狀態(tài)記錄下來，從而得出整個液體的運動情況。對速度表達式再求一次偏導數(shù)可求得加速度:

3.1.2歐拉（L.Euler）法3.2液體運動的幾個基本概念3.2.1恒定流與非恒定流各點運動要素都不隨時間變化的流動稱為恒定流;反之稱為非恒定流。例：速度場求（1）t=2s時，在(2，4)點的加速度；（2）是恒定流還是非恒定流；（3）是均勻流還是非均勻流。（1）將t=2，x=2，y=4代入得同理解：（2）是非恒定流（3）是均勻流

3.3.3流線與跡線流線是某一瞬時在流場中繪出的曲線，在此曲線上所有液體質(zhì)點的速度矢量都和該曲線相切。

流線的性質(zhì)：流線不能相交,不能轉(zhuǎn)折。恒定流時流線的形狀不隨時間改變，而非恒定流時流線隨時間改變。

流線微分方程：流線上任一點的切線方向與該點速度矢量一致——流線微分方程跡線微分方程：對任一質(zhì)點——跡線微分方程例：速度場ux=a，uy=bt，uz=0（a、b為常數(shù)）求:（1）流線方程及t=0、1、2時流線圖；（2）跡線方程及t=0時過（0，0）點的跡線。解：（1）流線：積分：oyxc=0c=2c=1t=0時流線oyxc=0c=2c=1t=1時流線oyxc=0c=2c=1t=2時流線——流線方程（2）跡線：即——跡線方程（拋物線）oyx注意：流線與跡線不重合例：已知速度場ux=x+t，uy=－y+t求：在t=0時過（－1，－1）點的流線和跡線方程。解：（1）流線：積分：

t=0時，x=－1，y=－1c=0——流線方程（雙曲線）（2）跡線：由t=0時，x=－1，y=－1得c1=c2=0——跡線方程（直線）（3）若恒定流：ux=x，uy=－y流線跡線注意：恒定流中流線與跡線重合4.流管與流束流管——在流場中任意取不與流線重合的封閉曲線，過曲線上各點作流線，所構(gòu)成的管狀表面5.過流斷面——在流束上作出與流線正交的橫斷面12注意：只有均勻流的過流斷面才是平面例：121處過流斷面2處過流斷面流束——流管內(nèi)的流體6.元流與總流元流——過流斷面無限小的流束總流——過流斷面為有限大小的流束，它由無數(shù)元流構(gòu)成7.流量體積流量質(zhì)量流量不可壓縮流體8.斷面平均流速實質(zhì)：質(zhì)量守恒1.連續(xù)性方程的微分形式oyxzdmxdmx’dxdydzdt時間內(nèi)x方向：流入質(zhì)量流出質(zhì)量凈流出質(zhì)量流體運動的連續(xù)性方程同理：dt時間內(nèi)，控制體總凈流出質(zhì)量：由質(zhì)量守恒：控制體總凈流出質(zhì)量，必等于控制體內(nèi)由于密度變化而減少的質(zhì)量，即——連續(xù)性方程的微分形式不可壓縮流體即例：已知速度場此流動是否可能出現(xiàn)？解：由連續(xù)性方程：滿足連續(xù)性方程，此流動可能出現(xiàn)例：已知不可壓縮流場ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0處uz=0，求uz。解：由得積分由z=0，uz=0得c=02.連續(xù)性方程的積分形式A1A212v1v2在dt時間內(nèi)，流入斷面1的流體質(zhì)量必等于流出斷面2的流體質(zhì)量，則——連續(xù)性方程的積分形式不可壓縮流體分流時合流時剛體——平移、旋轉(zhuǎn)流體——平移、旋轉(zhuǎn)、變形（線變形、角變形）平移線變形旋轉(zhuǎn)角變形流體微元的運動分析流體微元的速度：1.平移速度：ux，uy，uz2.線變形速度：x方向線變形是單位時間微團沿x方向相對線變形量（線變形速度）同理存在各質(zhì)點在連線方向的速度梯度是產(chǎn)生線變形的原因3.旋轉(zhuǎn)角速度：角平分線的旋轉(zhuǎn)角速度逆時針方向的轉(zhuǎn)角為正順時針方向的轉(zhuǎn)角為負是微團繞平行于oz軸的旋轉(zhuǎn)角速度同理微團的旋轉(zhuǎn)：4.角變形速度：直角邊與角平分線夾角的變化速度微團的角變形：存在不在質(zhì)點連線方向的速度梯度是產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)和角變形的原因是微團在xoy平面上的角變形速度同理例：平面流場ux=ky，uy=0（k為大于0的常數(shù)），分析流場運動特征解：流線方程：線變形：角變形：旋轉(zhuǎn)角速度：xyo（流線是平行與x軸的直線族）（無線變形）（有角變形）（順時針方向為負）例：平面流場ux=－ky，uy=kx（k為大于0的常數(shù)），分析流場運動特征解：流線方程：（流線是同心圓族）線變形：（無線變形）角變形：（無角變形）旋轉(zhuǎn)角速度：（逆時針的旋轉(zhuǎn)）剛體旋轉(zhuǎn)流動1.有旋流動2.無旋流動即：有旋流動和無旋流動例：速度場ux=ay（a為常數(shù)），uy=0，流線是平行于x軸的直線，此流動是有旋流動還是無旋流動？解：是有旋流xyoux相當于微元繞瞬心運動例：速度場ur=0，uθ=b/r（b為常數(shù)），流線是以原點為中心的同心圓，此流場是有旋流動還是無旋流動？解：用直角坐標：xyoθruxuyuθp是無旋流（微元平動）小結(jié)：流動作有旋運動或無旋運動僅取決于每個流體

微元本身是否旋轉(zhuǎn)，與整個流體運動和流體微元運動的軌跡無關(guān)。無旋有勢1.速度勢函數(shù)類比：重力場、靜電場——作功與路徑無關(guān)→勢能無旋條件：由全微分理論，無旋條件是某空間位置函數(shù)φ(x,y,z)存在的充要條件函數(shù)φ稱為速度勢函數(shù)，無旋流動必然是有勢流動速度勢函數(shù)由函數(shù)φ的全微分：得：（φ的梯度）2.拉普拉斯方程由不可壓縮流體的連續(xù)性方程將代入得即——拉普拉斯方程為拉普拉斯算子，φ稱為調(diào)和函數(shù)——不可壓縮流體無旋流動的連續(xù)性方程注意：只有無旋流動才有速度勢函數(shù)，它滿足拉普拉斯方程3.極坐標形式（二維）不可壓縮平面流場滿足連續(xù)性方程：即：由全微分理論，此條件是某位置函數(shù)ψ（x，y）存在的充要條件函數(shù)ψ稱為流函數(shù)有旋、無旋流動都有流函數(shù)流函數(shù)由函數(shù)ψ的全微分：得：流函數(shù)的主要性質(zhì)：（1）流函數(shù)的等值線是流線；證明：——流線方程（2）兩條流線間通過的流量等于兩流函數(shù)之差；證明：（3）流線族與等勢線族正交；斜率：斜率：等流線等勢線利用（2）、（3）可作流網(wǎng)（4）只有無旋流的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程證明：則：將代入也是調(diào)和函數(shù)得：在無旋流動中例：不可壓縮流體，ux=x2－y2，uy=－2xy，是否滿足連續(xù)性方程？是否無旋流？有無速度勢函數(shù)？是否是調(diào)和函數(shù)？并寫出流函數(shù)。解：（1）滿足連續(xù)性方程（2）是無旋流（3）無旋流存在勢函數(shù)：取（x0，y0）為（0，0）（4）滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)（5）流函數(shù)?。▁0，y0）為（0，0）1.均勻平行流速度場（a,b為常數(shù)）速度勢函數(shù)

等勢線流函數(shù)

流線uxyoφ1ψ1φ2φ3ψ2ψ3幾種簡單的平面勢流當流動方向平行于x軸當流動方向平行于y軸如用極坐標表示：φ1ψ1φ2ψ2φ1ψ1φ2ψ22.源流與匯流（用極坐標）（1）源流：φ1ψ1φ2ψ2oψ3ψ4ur源點o是奇點r→0ur→∞速度場速度勢函數(shù)等勢線流函數(shù)流線直角坐標θ（2）匯流流量φ1ψ1φ2ψ2oψ3ψ4匯點o是奇點r→0ur→∞（3）環(huán)流——勢渦流（用極坐標）注意：環(huán)流是無旋流！速度勢函數(shù)流函數(shù)速度場環(huán)流強度逆時針為正ψ1φ1ψ2φ2oφ3φ4uθθ也滿足同理，對無旋流：——勢流疊加原理勢流疊加原理（1）半無限物體的繞流（用極坐標）模型：水平勻速直線流與源流的疊加（河水流過橋墩）流函數(shù)：速度勢函數(shù)：即視作水平流與源點o的源流疊加u0S幾個常見的勢流疊加的例子作流線步驟：找駐點S：將代入（舍去）將代入得駐點Ｓ的坐標：u0Sors（1）（2）由（2）由（1）將駐點坐標代入流函數(shù)，得則通過駐點的流線方程為給出各θ值，即可由上式畫出通過駐點的流線流線以為漸進線外區(qū)——均勻來流區(qū)；內(nèi)區(qū)——源的流區(qū)（“固化”、半體）（2）等強源匯流（用極坐標→直角坐標）模型：源流與匯流疊加（電偶極子）xyoaarr1r2P(x,y)θ1θ2θq-q勢函數(shù)流函數(shù)源流和匯流的疊加當a→0，q→∞，2qa→常數(shù)M偶極流利用三角函數(shù)恒等式、級數(shù)展開，化簡a→0：偶