第3章 理想不可壓縮流體平面流

第3章理想不可壓縮流體平面位流3．1理想不可壓縮流體平面位流的基本方程3．2幾種簡單的二維位流3．2．1直勻流3．2．2點源3．2．3偶極子3．2．4點渦3．3一些簡單的流動迭加舉例3．3．1直勻流加點源3．3．2直勻流加偶極子3．3．3直勻流加偶極子加點渦3．4二維對稱物體繞流的數(shù)值解本章討論怎樣求解不可壓理想流體無旋運動的規(guī)律。在理想不可壓條件下歐拉方程和連續(xù)方程包括四個方程和四個未知函數(shù)（u,v,w,p），理論上是可解的由于飛行器的外形都比較復雜，要在滿足如此復雜的邊界條件下求該偏微分方程組的解析解是非常困難的，原因在于方程包含非線性項，而且方程中速度與壓強相互耦合，需要一并求出人們發(fā)現(xiàn)在無旋條件下問題可以得到大大簡化，尤其是可以將速度和壓強分開求解，這是因為無旋條件可使關于速度位的方程化為線性方程，從而便于單獨求得速度位即求出速度，而壓強可利用伯努利方程求解本章的思路是，先針對理想不可壓無旋流求得一些典型的速度位基本解，將這些基本解進行疊加得到滿足非常簡單邊界條件的流動。對復雜外形的繞流，介紹用基本解進行疊加的數(shù)值解法大意§3．1平面不可壓位流的基本方程

有無旋條件，就有位函數(shù)φ

存在，并且位函數(shù)與速度分量之間滿足：平面流動的連續(xù)方程是：結合兩式，得平面不可壓位流必須滿足的方程：該方程稱為拉普拉斯方程，是個只與速度有關的線性方程，給定適當邊界條件方程是容易求解的。1.位函數(shù)φ

及流函數(shù)ψ

所滿足的方程對于二維不可壓縮流動，微分形式的質量方程可以寫為：

數(shù)學上這是使成為某個函數(shù)ψ的全微分的充要條件，即

或：代入無旋條件：也滿足拉普拉斯方程：這也是只與速度有關的線性方程，給定邊條容易求解。位函數(shù)與流函數(shù)的關系稱為柯西－黎曼條件：2.疊加原理拉普拉斯方程可用算子▽2

表為▽2φ＝0。它是個線性方程，可以用疊加原理求復合的解。所謂疊加原理是說如果有分別滿足拉普拉斯方程，則這些函數(shù)的線性組合也必滿足拉普拉斯方程：此外，由于速度分量與位函數(shù)之間的關系是線性的因此也滿足疊加原理：而壓強與速度間關系為非線性故不滿足疊加原理3.邊界條件邊界條件是在流場邊界上規(guī)定的條件，邊界通常分為內邊界和外邊界。對飛行器或物體而言，內邊界即飛行器或物體表面，外邊界為無窮遠。數(shù)學上滿足拉氏方程的函數(shù)稱為調和函數(shù)。故要找一代表具體的定常不可壓理想位流運動，就是要找一個能符合具體流動邊界條件的調和函數(shù)，求出位函數(shù)或流函數(shù)之后，即可求出速度分布，然后用伯努利方程求解壓強分布。按照在邊界上所給條件是針對位函數(shù)自身還是位函數(shù)的法向導數(shù)，邊界條件分為三種類型：（1）第一邊值問題（狄利希特問題）：給出邊界上位函數(shù)自身值（2）第二邊值問題（諾曼問題）：給出邊界上位函數(shù)的法向導數(shù)值（3）第三邊值問題（龐卡萊問題）：給出部分邊界上位函數(shù)自身值，部分邊界上位函數(shù)的法向導數(shù)值氣動問題大多數(shù)屬于第二邊值問題將坐標系與飛行器或物體固連，則外邊界在遠離物體處，速度為V∞，內邊界是物體表面，不允許流體穿過或表面法向速度為零外邊界內邊界n為物面法向可以證明，拉普拉斯方程的解若在給定邊界上能滿足上述條件，則解是唯一的求不可壓理想無旋流繞物體的流動問題就轉化為求解拉普拉斯方程的滿足給定邊條的特解這一數(shù)學問題位函數(shù)Φ的性質小結速度位函數(shù)由無旋條件定義，位函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動。(2)速度位函數(shù)沿著某一方向的偏導數(shù)等于該方向的速度分量，速度位函數(shù)沿著流線方向增加。(3)對于理想不可壓縮無旋流動，速度位函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調和函數(shù)，滿足解的線性迭加原理。(4)速度位函數(shù)相等的點連成的線稱為等位線，速度方向垂直于等位線。(5)連接任意兩點的速度線積分等于該兩點的速度位函數(shù)之差。速度線積分與路徑無關，僅決定于兩點的位置。對封閉曲線，速度環(huán)量為零。流函數(shù)Ψ的性質小結(1)流函數(shù)由平面不可壓縮連續(xù)條件定義，流函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動。(2)等流函數(shù)線是流線。即等流函數(shù)線的切線方向與速度矢量方向重合。(3)對于理想不可壓縮無旋流動，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調和函數(shù)，解也滿足疊加原理。(5)平面內任兩點流函數(shù)的差等于通過此兩點連線的流量。(4)等流函數(shù)線與等位線正交。xyABdso位函數(shù)Φ和流函數(shù)Ψ之間滿足柯西-黎曼條件：速度分量與位函數(shù)和流函數(shù)之間的關系是：§3．2幾種簡單的二維位流

§3．2．1直勻流直勻流是一種速度不變的最簡單的平行流動。其流速為流動是無旋的，由速度位全微分積分可得位函數(shù)：又可求出流函數(shù)：

流線與等位線是正交的如圖

常用的是這樣的直勻流，它與x軸平行，從左面遠方流來，流速為。

此時§3．2．2點源點源是從流場上某一點有一定的流量向四面八方流開去的一種流動。源可以有正負。負源（又名匯）是一種與正源流向相反的向心流動。如果把源放在坐標原點上，那末這流動便只有Vr，而沒有Vθ。xy位于原點的點源實驗演示的點源設半徑為r處的流速是Vr，那末這個源的總流量是流量是常數(shù)，故流速Vr

與半徑成反比

x、y向的速度可分別寫為代入速度與位函數(shù)關系可積分求位函數(shù)。比較簡便的是利用極座標下位函數(shù)與速度的關系：由

位函數(shù)由上式積分得：（注：等位線Φ＝C是一系列同心圓）流函數(shù)由積分得：（注：流線ψ＝c1即θ＝c2

是一系列射線）此外注意上式中θ的值域為[-2π,2π],但反正切函數(shù)的值域為[-π/2,π/2]，故兩種表達有一定區(qū)別。xy如果源的位置不在坐標原點，而在A（ξ,η）處，則相應的速度分量為：除奇點處速度無定義之外，流場其他區(qū)域都是是無旋的。點源加1/2強度點匯點源加等強度點匯偶極子§3．2．3偶極子.

p§3．2．3偶極子等強度的一個源和一個匯，放在x軸線上，源放在（-h，0）處，匯放在（0，0）處。從源出來的流量都進入?yún)R，流動情況如圖:其中θ1、θ2

分別是點P與源和匯的連線與正x的夾角應用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)如下現(xiàn)在我們考慮一種極限情況，當h→0但同時Q 增大，使保持不變的極限情況。這時位函數(shù)變成顯然等位線Φ=C是一系列圓心在x軸上的圓，且都過原點。除奇點處速度無定義之外，流場其他區(qū)域都是是無旋的。求流函數(shù)：上述位函數(shù)可寫為:利用極座標下流函數(shù)與位函數(shù)的關系：對Ψ積分得：即：顯然流線ψ=C是一些圓心在y軸上的圓，且均過原點。兩個分速的表達式是合速要注意偶極子有軸線方向，上述布于x軸上的正負源形成的偶極子其軸線在－x方向，對于指向正x方向的偶極子，上述位函數(shù)、流函數(shù)和速度分布都要改變符號。如果偶極子軸線和x軸成θ角，正向指向第三象限如圖所示，在x’y’坐標系中的位函數(shù)及流函數(shù)可寫為：y’x’xy根據(jù)二坐標系的旋轉變換關系：代入上述位函數(shù)和流函數(shù)表達，并注意到坐標旋轉時向徑不變：x’2+y’2=x2+y2，得到在(x,y)坐標系中的偶極子：如果偶極子位于（ξ，η），軸線和x軸成θ角，正向指向第三象限，則

y’x’xyξηθ實際旋渦包含有旋的渦核和渦核外的被誘導的無旋流場。rVθ＝ωrVθ＝k/rr0p實際旋渦的渦核內為有旋流渦核外為無旋流白色粉末顯示實際旋渦的周向誘導速度隨半徑增大而減小渦核誘導流場§3．2．4點渦§3．2．4點渦點渦可以看成實際旋渦的渦核直徑趨于零時的一種極限情況，除渦所在一點外，整個平面流場是無旋的，流體被點渦誘導繞點渦作圓周運動，流線是一些同心圓，流速只有周向速度，而沒有徑向速度。繞點渦的環(huán)量Γ是個確定的常數(shù)，例如繞半徑為r的圓環(huán)作環(huán)量計算，有：

式中的是個常數(shù)稱為點渦的強度，反時針方向為正。從而周向速度與離開中心點的距離r成反比：rVθ這與無限長渦線產(chǎn)生的誘導速度一致。由幾何條件可立刻寫出u

、v

分量：xyuvVθθ位函數(shù)可由上式代入等后積分求出，但方便的還是利用極座標關系：積分后得：顯然等位線Φ=C是一系列射線求流函數(shù)可由極座標下流函數(shù)與位函數(shù)的柯西－黎曼關系：積分得：顯然流線ψ=C是一系列同心圓，可見點渦與點源的位函數(shù)與流函數(shù)只是對調了一下（上述負號只是代表渦轉向）。如果點渦的位置不在原點，而在（ξ，η），則點渦的位函數(shù)和流函數(shù)的式子分別是：

事實上沿任意形狀的圍線計算環(huán)量，值都是，只要這個圍線把點渦包圍在內。但不包含點渦在內的圍線，其環(huán)量卻是等于零的。點渦是實際旋渦的一種數(shù)學近似。點渦的速度在半徑r→0時將使Vθ→∞勢必使壓強p→－∞，這是不現(xiàn)實的，這時粘性必然要起作用，因此實際的旋渦存在一個渦核，核內流體Vθ與半徑成正比為有旋流，核外為無旋流。實際渦核尺寸與粘性和渦強弱有關，一般不大，故數(shù)學上抽象為一個點，形成點渦模型。直勻流：xy基本解位函數(shù)、流函數(shù)小結：ab§3．3一些簡單的二維位流迭加舉例

用基本的位流解可疊加成不同的流動，例如用二點源可形成如下的模擬壁面的流動：實驗演示二等強度點源模擬固璧用固壁代替右端點源實驗演示的直均流加點源用曲線固壁代替點源用直均流加點源可模擬如下半無限壁面的流動：在一個平行于x軸由左向右流去的直勻流里，加一個強度為Q的源會產(chǎn)生如圖的流動把坐標原點放在源所在的地方，迭加得到的位函數(shù)是：§3．3．1直勻流加點源在x軸上有一個合速度為零的點稱為駐點A，令即得駐點xA坐標為：兩個分速是此處速度為零是因為點源速度恰好與直勻流速度相互抵消。該速度分布的特點之一是x~±∞時，u~V∞，v~0。我們可以把外部流動看作是在直勻流中放了一個BAB′那樣形狀的物體所造成的流動，反過來也可認為繞該物體的流動可以用直勻流加點源來構造。該半無限體在+x無限遠處，其寬度（y向尺寸）趨向一個漸近值D。過駐點A的流線BAB′是一條特殊的流線，把流場劃分成為兩部分。外面的是直勻流繞此圍墻的流動，里面的是源流在此圍墻限制之內的流動。流線BAB′的形狀可以根據(jù)流函數(shù)ψ=c畫出來，也可以從流量關系推算出來。由流函數(shù)表達：

由駐點坐標（y=0,θ=π)定常數(shù)c，得c＝Q/2，從而得流線BAB′的方程為：用直角坐標表達，注意到反正切的值域為[-π/2,π/2]：

該流線與y軸交于處，當即流線在無窮遠處趨于寬度為的直線。

從物理上這個結果很好理解，從源流出的流量只能限制在圍線中，由速度分布知：而源的流量為Q，以速度V∞流過時將占據(jù)寬度D=Q/V∞

另一方面，流線BAB′的方程：可寫為：左邊是直勻流V∞流過高y=rsinθ的寬度的流量，右邊則是從中心角為（π－θ）中流出的流量，二者相抵消，從而得流線方程的極座標表達為：通常將壓強表為無量綱的壓強系數(shù)，其定義是當?shù)仂o壓減去來流靜壓再除以來流的動壓頭（這樣得到的結果與來流參數(shù)具體值p∞、V∞

無關，具有通用性）：

流場上的壓強可以用伯努利公式表達出來：得到表面壓強系數(shù)的表達為：將速度分布和表面流線幾何關系代入上式得到表面壓強系數(shù)的結果為：Cp

沿x軸分布的曲線特點如圖：直均流加變強度點源直均流加等強度點源、點匯用分布的點源、點匯構造物面直均流加偶極子實驗演示的直均流加點源和點匯的其他例子§3．3．2直勻流加偶極子設直勻流平行于x軸，由左向右流。再把一個軸線指向負x的偶極子放在坐標原點處。這時，將產(chǎn)生如圖繞圓的流動：

流函數(shù)是：

流動的位函數(shù)是：圓的半徑可從駐點A的坐標定出，令：解得：從而位函數(shù)和流函數(shù)分別寫為：

Ψ=0是一條特殊的流線，這時sinθ=0，即或，這就是x軸線，還有圓表面：r=a。兩個分速的式子是：用在的圓上時，有：將上述速度分布代入壓強系數(shù)可得：該壓強系數(shù)的分布特點如圖：繞圓流動在表面上只有周向速度，沒有徑向速度：可見在θ＝π/2處速度達到最大為2V∞。

達朗培爾疑題達朗培爾（D’Alembert，18世紀法國著名數(shù)學家）提出，在理想不可壓流中，任何一個封閉物體的繞流，其阻力都是零。這個結論不符合事實。這個矛盾多少耽誤了一點流體力學的發(fā)展，那時人們以為用無粘的位流去處理實際流動是沒有什么價值的。后來才知道，這樣撇開粘性來處理問題，是一種很有價值的合乎邏輯的抽象，它能使我們把影響流動的各種因素分開來看清楚。譬如，早期由經(jīng)驗得出來的良好翼型，最大的升阻比不過是幾十比一，后來在位流理論指導下，設計出來的翼型的最大升阻比竟達三百比一。這就是無粘抽象的指導意義。粘性流體繞圓柱的流動顯示實驗粘性流體繞圓柱的數(shù)值模擬xy§3．3．3直勻流加偶極子加點渦在直勻流加偶極子的流動之上再在圓心處加一個強度為（–）的點渦（順時針轉為負），將形成如下圖的流動這時位函數(shù)和流函數(shù)分別是：在極坐標下，兩個分速是：

仍是一條流線。在這個圓上：

可見由于引入環(huán)量－Г，在θ＝π/2處的最大速度將大于2V∞?；驅懗鲴v點的直角坐標表達：∵

駐點的位置現(xiàn)在不在θ=π和θ=0處了，其位置可從定出來：∴xy

θs在第三和第四象限內，前后駐點對y軸是對稱的。這個角度離開π和0的多少決定于環(huán)量Γ對4πaV∞之比值；Γ越大，駐點越往下移。當點渦強度變大到Γ=4πaV∞

時，θs

=－π/2，二個駐點在－π/2處重合。當點渦強度進一步增大使Γ﹥4πaV∞

時，駐點將離開圓柱表面，且位于圓柱之下。xy下圖給出幾種不同點渦強度下駐點位置圖畫：顯然，有環(huán)量的繞圓流動其左右仍是對稱的，但上下已不對稱了，因此在垂直于來流的y方向合力就不會為零。垂直于來流方向的空氣動力分力稱為升力，可以通過沿圓柱表面壓強積分（利用伯努利方程將壓強表為速度分布后積分求得），或者利用動量方程求出合力?！?．3．4庫塔-儒可夫斯基定理下面從動量定理出發(fā)計算繞圓柱的有環(huán)量流動的升力。以原點為中心，畫一個半徑為r1很大的控制面S，整個控制面還包括圓的表面S1以及連接S和S1的兩條割線(第二類控制體)。注意這兩條割線上的壓力和動量進出都對消了。S1上的壓力積分是物體所受的合力。受力情況左右對稱，不會有X方向合力。僅計算Y方向合力L即可。設徹體力略去不計、流動定常，根據(jù)動量方程圓柱所受到的升力L可表為：第一個積分中的p按伯努利公式用速度來表達，結果得：

在r1大圓上，，∴第二個積分得：結果與r1大小無關，總之合力L等于來流的密度ρ乘速度V∞

再乘以環(huán)量Γ。方向等于把直勻流的指向逆著環(huán)流轉π/2，稱為升力，該結果稱為庫塔-儒可夫斯基升力定理。所以:

考慮到速度、環(huán)量和升力之間的向量關系，升力定理可寫為：只要是封閉物體，代表其作用的正負源強度總和必須等于零，在遠離物體的地方其作用和一個偶極子沒有什么區(qū)別,說明物形對升力沒有直接的關系，關鍵在于必須有繞物體的環(huán)量存在。有了環(huán)量又有一個直勻流，便有了升力。環(huán)量之所以能產(chǎn)生一個Y向的合力，也可以從圓柱體上的壓力分布直接看到。其中有環(huán)量和無環(huán)量繞流情況作了對比。無環(huán)量時，上半圓（θ由π至0）上的壓力分布和下半圓（θ由π至2π）上的壓力分布對稱，結果是合力為零。有環(huán)量時，上半圓上的負壓遠遠超過下半圓上的負壓，所以有一個向上的合力，即升力。這個力的來源主要靠上半圓上的吸力。足球中的弧線球現(xiàn)象就是環(huán)量產(chǎn)生升力的例子之一：機翼的特殊形狀使它不用旋轉就能產(chǎn)生環(huán)量，上部流速加快形成吸力，下部流速減慢形成壓力?！?．4二維對稱物體繞流的數(shù)值解下面用解二維對稱物體繞流的例子來說明奇點疊加數(shù)值解法的應用。無迎角的對稱物體沒有升力，根據(jù)上述分析和演示，提示我們把直勻流和分布的偶極子（或總強度為零的分布的點源和點匯，無環(huán)量）疊加起來，得到組合流動——對稱封閉物體繞流。

設直勻流速度為V∞，在x軸上(a,b)范圍內，連續(xù)分布單位長度內強度設為m（x）的偶極子。稱為偶極子密度。該組合流動對任一空間點p(x,y)處的流函數(shù)為：對這種無升力物體的外形可以用零流線來表示，改變不同的偶極子密度分布，可以獲得不同形狀的封閉物體。由流函數(shù)與速度的關系確定速度分布，由速度與壓強的關系即伯努利方程確定壓強分布。對于實際問題，往往是給定物體的外形來確定其流動的特性。待求方程是一個積分方程，求它的解是比較困難的，但是隨著計算機技術的發(fā)展，可以用數(shù)值方法比較迅速地獲得這種方程的有一定準確度的數(shù)值解。二維對稱物體繞流數(shù)值解法步驟首先，我們把偶極子分布區(qū)域分成等寬度的n段，設每段的寬度為△ξ，段數(shù)n可根據(jù)計算機容量及結果的準確度要求而確定。某一定點P(x,y)處流函數(shù)為：

式中為第j段的中點離原點的距離；為第j段內偶極子密度的平均值；表示第j段內偶極子的強度。用物面邊界條件來確定待求的偶極子密度（現(xiàn)在即物面為零流線，滿足Ψ＝0），對于給定物體外形上的n

個已知點（xi，yi），就可以得到一個對未知函數(shù)的n

元一次聯(lián)立代數(shù)方程組： 其中Cij

為影響系數(shù)，表示處的單位偶極子密度對物體表面某點Pi(xi，yi)

處的流函數(shù)的貢獻。展開上式，即

利用解一次方程組的各種計算方法，求解上面方程組，確定偶極子密度mj。

一旦解得所給定物體外形的偶極子密度分布，則可確定流場內任意點處的流函數(shù)，此后可由流函數(shù)與速度的關系及伯努利方程，確定流場內各點處的速度及壓強值。在上述過程中，我們實際上是把第j段中分布的偶極子用集中在該段中點處的等強度的偶極子來代替了。顯然，如果分段數(shù)量較多，這種近似表示才有一定的準確性。理論上，當段數(shù)n趨于無限大時，偶極子密度分布的數(shù)