七、分蛋糕博弈

1、 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 討價(jià)還價(jià)贏博弈討價(jià)還價(jià)贏博弈7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 有一家外企招聘員工時(shí)出了這樣一道面試題：有一家外企招聘員工時(shí)出了這樣一道面試題：要求應(yīng)聘者把一盒蛋糕切成八份，分給八個(gè)人，但要求應(yīng)聘者把一盒蛋糕切成八份，分給八個(gè)人，但蛋糕盒里還必須留有一份。蛋糕盒里還必須留有一份。 而有些應(yīng)聘者卻感到此題很簡(jiǎn)單，把切好的八而有些應(yīng)聘者卻感到此題很簡(jiǎn)單，把切好的八份蛋糕先拿出七份分給七個(gè)人，剩下的一份連蛋糕份蛋糕先拿出七份分給七個(gè)人，剩下的一份連蛋糕盒一起分給第八個(gè)人就是了。應(yīng)聘者的創(chuàng)造性思維盒一起分給第八個(gè)人就是了。應(yīng)聘者的創(chuàng)造性思維能力從這道題中就顯而易見了。能力從這道題中就

2、顯而易見了。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈解析：解析： 我們知道最可能實(shí)現(xiàn)一半對(duì)一半的公平分我們知道最可能實(shí)現(xiàn)一半對(duì)一半的公平分配的方案，是讓一方把蛋糕切成兩份，而讓另配的方案，是讓一方把蛋糕切成兩份，而讓另一方先挑選。一方先挑選。 在這種制度設(shè)置之下，如果切得不公平，得在這種制度設(shè)置之下，如果切得不公平，得益的必定是先挑選的一方。所以負(fù)責(zé)切蛋糕的一益的必定是先挑選的一方。所以負(fù)責(zé)切蛋糕的一方就得把蛋糕切得公平，方就得把蛋糕切得公平， 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 但是，這個(gè)方案極有可能是無法保證公平的。但是，這個(gè)方案極有可能是無法保證公平的。 因?yàn)槿藗內(nèi)菀紫胂笄械案獾囊环娇赡芗夹g(shù)不老到因?yàn)槿?/p>

3、們?nèi)菀紫胂笄械案獾囊环娇赡芗夹g(shù)不老到或不小心切得不一樣大，從而不切蛋糕的一方得到或不小心切得不一樣大，從而不切蛋糕的一方得到比較大的一半的機(jī)會(huì)增加。按照這樣的想象，誰都比較大的一半的機(jī)會(huì)增加。按照這樣的想象，誰都不愿意做切蛋糕的一方。雖然雙方都希望對(duì)方切、不愿意做切蛋糕的一方。雖然雙方都希望對(duì)方切、自己先挑，但是真正僵持的時(shí)間不會(huì)太長(zhǎng)，因?yàn)榻┳约合忍?，但是真正僵持的時(shí)間不會(huì)太長(zhǎng)，因?yàn)榻┏謺r(shí)間的損失很快就會(huì)比堅(jiān)持不切而挑可能得到的持時(shí)間的損失很快就會(huì)比堅(jiān)持不切而挑可能得到的好處大。也就是說，僵持的結(jié)果會(huì)得不償失，會(huì)出好處大。也就是說，僵持的結(jié)果會(huì)得不償失，會(huì)出現(xiàn)收益縮水的現(xiàn)象?，F(xiàn)收益縮水的現(xiàn)象。

4、 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 可以想象一下，若你討價(jià)還價(jià)如何分割的是一可以想象一下，若你討價(jià)還價(jià)如何分割的是一個(gè)冰激凌蛋糕，在爭(zhēng)吵怎么分配的同時(shí)，蛋糕已經(jīng)個(gè)冰激凌蛋糕，在爭(zhēng)吵怎么分配的同時(shí)，蛋糕已經(jīng)在那邊慢慢融化了。在那邊慢慢融化了。 因此，我們?cè)谏钪薪?jīng)常會(huì)看到這樣的現(xiàn)象：因此，我們?cè)谏钪薪?jīng)常會(huì)看到這樣的現(xiàn)象：桌子上放了一個(gè)冰激凌蛋糕，小娟向小明提議應(yīng)該桌子上放了一個(gè)冰激凌蛋糕，小娟向小明提議應(yīng)該如此這般分配。假如小明同意，他們就會(huì)按照成立如此這般分配。假如小明同意，他們就會(huì)按照成立的契約分享這個(gè)蛋糕；假如小明不同意雙方持續(xù)爭(zhēng)的契約分享這個(gè)蛋糕；假如小明不同意雙方持續(xù)爭(zhēng)執(zhí)，蛋糕將完全融化

5、，誰也得不到。執(zhí)，蛋糕將完全融化，誰也得不到。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 現(xiàn)在，小娟處于一個(gè)有力的地位：她使小明面現(xiàn)在，小娟處于一個(gè)有力的地位：她使小明面臨有所收獲和一無所獲的選擇。即便她提出自己獨(dú)臨有所收獲和一無所獲的選擇。即便她提出自己獨(dú)吞整個(gè)蛋糕，只讓小明在她吃完之后舔一舔切蛋糕吞整個(gè)蛋糕，只讓小明在她吃完之后舔一舔切蛋糕的餐刀，小明的選擇也只能是接受只舔一舔，否則的餐刀，小明的選擇也只能是接受只舔一舔，否則他什么也得不到。在這樣的游戲規(guī)則之下，小明一他什么也得不到。在這樣的游戲規(guī)則之下，小明一定不滿足于只能分到定不滿足于只能分到1/9的蛋糕，他一定要求再次的蛋糕，他一定要求再次分配

6、。這種情況下，分蛋糕的博弈就不再是一次性分配。這種情況下，分蛋糕的博弈就不再是一次性博弈。博弈。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 事實(shí)上，對(duì)于兩個(gè)人分蛋糕的情況，經(jīng)典事實(shí)上，對(duì)于兩個(gè)人分蛋糕的情況，經(jīng)典的的“你來分我來選你來分我來選”的方法仍然是非常有效的，的方法仍然是非常有效的，即使雙方對(duì)蛋糕價(jià)值的計(jì)算方法不一致也沒關(guān)即使雙方對(duì)蛋糕價(jià)值的計(jì)算方法不一致也沒關(guān)系。系。 這塊大這塊大“蛋糕蛋糕”如何分配呢？如何分配呢？7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 首先，由其中一人執(zhí)刀，把蛋糕切分成兩塊；首先，由其中一人執(zhí)刀，把蛋糕切分成兩塊；然后，另一個(gè)人選出他自己更想要的那塊，剩下然后，另一個(gè)人選出他自己更想要

7、的那塊，剩下的那塊就留給第一個(gè)人。由于分蛋糕的人事先不的那塊就留給第一個(gè)人。由于分蛋糕的人事先不知道選蛋糕的人會(huì)選擇哪一塊，為了保證自己的知道選蛋糕的人會(huì)選擇哪一塊，為了保證自己的利益，他必須（按照自己的標(biāo)準(zhǔn)）把蛋糕分成均利益，他必須（按照自己的標(biāo)準(zhǔn)）把蛋糕分成均等的兩塊。這樣，不管對(duì)方選擇了哪一塊，他都等的兩塊。這樣，不管對(duì)方選擇了哪一塊，他都能保證自己總可以得到蛋糕總價(jià)值的能保證自己總可以得到蛋糕總價(jià)值的 1/2 。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 在公平分割在公平分割 (fair division) 問題中，有一個(gè)問題中，有一個(gè)最為根本的公平原則叫做最為根本的公平原則叫做“均衡分割均衡分割

8、” (proportional division) 。 就是，就是， 如果有如果有 n 個(gè)人分蛋糕，則每個(gè)人都認(rèn)個(gè)人分蛋糕，則每個(gè)人都認(rèn)為自己得到了整個(gè)蛋糕至少為自己得到了整個(gè)蛋糕至少 1/n 的價(jià)值的價(jià)值 。從這個(gè)。從這個(gè)角度來說，角度來說，“你來分我來選你來分我來選”的方案是公平的的方案是公平的在信息不對(duì)稱的場(chǎng)合中，獲得總價(jià)值的一半已經(jīng)是在信息不對(duì)稱的場(chǎng)合中，獲得總價(jià)值的一半已經(jīng)是很讓人滿意的結(jié)果了。很讓人滿意的結(jié)果了。7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 如果分蛋糕的人更多，均衡分割同樣能夠?qū)嵢绻值案獾娜烁啵夥指钔瑯幽軌驅(qū)崿F(xiàn)，而且實(shí)現(xiàn)的方法不止一種。現(xiàn)，而且實(shí)現(xiàn)的方法不止一種。 其中一種

9、簡(jiǎn)單的方法就是，每個(gè)已經(jīng)分到蛋其中一種簡(jiǎn)單的方法就是，每個(gè)已經(jīng)分到蛋糕的人都把自己手中的蛋糕分成更小的等份，糕的人都把自己手中的蛋糕分成更小的等份，讓下一個(gè)沒有分到蛋糕的人來挑選。讓下一個(gè)沒有分到蛋糕的人來挑選。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 具體地說，先讓其中兩個(gè)人用具體地說，先讓其中兩個(gè)人用“你來分我來選你來分我來選”的方法，的方法，把蛋糕分成兩塊；然后，每個(gè)人都把自己手中的蛋糕分成三份，把蛋糕分成兩塊；然后，每個(gè)人都把自己手中的蛋糕分成三份，讓第三個(gè)人從每個(gè)人手里各挑出一份來；然后，每個(gè)人都把自讓第三個(gè)人從每個(gè)人手里各挑出一份來；然后，每個(gè)人都把自己手中的蛋糕分成四份，讓第四個(gè)人從這三個(gè)

10、人手中各挑選一己手中的蛋糕分成四份，讓第四個(gè)人從這三個(gè)人手中各挑選一份；不斷這樣繼續(xù)下去，直到最后一個(gè)人選完自己的蛋糕。份；不斷這樣繼續(xù)下去，直到最后一個(gè)人選完自己的蛋糕。 只要每個(gè)人在切蛋糕時(shí)能做到均分，無論哪塊被挑走，他只要每個(gè)人在切蛋糕時(shí)能做到均分，無論哪塊被挑走，他都不會(huì)吃虧；而第都不會(huì)吃虧；而第 n 個(gè)人拿到了每個(gè)人手中至少個(gè)人拿到了每個(gè)人手中至少 1/n 的小塊，的小塊，合起來自然也就不會(huì)少于蛋糕總價(jià)值的合起來自然也就不會(huì)少于蛋糕總價(jià)值的 1/n 。雖然這樣下來，。雖然這樣下來，蛋糕可能會(huì)被分得零零碎碎，但這能保證每個(gè)人手中的蛋糕在蛋糕可能會(huì)被分得零零碎碎，但這能保證每個(gè)人手中的蛋

11、糕在他自己看來都是不小于蛋糕總價(jià)值的他自己看來都是不小于蛋糕總價(jià)值的 1/n 的。的。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 還有一種思路完全不同的分割方案叫做還有一種思路完全不同的分割方案叫做“最后最后削減人算法削減人算法”，它也能做到均衡分割。，它也能做到均衡分割。 我們還是把總的人數(shù)用字母我們還是把總的人數(shù)用字母 n 來表示。首先，第來表示。首先，第一個(gè)人從蛋糕中切出他所認(rèn)為的一個(gè)人從蛋糕中切出他所認(rèn)為的 1/n ，然后把這一，然后把這一小塊傳給第二個(gè)人。第二個(gè)人可以選擇直接把這塊蛋小塊傳給第二個(gè)人。第二個(gè)人可以選擇直接把這塊蛋糕遞交給第三個(gè)人，也可以選擇從中切除一小塊（如糕遞交給第三個(gè)人，也可

12、以選擇從中切除一小塊（如果在他看來這塊蛋糕比果在他看來這塊蛋糕比 1/n 大了），再交給第三個(gè)大了），再交給第三個(gè)人。以此類推，每個(gè)人拿到蛋糕后都有一次人。以此類推，每個(gè)人拿到蛋糕后都有一次“修剪修剪”的機(jī)會(huì)，然后移交給下一個(gè)人。的機(jī)會(huì)，然后移交給下一個(gè)人。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 規(guī)定，最后一個(gè)對(duì)蛋糕大小進(jìn)行改動(dòng)的人將規(guī)定，最后一個(gè)對(duì)蛋糕大小進(jìn)行改動(dòng)的人將獲得這塊蛋糕，余下的獲得這塊蛋糕，余下的 n - 1 個(gè)人則從頭開始個(gè)人則從頭開始重復(fù)剛才的流程，分割剩下的蛋糕。每次走完重復(fù)剛才的流程，分割剩下的蛋糕。每次走完一個(gè)流程，都會(huì)有一個(gè)人拿到了令他滿意的蛋一個(gè)流程，都會(huì)有一個(gè)人拿到了令他

13、滿意的蛋糕，下一次重復(fù)該流程的人數(shù)就會(huì)減少一人。糕，下一次重復(fù)該流程的人數(shù)就會(huì)減少一人。不斷這樣做下去，直到每個(gè)人都分到蛋糕為止。不斷這樣做下去，直到每個(gè)人都分到蛋糕為止。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 第一輪流程結(jié)束后，拿到蛋糕的人可以保證手第一輪流程結(jié)束后，拿到蛋糕的人可以保證手中的蛋糕是整個(gè)蛋糕價(jià)值的中的蛋糕是整個(gè)蛋糕價(jià)值的 1/n 。而對(duì)于每個(gè)沒。而對(duì)于每個(gè)沒有拿到蛋糕的人來說，由于當(dāng)他把蛋糕傳下去之后，有拿到蛋糕的人來說，由于當(dāng)他把蛋糕傳下去之后，他后面的人只能減蛋糕不能加蛋糕，因此在他看來他后面的人只能減蛋糕不能加蛋糕，因此在他看來被拿走的那部分蛋糕一定不到被拿走的那部分蛋糕一定不

14、到 1/n ，剩余的蛋糕，剩余的蛋糕對(duì)他來說仍然是夠分的。對(duì)他來說仍然是夠分的。 在此游戲規(guī)則下，大家會(huì)自覺地把手中的蛋糕修在此游戲規(guī)則下，大家會(huì)自覺地把手中的蛋糕修剪成自認(rèn)為的剪成自認(rèn)為的 1/n ，耍賴不會(huì)給他帶來任何好處。，耍賴不會(huì)給他帶來任何好處。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 分蛋糕的人絕不敢把蛋糕切得更小，否則得到分蛋糕的人絕不敢把蛋糕切得更小，否則得到這塊蛋糕的人就有可能是他；而如果他把一塊大于這塊蛋糕的人就有可能是他；而如果他把一塊大于 1/n 的蛋糕拱手交給了別人，在他眼里看來，剩下的蛋糕拱手交給了別人，在他眼里看來，剩下的蛋糕就不夠分了，他最終分到的很可能遠(yuǎn)不及的蛋糕就不夠

15、分了，他最終分到的很可能遠(yuǎn)不及 1/n 。 這樣一來，均衡分割問題便完美解決了。這樣一來，均衡分割問題便完美解決了。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈不過，細(xì)究起來，這種方法也不是完全公平的。不過，細(xì)究起來，這種方法也不是完全公平的。 對(duì)于分蛋糕的人來說，兩塊蛋糕的價(jià)值均等，對(duì)于分蛋糕的人來說，兩塊蛋糕的價(jià)值均等，但對(duì)于選蛋糕的人來說，兩塊蛋糕的價(jià)值差異可能但對(duì)于選蛋糕的人來說，兩塊蛋糕的價(jià)值差異可能很大。因此，選蛋糕的人往往能獲得大于很大。因此，選蛋糕的人往往能獲得大于 1/2 的的價(jià)值。價(jià)值。 如個(gè)人的喜好、選擇決定了分蛋糕的人的風(fēng)險(xiǎn)。如個(gè)人的喜好、選擇決定了分蛋糕的人的風(fēng)險(xiǎn)。7.1 分蛋糕博

16、弈分蛋糕博弈 如果如果 n 個(gè)人分完蛋糕后，每個(gè)人都自認(rèn)為自己個(gè)人分完蛋糕后，每個(gè)人都自認(rèn)為自己分得了至少分得了至少 1/n 的蛋糕，但其中兩個(gè)人還是打起的蛋糕，但其中兩個(gè)人還是打起來了，可能是什么原因呢？由于不同的人對(duì)蛋糕各來了，可能是什么原因呢？由于不同的人對(duì)蛋糕各部分價(jià)值的判斷標(biāo)準(zhǔn)不同，因此完全有可能出現(xiàn)這部分價(jià)值的判斷標(biāo)準(zhǔn)不同，因此完全有可能出現(xiàn)這樣的情況樣的情況雖然自己已經(jīng)分到了至少雖然自己已經(jīng)分到了至少 1/n 份，份，但在他看來，有個(gè)人手里的蛋糕比他還多。但在他看來，有個(gè)人手里的蛋糕比他還多。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 看來，我們平常所說的公平，至少還有一層意看來，我們平常所

17、說的公平，至少還有一層意思思每個(gè)人都認(rèn)為別人的蛋糕都沒我手里的好。每個(gè)人都認(rèn)為別人的蛋糕都沒我手里的好。 在公平分割理論中，我們把滿足這個(gè)條件的分蛋在公平分割理論中，我們把滿足這個(gè)條件的分蛋糕方案叫做免嫉妒分割糕方案叫做免嫉妒分割 (envy-free division) 。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 構(gòu)造一套免嫉妒的分割方案非常困難。構(gòu)造一套免嫉妒的分割方案非常困難。 1960 年，年， John Selfridge 和和 John Conway 各自各自獨(dú)立地分析了人數(shù)為獨(dú)立地分析了人數(shù)為 3 的情況，構(gòu)造出了第一個(gè)滿的情況，構(gòu)造出了第一個(gè)滿足免嫉妒條件的三人分割方案。這種分割方案就被

18、足免嫉妒條件的三人分割方案。這種分割方案就被稱為稱為“Selfridge-Conway 算法算法”。7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 首先，首先，A 把蛋糕分成三等份（當(dāng)然是按照自己的看法來把蛋糕分成三等份（當(dāng)然是按照自己的看法來分的，后面提到的切分、選取也都是這樣）。如果分的，后面提到的切分、選取也都是這樣）。如果 B 認(rèn)為認(rèn)為這三塊蛋糕中較大的兩塊是一樣大的，那么按照這三塊蛋糕中較大的兩塊是一樣大的，那么按照 C 、 B 、 A 的順序依次選取蛋糕，問題就解決了。麻煩就麻煩在的順序依次選取蛋糕，問題就解決了。麻煩就麻煩在 B 認(rèn)為較大的兩塊蛋糕不一樣大的情況。此時(shí)，認(rèn)為較大的兩塊蛋糕不一樣大的

19、情況。此時(shí)，B 就把最大的就把最大的那塊蛋糕的其中一小部分切下來，讓剩余的部分和第二大的那塊蛋糕的其中一小部分切下來，讓剩余的部分和第二大的蛋糕一樣大。被切除的部分暫時(shí)扔在一旁，在第二輪分割時(shí)蛋糕一樣大。被切除的部分暫時(shí)扔在一旁，在第二輪分割時(shí)再來處理。接下來，按照再來處理。接下來，按照 C 、 B 、 A 的順序依次選蛋糕，的順序依次選蛋糕，但有一個(gè)限制：如果但有一個(gè)限制：如果 C 沒有選那塊被修剪過的蛋糕，沒有選那塊被修剪過的蛋糕，B 就就必須選它。必須選它。7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 這樣，三人就各分得了一塊蛋糕。由于這樣，三人就各分得了一塊蛋糕。由于 A 是切蛋糕的是切蛋糕的人，對(duì)于

20、他來說拿到哪一塊都一樣，因此人，對(duì)于他來說拿到哪一塊都一樣，因此 A 不會(huì)嫉妒別人。不會(huì)嫉妒別人。由于由于 B 選取的是兩個(gè)較大塊中的一個(gè)，因此選取的是兩個(gè)較大塊中的一個(gè)，因此 B 也不會(huì)嫉妒也不會(huì)嫉妒別人。由于別人。由于 C 是第一個(gè)選蛋糕的，顯然他也不會(huì)嫉妒別人。是第一個(gè)選蛋糕的，顯然他也不會(huì)嫉妒別人。因此，就目前來說，三個(gè)人之間是不會(huì)有嫉妒發(fā)生的。因此，就目前來說，三個(gè)人之間是不會(huì)有嫉妒發(fā)生的。 但是，還有一小塊被切除的部分沒分完，因此分割流程但是，還有一小塊被切除的部分沒分完，因此分割流程進(jìn)入第二輪。進(jìn)入第二輪。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 在在 B 和和 C 之間，一定有一個(gè)人選擇

21、了那塊被修剪過的之間，一定有一個(gè)人選擇了那塊被修剪過的蛋糕。不妨把這個(gè)人重新記作蛋糕。不妨把這個(gè)人重新記作 X ，另一個(gè)人就記作，另一個(gè)人就記作 Y 。讓。讓 Y 把最后那一小塊分成三等份，按照把最后那一小塊分成三等份，按照 X 、 A 、 Y 的順序的順序依次挑選蛋糕，結(jié)束第二輪流程。這一輪結(jié)束后，每個(gè)人都依次挑選蛋糕，結(jié)束第二輪流程。這一輪結(jié)束后，每個(gè)人都又得到了一小塊蛋糕。由于又得到了一小塊蛋糕。由于 X 是第一個(gè)選蛋糕的人，是第一個(gè)選蛋糕的人， X 顯顯然不會(huì)嫉妒別人；由于然不會(huì)嫉妒別人；由于 Y 是分蛋糕的人，是分蛋糕的人， Y 也不會(huì)嫉妒別也不會(huì)嫉妒別人。由于人。由于 A 比比 Y

22、 先選，先選， A 不會(huì)嫉妒不會(huì)嫉妒 Y 。最后，。最后，A 也是不也是不會(huì)嫉妒會(huì)嫉妒 X 的，因?yàn)榧词沟?，因?yàn)榧词?X 擁有了第二輪中的全部蛋糕，擁有了第二輪中的全部蛋糕，X 手里的蛋糕加起來也只是第一輪開始時(shí)手里的蛋糕加起來也只是第一輪開始時(shí) A 等分出來的其中等分出來的其中一塊蛋糕，這是不可能超過一塊蛋糕，這是不可能超過 A 的。這就說明了，三個(gè)人之的。這就說明了，三個(gè)人之間仍然不會(huì)有嫉妒發(fā)生，間仍然不會(huì)有嫉妒發(fā)生，Selfridge-Conway 算法的確滿算法的確滿足免嫉妒條件。足免嫉妒條件。7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 不過，不過，Selfridge-Conway 算法只能在三人分

23、蛋糕時(shí)算法只能在三人分蛋糕時(shí)使用，并不能擴(kuò)展到人數(shù)更多的情況。對(duì)于人數(shù)更多的情況，使用，并不能擴(kuò)展到人數(shù)更多的情況。對(duì)于人數(shù)更多的情況，免嫉妒分割問題更加困難，目前數(shù)學(xué)家們還沒有找到一個(gè)比免嫉妒分割問題更加困難，目前數(shù)學(xué)家們還沒有找到一個(gè)比較可行的方案。正如數(shù)學(xué)家較可行的方案。正如數(shù)學(xué)家 Sol Garfunkel 所說，分蛋糕所說，分蛋糕問題是問題是 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)研究中最重要的問題之一。直到現(xiàn)在，世紀(jì)數(shù)學(xué)研究中最重要的問題之一。直到現(xiàn)在，也還有一大群數(shù)學(xué)家正投身于分蛋糕問題之中，研究包括免也還有一大群數(shù)學(xué)家正投身于分蛋糕問題之中，研究包括免嫉妒性在內(nèi)的各種公平條件，致力于構(gòu)造新的公平分割方

24、案。嫉妒性在內(nèi)的各種公平條件，致力于構(gòu)造新的公平分割方案。 7.1 分蛋糕博弈分蛋糕博弈 但是，要想實(shí)現(xiàn)上面所說的理想分割，雙方但是，要想實(shí)現(xiàn)上面所說的理想分割，雙方需要完全公開自己的信息，并且要能夠充分信任對(duì)需要完全公開自己的信息，并且要能夠充分信任對(duì)方。方。 然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，這是很難做到的。考慮然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，這是很難做到的?？紤]到分蛋糕的雙方爾虞我詐的可能性，實(shí)現(xiàn)絕對(duì)公平到分蛋糕的雙方爾虞我詐的可能性，實(shí)現(xiàn)絕對(duì)公平幾乎是不可能完成的任務(wù)。幾乎是不可能完成的任務(wù)。 因此，我們只能退而求其次，給因此，我們只能退而求其次，給“公平公平”下一下一個(gè)大家普遍能接受的定義。個(gè)大家普遍能接受的

25、定義。 7.2 分蛋糕博弈的案例分蛋糕博弈的案例 分蛋糕的故事在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用。無論在政分蛋糕的故事在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用。無論在政壇、商界還是在日常生活中，有關(guān)各方經(jīng)常需要通壇、商界還是在日常生活中，有關(guān)各方經(jīng)常需要通過評(píng)判對(duì)總收益如何分配，這個(gè)總收益其實(shí)就是一過評(píng)判對(duì)總收益如何分配，這個(gè)總收益其實(shí)就是一塊大塊大“蛋糕蛋糕”。 事實(shí)上，當(dāng)分蛋糕博弈成為一個(gè)事實(shí)上，當(dāng)分蛋糕博弈成為一個(gè)“動(dòng)態(tài)博弈動(dòng)態(tài)博弈”時(shí)，就形成一個(gè)討價(jià)還價(jià)博弈的基本模型。在經(jīng)濟(jì)時(shí)，就形成一個(gè)討價(jià)還價(jià)博弈的基本模型。在經(jīng)濟(jì)生活中，小到日常的商品買賣，大到國際貿(mào)易乃至生活中，小到日常的商品買賣，大到國際貿(mào)易乃至重大政治談判，都存

26、在著討價(jià)還價(jià)的問題。重大政治談判，都存在著討價(jià)還價(jià)的問題。7.2 分蛋糕博弈的案例分蛋糕博弈的案例 例：古時(shí)候有個(gè)破落貴族的后代甲，窮困得實(shí)在沒有例：古時(shí)候有個(gè)破落貴族的后代甲，窮困得實(shí)在沒有辦法過下去，不得不將家中祖?zhèn)鞯墓抛之嬆玫揭粋€(gè)大辦法過下去，不得不將家中祖?zhèn)鞯墓抛之嬆玫揭粋€(gè)大財(cái)主乙家去賣。這幅字畫在甲看來至少值財(cái)主乙家去賣。這幅字畫在甲看來至少值200兩銀子，兩銀子，財(cái)主乙認(rèn)為這幅字畫最多只值財(cái)主乙認(rèn)為這幅字畫最多只值300兩銀子。兩銀子。 這樣看來，如果順利成交，字畫的成交價(jià)格將在這樣看來，如果順利成交，字畫的成交價(jià)格將在200300兩銀子之間。這個(gè)交易的過程不妨簡(jiǎn)化為這兩銀子之間。

27、這個(gè)交易的過程不妨簡(jiǎn)化為這樣：首先由乙開價(jià)，甲選擇成交或還價(jià)。這個(gè)時(shí)候，如樣：首先由乙開價(jià)，甲選擇成交或還價(jià)。這個(gè)時(shí)候，如果乙同意甲的還價(jià)，交易順利結(jié)束；如果乙不接受，則果乙同意甲的還價(jià)，交易順利結(jié)束；如果乙不接受，則交易結(jié)束，買賣沒有做成。這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的兩階段動(dòng)交易結(jié)束，買賣沒有做成。這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的兩階段動(dòng)態(tài)博弈的方案。態(tài)博弈的方案。 7.2 分蛋糕博弈的案例分蛋糕博弈的案例分蛋糕的談判技巧分蛋糕的談判技巧 ：用解決動(dòng)態(tài)博弈問題的倒推法原理來分析這個(gè)討價(jià)還價(jià)的過程。用解決動(dòng)態(tài)博弈問題的倒推法原理來分析這個(gè)討價(jià)還價(jià)的過程。 首先看第二輪也就是最后一輪的博弈，只要甲的還價(jià)不首先看第二輪也就是

28、最后一輪的博弈，只要甲的還價(jià)不超過超過300兩銀子，乙都會(huì)選擇接受還價(jià)條件。兩銀子，乙都會(huì)選擇接受還價(jià)條件。 回過頭來，我們?cè)賮砜吹谝惠喌牟┺那闆r，甲拒絕由乙回過頭來，我們?cè)賮砜吹谝惠喌牟┺那闆r，甲拒絕由乙開出的任何低于開出的任何低于300兩銀子的價(jià)格，這是很明顯的。比如兩銀子的價(jià)格，這是很明顯的。比如乙開價(jià)乙開價(jià)290兩銀子購買字畫，甲在這一輪同意的話，只能兩銀子購買字畫，甲在這一輪同意的話，只能賣得賣得290兩；如果甲不接受這個(gè)價(jià)格反而在第二輪博弈提兩；如果甲不接受這個(gè)價(jià)格反而在第二輪博弈提高到高到299兩銀子時(shí)，乙仍然會(huì)購買此幅字畫。兩項(xiàng)比較，兩銀子時(shí)，乙仍然會(huì)購買此幅字畫。兩項(xiàng)比較，顯

29、然甲會(huì)還價(jià)。顯然甲會(huì)還價(jià)。 7.2 分蛋糕博弈的案例分蛋糕博弈的案例分蛋糕的談判技巧分蛋糕的談判技巧 ： 這個(gè)例子中的財(cái)主乙先開價(jià)，破落貴族甲后還價(jià)，結(jié)這個(gè)例子中的財(cái)主乙先開價(jià)，破落貴族甲后還價(jià)，結(jié)果賣方甲可以獲得最大收益，這正是一種后出價(jià)的果賣方甲可以獲得最大收益，這正是一種后出價(jià)的后發(fā)優(yōu)后發(fā)優(yōu)勢(shì)勢(shì)。這一優(yōu)勢(shì)在這個(gè)例子中相當(dāng)是分蛋糕動(dòng)態(tài)博弈中最后。這一優(yōu)勢(shì)在這個(gè)例子中相當(dāng)是分蛋糕動(dòng)態(tài)博弈中最后提出條件的人幾乎霸占整塊蛋糕。提出條件的人幾乎霸占整塊蛋糕。 事實(shí)上，如果財(cái)主乙懂得博弈論：他可以改變策略，要事實(shí)上，如果財(cái)主乙懂得博弈論：他可以改變策略，要么后出價(jià)，要么是先出價(jià)，但是不允許甲討價(jià)還價(jià)

30、。如果一么后出價(jià)，要么是先出價(jià)，但是不允許甲討價(jià)還價(jià)。如果一次性出價(jià)，甲不答應(yīng)，就堅(jiān)決不會(huì)再繼續(xù)談判，來購買甲的次性出價(jià)，甲不答應(yīng)，就堅(jiān)決不會(huì)再繼續(xù)談判，來購買甲的字畫。這個(gè)時(shí)候，只要乙的出價(jià)略高于字畫。這個(gè)時(shí)候，只要乙的出價(jià)略高于200兩銀子，甲一定兩銀子，甲一定會(huì)將字畫賣給乙。因?yàn)闀?huì)將字畫賣給乙。因?yàn)?00兩銀子已經(jīng)超出了甲的心理價(jià)位，兩銀子已經(jīng)超出了甲的心理價(jià)位，一旦不成交，那一文錢也拿不到，只能繼續(xù)受凍挨餓。一旦不成交，那一文錢也拿不到，只能繼續(xù)受凍挨餓。 7.2 分蛋糕博弈的案例分蛋糕博弈的案例 狄更斯的文學(xué)名著狄更斯的文學(xué)名著荒涼山莊荒涼山莊就描述了極端的情形：就描述了極端的情形：圍繞賈恩迪斯山莊展開的爭(zhēng)執(zhí)變得沒完沒了，以至于最后圍繞賈恩迪斯山莊展開的爭(zhēng)執(zhí)變得沒完沒了，以至于最后整個(gè)山莊不得不賣掉，用于支付律師們的費(fèi)用，而爭(zhēng)執(zhí)的整個(gè)山莊不得不賣掉，用于支付律師們的費(fèi)用，而爭(zhēng)執(zhí)的雙方由于各不相讓什么也沒有得到。雙方由于各不相讓什么也沒有得到。7.2 分蛋糕博弈的案例分蛋糕博弈的案例 按照同樣的思路，假如不能達(dá)成工資協(xié)定就會(huì)按照同樣的思路，假