張法安等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用整理上課用

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)目標(biāo)：求和公式的性質(zhì)及應(yīng)用，Sn與an的關(guān)系以及數(shù)列求和的方法。教學(xué)重點(diǎn)：求和公式的性質(zhì)應(yīng)用。難點(diǎn)：求和公式的性質(zhì)運(yùn)用以及數(shù)列求和的方法可見(jiàn)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，其二次項(xiàng)系數(shù)是公差的一半。一次項(xiàng)是首項(xiàng)減去公差的一半Sn=An2+Bn復(fù)習(xí)回顧

形式1:形式2:等差數(shù)列通項(xiàng)公式共有幾項(xiàng)？P313題1．一些常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝

.n2n2＋n題組自測(cè)答案：－20131．?dāng)?shù)列{(－1)n(2n－1)}的前2013項(xiàng)的和S2013＝________.

練習(xí)：同基練P30,1-47、8P336●

如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為其中p、q、r為常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？（1）若r≠0，則這個(gè)數(shù)列一定不是等差數(shù)列.（2）若r＝0，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列.性質(zhì)1、{an}是等差數(shù)列(d≠0)Sn=an2+bn(a,b為常數(shù))同練P327若d＝0?通項(xiàng)如何2.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.則Sn的圖象如圖所示又S3=S11所以圖象的對(duì)稱軸為7n113Sn等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得∴a7+a8=0等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題：

P31視野拓展1，2求等差數(shù)列前n項(xiàng)的最大(小)的方法方法1:由利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸求得最值及取得最值時(shí)的n的值.方法2:利用an的符號(hào)①當(dāng)a1>0,d<0時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正,此時(shí)所有正項(xiàng)的和為Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②當(dāng)a1<0,d>0時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù),此時(shí)所有負(fù)項(xiàng)的和為Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題一、a1>0,d>0有最大還是最值呢？A1<0,d<0有最大還是最值呢？練習(xí):已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大,則n的值為()A.12B.13C.12或13D.14C同步練習(xí)P32基礎(chǔ)鞏固2，3、8能力2、4性質(zhì)2、等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))解:性質(zhì)3:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)的和為Sn,則有n2d方法一：方程思想方法二：成等差數(shù)列P364性質(zhì)4:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=性質(zhì)5:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=性質(zhì)6:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1為中間兩項(xiàng)),此時(shí)有:S偶－S奇=,0nd－(m+p)P33，5題P33,7題性質(zhì)7:(1)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1,則S2n-1=(2n－1)an(an為中間項(xiàng)),此時(shí)有:S偶－S奇=

,兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系性質(zhì)9:若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項(xiàng)的和分別為Sn和Tn,則性質(zhì)8:為等差數(shù)列.anP337題P335題1.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)和為34，最后三項(xiàng)和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列共有______項(xiàng)。2.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an},{bn}，它們的前n項(xiàng)和分別是Sn,Tn，若熱身練習(xí)比值問(wèn)題整體思想例1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例2.在等差數(shù)列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例3.一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和為100,前100項(xiàng)的和為10,則它的前110項(xiàng)的和為

.－110例4.兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn,且求和.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用P32,7題例5.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354,其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)的和之比為32:27,則公差為

.例6.(09寧夏)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m=.例7.設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-7,則|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.510153等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例8.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出數(shù)列{Sn}中數(shù)值最大的項(xiàng),并說(shuō)明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)(2)∵∴Sn圖象的對(duì)稱軸為由(1)知由上得即由于n為正整數(shù),所以當(dāng)n=6時(shí)Sn有最大值.∴Sn有最大值.練習(xí)1已知等差數(shù)列25,21,19,…的前n項(xiàng)和為Sn,求使得Sn最大的序號(hào)n的值.練習(xí)2:求集合的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和.練習(xí)3：已知在等差數(shù)列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn為其前n項(xiàng)和.（1）問(wèn)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整數(shù)n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值課堂小結(jié)1.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式.2、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求的最值.3.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)的和為Sn,則有性質(zhì)2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=性質(zhì)3:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1為中間兩項(xiàng)),此時(shí)有:S偶－S奇=