高中數(shù)學(xué)人教A版第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系【全國一等獎】

2023學(xué)年山東省臨沂市郯城一中高一（上）12月月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題共10小題，共25分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，則?UA=（）A．{4} B．{2，4，5} C．{4，5} D．{1，3，4}2．設(shè)，則f[f（﹣1）]=（）A．1 B．2 C．4 D．83．冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，4），則f（4）等于（）A．2 B．8 C．16 D．644．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A．y=x+1 B．y=﹣x2 C． D．y=x35．四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面都是側(cè)棱長為的等腰三角形，則二面角V﹣AB﹣C的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．120°6．設(shè)a=，b=logπ3，c=則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．已知平面α，β，直線l，m，且有l(wèi)⊥α，m?β，則下列四個命題正確的個數(shù)為（）①若α∥β，則l⊥m；②若l∥m，則l∥β；③若α⊥β，則l∥m；④若l⊥m，則l⊥β．A．1 B．2 C．3 D．48．當(dāng)a＞1時，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a﹣x與y=logax的圖象為（）A． B． C． D．9．若一個幾何體的三視圖如圖所示（單位長度：cm），則此幾何體的表面積是（）A． B．21cm2 C． D．24cm210．函數(shù)f（x）=ln|x﹣2|﹣m（m∈R）的所有零點(diǎn)之和為（）A．﹣4 B．2 C．4 D．與實(shí)數(shù)m有關(guān)二、填空題（本大題共5小題，共25分）11．若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x2+x，則f（﹣3）的值為．12．一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底邊均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是．13．已知函數(shù)y=ax+1在（﹣1，1）上是增函數(shù)，函數(shù)y=﹣x2+2ax在[1，2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．14．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，則棱錐O﹣ABCD的體積為．15．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中：①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN是異面直線．以上四個命題中，正確命題的序號是．三、解答題：（本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）16．設(shè)集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．（1）求A∩B；（2）若B∪C=C，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．17．如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．求證：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．18．求值：（1）；（2）．19．某商場出售一種商品，每天可賣1000件，每件可獲利4元．據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若這種商品每件每降價元，則比降價前每天可多賣出100件，為獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益每件單價應(yīng)降低多少元？20．如圖，A、B、C、D是空間四點(diǎn)，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等邊△ADB所在的平面以AB為軸可轉(zhuǎn)動．（Ⅰ）當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，求三棱錐D﹣ABC的體積；（Ⅱ）當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動過程中，是否總有AB⊥CD？請證明你的結(jié)論．21．已知：函數(shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值．（2）求f（x）的解析式．（3）已知a∈R，設(shè)P：當(dāng)時，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：當(dāng)x∈[﹣2，2]時，g（x）=f（x）﹣ax是單調(diào)函數(shù)．如果滿足P成立的a的集合記為A，滿足Q成立的a的集合記為B，求A∩?RB（R為全集）．

2023學(xué)年山東省臨沂市郯城一中高一（上）12月月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共10小題，共25分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，則?UA=（）A．{4} B．{2，4，5} C．{4，5} D．{1，3，4}【考點(diǎn)】補(bǔ)集及其運(yùn)算．【分析】由題意，直接根據(jù)補(bǔ)集的定義求出?UA，即可選出正確選項(xiàng)【解答】解：因?yàn)閁={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}所以?UA={4，5}故選：C．2．設(shè)，則f[f（﹣1）]=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】根據(jù)題意，可先求f（﹣1）=1，然后即可求解f[f（﹣1）]【解答】解：由題意可得，f（﹣1）=（﹣1）2=1∴f[f（﹣1）]=f（1）=21=2故選B3．冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，4），則f（4）等于（）A．2 B．8 C．16 D．64【考點(diǎn)】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，利用已知條件求解解析式，然后求解結(jié)果．【解答】解：冪函數(shù)為f（x）=xα，冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，4），∴4=2α，∴α=2．f（4）=42=16．故選：C．4．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A．y=x+1 B．y=﹣x2 C． D．y=x3【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】對于A，函數(shù)為增函數(shù)，但不是奇函數(shù)；對于B，函數(shù)為偶函數(shù)；對于C，函數(shù)在定義域的兩個區(qū)間分別為減函數(shù)；對于D，函數(shù)為增函數(shù)，是奇函數(shù)．【解答】解：對于A，函數(shù)為增函數(shù)，但不是奇函數(shù)，不滿足題意；對于B，﹣（﹣x）2=﹣x2，函數(shù)為偶函數(shù)，不滿足題意；對于C，y′=﹣，函數(shù)在定義域的兩個區(qū)間分別為減函數(shù)，不滿足題意；對于D，y′=3x2，函數(shù)為增函數(shù)，（﹣x）3=﹣x3，是奇函數(shù)，滿足題意；故選D．5．四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面都是側(cè)棱長為的等腰三角形，則二面角V﹣AB﹣C的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．120°【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【分析】由題意可知：四棱錐V﹣ABCD是正四棱錐，連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，連接VO，則VO⊥平面ABCD．取AB的中點(diǎn)M，連接VM，OM．則AB⊥OM，利用三垂線定理可得AB⊥VM．即可得到∠OMV是二面角V﹣AB﹣C的平面角．在Rt△VOM，利用邊角關(guān)系即可得出．【解答】解：如圖所示，由題意可得：四棱錐V﹣ABCD是正四棱錐，連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，連接VO，則VO⊥平面ABCD．取AB的中點(diǎn)M，連接VM，OM．則AB⊥OM，∴AB⊥VM．∴∠OMV是二面角V﹣AB﹣C的平面角．由正方形可得：OB===．∴=．在Rt△VOM，==．∴∠VMO=60°．故選C．6．設(shè)a=，b=logπ3，c=則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)可得a=＞1，b=logπ3＜1，c=＞0，從而得到a，b，c的大小關(guān)系．【解答】解：由于a=＞30=1，b=logπ3＜logππ=1，c=＞=0，故有c＜b＜a，故選B．7．已知平面α，β，直線l，m，且有l(wèi)⊥α，m?β，則下列四個命題正確的個數(shù)為（）①若α∥β，則l⊥m；②若l∥m，則l∥β；③若α⊥β，則l∥m；④若l⊥m，則l⊥β．A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)已知中l(wèi)⊥α，m?β，結(jié)合線面垂直的幾何特征及面面平行，面面垂直的幾何特征及線面平行和線面垂直的判定方法，逐一分析四個結(jié)論的真假，可得答案．【解答】解：若α∥β，則l⊥β，又由m?β，故l⊥m，故①正確；若l∥m，m?β，則l∥β或l?β，故②錯誤；若α⊥β，則l與m相交、平行或異面，故③錯誤；若l⊥m，則l與β相交、平行或l?β，故④錯誤．故四個命題中正確的命題有1個，故選A8．當(dāng)a＞1時，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a﹣x與y=logax的圖象為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】當(dāng)a＞1時，根據(jù)函數(shù)y=a﹣x在R上是減函數(shù)，而y=logax的在（0，+∞）上是增函數(shù)，結(jié)合所給的選項(xiàng)可得結(jié)論．【解答】解：當(dāng)a＞1時，根據(jù)函數(shù)y=a﹣x在R上是減函數(shù)，故排除A、B；而y=logax的在（0，+∞）上是增函數(shù)，故排除D，故選：C．9．若一個幾何體的三視圖如圖所示（單位長度：cm），則此幾何體的表面積是（）A． B．21cm2 C． D．24cm2【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】三視圖復(fù)原的組合體是下部是正方體，上部是四棱錐，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)，求出表面積即可．【解答】解：三視圖復(fù)原的組合體是下部是棱長為2的正方體，上部是底面邊長問的正方形，高為1的四棱錐，組合體的表面積為：=故選A．10．函數(shù)f（x）=ln|x﹣2|﹣m（m∈R）的所有零點(diǎn)之和為（）A．﹣4 B．2 C．4 D．與實(shí)數(shù)m有關(guān)【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【分析】函數(shù)f（x）=ln|x﹣2|﹣m（m∈R）的零點(diǎn)即方程ln|x﹣2|=m的解，從而求解．【解答】解：函數(shù)f（x）=ln|x﹣2|﹣m（m∈R）的零點(diǎn)即方程ln|x﹣2|=m的解，即|x﹣2|=em；故x=em+2或x=﹣em+2；故函數(shù)f（x）=ln|x﹣2|﹣m（m∈R）的所有零點(diǎn)之和為em+2﹣em+2=4；故選C．二、填空題（本大題共5小題，共25分）11．若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x2+x，則f（﹣3）的值為﹣12．【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，直接求解即可．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x2+x，所以f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（（﹣3）2+3）=﹣12．故答案為：﹣12．12．一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底邊均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是2+．【考點(diǎn)】斜二測法畫直觀圖．【分析】根據(jù)斜二測化法規(guī)則畫出原平面圖形，即可求出其面積．【解答】解：如圖所示：由已知斜二測直觀圖根據(jù)斜二測化法規(guī)則畫出原平面圖形，∴這個平面圖形的面積==．故答案為．13．已知函數(shù)y=ax+1在（﹣1，1）上是增函數(shù)，函數(shù)y=﹣x2+2ax在[1，2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】通過一次函數(shù)的性質(zhì)得到a＞0，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱軸x=a≤1，從而得到答案．【解答】解：∵函數(shù)y=ax+1在（﹣1，1）上是增函數(shù)，∴a＞0，∵函數(shù)y=﹣x2+2ax在[1，2]上是減函數(shù)，∴對稱軸x=a≤1，故答案為：0＜a≤1．14．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，則棱錐O﹣ABCD的體積為8．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】由題意求出矩形的對角線的長，結(jié)合球的半徑，球心到矩形的距離，滿足勾股定理，求出棱錐的高，即可求出棱錐的體積．【解答】解：矩形的對角線的長為：，所以球心到矩形的距離為：=2，所以棱錐O﹣ABCD的體積為：=8．故答案為：815．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中：①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN是異面直線．以上四個命題中，正確命題的序號是③④．【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】將展開圖復(fù)原為幾何體，如圖，根據(jù)正方體的幾何牲，分別四個命題的真假，容易判斷選項(xiàng)的正誤，求出結(jié)果．【解答】解：展開圖復(fù)原的正方體如圖，不難看出：①BM與ED平行；錯誤的，是異面直線；②CN與BE是異面直線，錯誤；是平行線；③CN與BM成60°；正確；④DM與BN是異面直線．正確判斷正確的答案為③④故答案為：③④三、解答題：（本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）16．設(shè)集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．（1）求A∩B；（2）若B∪C=C，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題；交集及其運(yùn)算．【分析】（1）化簡集合B，然后求集合的交集．（2）利用B∪C=C，得到B?C，然后求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）由題意知，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…所以A∩B={x|2≤x＜3}…（2）因?yàn)锽∪C=C，所以B?C…所以a﹣1≤2，即a≤3…17．如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．求證：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（I）根據(jù)線面平行的判定定理證出即可；（II）根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可．【解答】證明：（I）∵O是AC的中點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，∴OE∥AP，又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE．∴PA∥平面BDE．（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC，而BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE18．求值：（1）；（2）．【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值．【分析】（1）利用有理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)、運(yùn)算法則求解．（2）利用對數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算法則求解．【解答】解：（1）=4﹣8+2=﹣2．…（2）===3（lg5+lg2）+=．…19．某商場出售一種商品，每天可賣1000件，每件可獲利4元．據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若這種商品每件每降價元，則比降價前每天可多賣出100件，為獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益每件單價應(yīng)降低多少元？【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】根據(jù)經(jīng)濟(jì)效益為每件獲利×每天賣出商品件數(shù)，可構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，利用配方法，即可求得所求每件單價．【解答】解：設(shè)每件降價元，則每件獲利（4﹣）元，每天賣出商品件數(shù)為．經(jīng)濟(jì)效益：y=（4﹣）=﹣10x2+300x+4000=﹣10（x2﹣30x+225﹣225）+4000=﹣10（x﹣15）2+6250．∴x=15時，ymax=6250．即每件單價降低元，可獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益．20．如圖，A、B、C、D是空間四點(diǎn)，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等邊△ADB所在的平面以AB為軸可轉(zhuǎn)動．（Ⅰ）當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，求三棱錐D﹣ABC的體積；（Ⅱ）當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動過程中，是否總有AB⊥CD？請證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；平面與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）取出AB中點(diǎn)E，連接DE，CE，由等邊三角形ADB可得出DE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，故DE⊥平面ABC，由勾股定理可得CE的長，進(jìn)而可得三角形ABC的面積，由棱錐的體積公式可得答案．（Ⅱ）總有AB⊥CD，當(dāng)D∈面ABC內(nèi)時，顯然有AB⊥CD，當(dāng)D在而ABC外時，可證得AB⊥平面CDE，定有AB⊥CD．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE，因?yàn)锳DB是等邊三角形，所以DE⊥AB．當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，因?yàn)槠矫鍭DB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE由已知可得，則S△ABC=1，VD﹣ABC=××1=．（Ⅱ）當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動時，總有AB⊥CD．證明：（?。┊?dāng)D在平面ABC內(nèi)時，因?yàn)锳C=BC，AD=BD，所以C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD．（ⅱ）當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC=BC，所以AB⊥CE．又DE，CE為