高中數(shù)學(xué)北師大版第三章概率古典概型 2023版第3章2建立概率模型

建立概率模型1．進(jìn)一步掌握古典概型的概率計算公式．(重點)2．對于一個實際問題，嘗試建立不同的概率模型來解決．(重點、難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理概率模型閱讀教材P134～P137“思考交流”以上部分，完成下列問題．由概率模型認(rèn)識古典概型(1)一般來說，在建立概率模型時，把什么看作是一個基本事件是人為規(guī)定的．如果每次試驗有一個并且只有一個基本事件出現(xiàn)，只要基本事件的個數(shù)是有限的，并且它們的發(fā)生是等可能的，就是一個古典概型．(2)從不同的角度去考慮一個實際問題，可以將問題轉(zhuǎn)化為不同的古典概型來解決，而所得到的古典概型的所有可能的結(jié)果數(shù)越少，問題的解決就變得越簡單．(3)樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)古典概型中所有的基本事件的個數(shù)是有限個．()(2)樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法．()(3)在建立概率模型時，所得的結(jié)果越少，問題越復(fù)雜．()(4)計算基本事件總數(shù)和事件A所包含的基本事件的個數(shù)時，所選擇的觀察角度必須統(tǒng)一．()【解析】(1)√，由古典概型的特征知(1)正確．(2)√，用樹狀圖進(jìn)行列舉直觀形象．(3)×，結(jié)果越多問題就越復(fù)雜．(4)√，由古典概型的概率公式易知正確．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√[小組合作型]“有放回”與“不放回”的古典概型從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，連續(xù)取兩次.【導(dǎo)學(xué)號：63580037】(1)若每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率．【精彩點撥】利用列舉法列舉出所有可能出現(xiàn)的事件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．【自主解答】(1)每次取一件，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果為(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品．由6個基本事件組成，而且可以認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“取出的兩件中恰好有一件次品”這一事件，則A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件A由4個基本事件組成．因而P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其一切可能的結(jié)果為(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9個基本事件．由于每一件產(chǎn)品被取到的機會均等，因此可以認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用B表示“恰有一件次品”這一事件，則B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件B由4個基本事件組成，因而P(B)＝eq\f(4,9).1．“有放回”與“無放回”問題的區(qū)別在于：對于某一試驗，若采用“有放回”抽樣，則同一個個體可能被重復(fù)抽取，而采用“不放回”抽樣，則同一個個體不可能被重復(fù)抽?。?．無論是“有放回”還是“無放回”抽取，每一件產(chǎn)品被取出的機會都是均等的．[再練一題]1．一個袋子中有紅、白、藍(lán)三種顏色的球共24個，除顏色外其他特征完全相同，已知藍(lán)色球3個．若從袋子中隨機取出1個球，取到紅色球的概率是eq\f(1,6).(1)求紅色球的個數(shù)；(2)若將這三種顏色的球分別進(jìn)行編號，并將1號紅色球，1號白色球，2號藍(lán)色球和3號藍(lán)色球這四個球裝入另一個袋子中，甲乙兩人先后從這個袋子中各取一個球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的編號比乙大的概率．【解】(1)設(shè)紅色球有x個，依題意得eq\f(x,24)＝eq\f(1,6)，解得x＝4，∴紅色球有4個．(2)記“甲取出的球的編號比乙的大”為事件A，所有的基本事件有(紅1，白1)，(紅1，藍(lán)2)，(紅1，藍(lán)3)，(白1，紅1)，(白1，藍(lán)2)，(白1，藍(lán)3)，(藍(lán)2，紅1)，(藍(lán)2，白1)，(藍(lán)2，藍(lán)3)，(藍(lán)3，紅1)，(藍(lán)3，白1)，(藍(lán)3，藍(lán)2)，共12個．事件A包含的基本事件有(藍(lán)2，紅1)，(藍(lán)2，白1)，(藍(lán)3，紅1)，(藍(lán)3，白1)，(藍(lán)3，藍(lán)2)，共5個，∴P(A)＝eq\f(5,12).“有序”與“無序”問題將一顆骰子(它的六個面分別標(biāo)有點數(shù)1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次，觀察向上的點數(shù)．(1)求兩數(shù)之積是6的倍數(shù)的概率；(2)設(shè)第一次、第二次拋擲向上的點數(shù)分別為x，y，則logx2y＝1的概率是多少？【精彩點撥】列出一顆骰子先后拋擲兩次的36種結(jié)果，然后根據(jù)題目要求找出所求事件所包含的基本事件的個數(shù)即可．【自主解答】(1)此問題中含有36個等可能基本事件，記“向上的兩數(shù)之積是6的倍數(shù)”為事件A，則由圖①可知，事件A中含有其中的15個等可能基本事件，所以P(A)＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12)，即兩數(shù)之積是6的倍數(shù)的概率為eq\f(5,12).6612182430365510152025304481216202433691215182246810121123456積123456①(2)此問題中含有36個等可能基本事件，記“第一次，第二次拋擲向上的點數(shù)分別為x，y，且logx2y＝1”為事件B，則滿足logx2y＝1的x，y有(2,1)，(4,2)，(6,3)三種情況，所以P(B)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，即第一次、第二次拋擲向上的點數(shù)分別為x，y且滿足logx2y＝1的概率是eq\f(1,12).若問題與順序有關(guān)，則a1，a2與a2，a1為兩個不同的基本事件；若問題與順序無關(guān)，則a1，a2與a2，a1表示同一個基本事件.[再練一題]2．任意投擲兩枚質(zhì)地均勻，六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的骰子．(1)求出現(xiàn)的點數(shù)相同的概率；(2)求出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率．【解】(1)任意投擲兩枚骰子，由于骰子質(zhì)地均勻，因此可以看成是等可能事件．其結(jié)果可表示為數(shù)組(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中i，j分別表示兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，共有6×6＝36(種)，其中點數(shù)相同的數(shù)組為(i，i)(i＝1,2，…，6)，共有6種結(jié)果，故出現(xiàn)點數(shù)相同的概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)法一：出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)由數(shù)組(奇，偶)、(偶，奇)組成(如(1,2)，(2,3)等)．由于每枚骰子的點數(shù)中有3個偶數(shù)，3個奇數(shù)，因此出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的數(shù)組有3×3＋3×3＝18(個)，從而所求概率為eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).法二：由于每枚骰子的點數(shù)分奇、偶數(shù)各3個，而按第1枚、第2枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)順次寫時有(奇數(shù)，奇數(shù))、(奇數(shù)，偶數(shù))、(偶數(shù)，奇數(shù))、(偶數(shù)，偶數(shù))這四種等可能結(jié)果，因此出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).[探究共研型]建立概率模型探究1擲一粒均勻的骰子，若考慮向上的點數(shù)是多少，則這個隨機試驗的基本事件是什么？有多少個基本事件？其概率是多少？【提示】基本事件為出現(xiàn)1,2,3,4,5,6點，共6個基本事件，這6個基本事件出現(xiàn)的可能性相同．其概率都為eq\f(1,6).探究2擲一粒均勻的骰子，若考慮向上的點數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，則這個隨機試驗的基本事件是什么？有多少個基本事件？其概率是多少？【提示】基本事件為“向上的點數(shù)是奇數(shù)”和“向上的點數(shù)是偶數(shù)”，有2個基本事件，這兩個基本事件是等可能性的，所以發(fā)生的概率都為.探究3在古典概型中，同一個試驗中基本事件的個數(shù)是不是永遠(yuǎn)一定的呢？為什么？【提示】不一定，因為一般來說，在建立概率模型時，把什么看作是一個基本事件(即一個試驗的結(jié)果)是人為規(guī)定的．只要基本事件的個數(shù)是有限的，每次試驗只有一個基本事件出現(xiàn)，且發(fā)生是等可能的，就是一個古典概型．有A，B，C，D四位貴賓，應(yīng)分別坐在a，b，c，d四個席位上，現(xiàn)在這四人均未留意，在四個席位上隨便就座．(1)求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率；(3)求這四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．【思路點撥】用樹形圖表示所求事件的可能性，利用概率模型計算便可．【自主解答】將A，B，C，D四位貴賓就座情況用如圖所示的圖形表示出來．等可能基本事件共有24個．(1)設(shè)事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，則事件A只包含1個基本事件，所以P(A)＝eq\f(1,24).(2)設(shè)事件B為“這四人恰好都沒坐在自己的席位上”，則事件B包含9個基本事件，所以P(B)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).(3)設(shè)事件C為“這四人恰有一位坐在自己的席位上”，則事件C包含8個基本事件，所以P(C)＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).eq\x(A)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(B)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(C)—\x(D),,—\x(D)—\x(C))),—\x(C)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(B)—\x(D),—\x(D)—\x(B))),—\x(D)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(B)—\x(C),—\x(C)—\x(B)))))eq\x(B)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(C)—\x(D),,—\x(D)—\x(C))),—\x(C)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\x(D),—\x(D)—\x(A))),—\x(D)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\x(C),—\x(C)—\x(A)))))a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位eq\x(C)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(B)—\x(D),,—\x(D)—\x(B))),—\x(B)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\x(D),—\x(D)—\x(A))),—\x(D)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\x(B),—\x(B)—\x(A)))))eq\x(D)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(B)—\x(C),,—\x(C)—\x(B))),—\x(B)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\x(C),—\x(C)—\x(A))),—\x(C)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\x(B),—\x(B)—\x(A)))))a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位1．解答古典概型時，要抓住問題實質(zhì)，建立合適的模型，以簡化運算．2．本題屬于對號入座問題，情況較為復(fù)雜，所包含的基本事件較多，為清楚地列舉出所有可能的基本事件，可借助于樹形圖處理．[再練一題]3．甲、乙、丙、丁四名學(xué)生按任意次序站成一排，試求下列事件的概率．(1)甲在邊上；(2)甲和乙都在邊上；(3)甲和乙都不在邊上．【解】利用樹狀圖來列舉基本事件，如圖所示．由樹狀圖可看出共有24個基本事件．(1)甲在邊上有12種情形：(甲，乙，丙，丁),(甲，乙，丁，丙),(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙),(甲，丁，乙，丙),(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲),(乙，丁，丙，甲),(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲),(丁，乙，丙，甲),(丁，丙，乙，甲)，故甲在邊上的概率為P＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).(2)甲和乙都在邊上有4種情形：(甲，丙，丁，乙),(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲),(乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在邊上的概率為P＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).(3)甲和乙都不在邊上有4種情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙),(丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在邊上的概率為P＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).1．一個家庭有兩個小孩，則這兩個小孩性別不同的概率為()\f(3,4) B．eq\f(1,2)\f(1,3) \f(1,4)【解析】這兩個小孩的所有可能情況是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共4種，其中性別不同的有兩種，所以兩個小孩性別不同的概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).【答案】B2．一對年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲，讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張卡片隨機排成一行，若卡片按從左到右的順序排成“1314”，則孩子會得到父母的獎勵，那么孩子受到獎勵的概率為()\f(1,12) B．eq\f(5,12)\f(7,12) \f(5,6)【解析】由題意知基本事件個數(shù)有12個，滿足條件的基本事件個數(shù)就一個，故所求概率為P＝eq\f(1,12).【答案】A3．甲乙兩人隨意入住兩間空房，則兩人各住一間房的概率是_______