2017-2018版高中數學第一章導數及其應用1.4.1曲邊梯形面積與定積分（二）學案2-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1.4.1曲邊梯形面積與定積分(二)明目標、知重點1。了解定積分的概念，會用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3。掌握定積分的基本性質．定積分的概念、幾何意義及性質定積分概念定積分：設函數y＝f(x）定義在區(qū)間[a,b］上，用分點a＝x0〈x1<x2〈…xn－1〈xn＝b，把區(qū)間［a,b］分為n個小區(qū)間，其長度依次為Δxi＝xi＋1－xi，i＝0，1，2,…，n－1.記λ為這些小區(qū)間長度的最大者，當λ趨近于0時,所有的小區(qū)間長度都趨近于0，在每個區(qū)間內任取一點ξi，作和式In＝eq\i\su（i＝0，n－1，f)（ξi)Δxi.當λ→0時，如果和式的極限存在，我們把和式In的極限叫做函數f(x）在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作?eq\o\al（b,a）f（x)dx，即?eq\o\al（b,a）f（x）dx＝eq\o(lim,\s\do4(λ→0）)eq\i\su（i＝0，n－1，f)（ξi)Δxi。這里a與b分別叫作積分下限與積分上限，區(qū)間［a，b]叫做積分區(qū)間，函數f（x）叫做被積函數，x叫做積分變量，f（x）dx叫做被積式．幾何意義如果在區(qū)間[a,b］上函數f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0，那么定積分?eq\o\al(b，a）f（x）dx表示由直線x＝a,x＝b（a≠b），y＝0和曲線y＝f(x）所圍成的曲邊梯形的面積?；拘再|?eq\o\al（b，a）kf(x）dx＝k?eq\o\al（b，a）f（x）dx（k為常數）;?eq\o\al（b,a）［f1(x)±f2(x)]dx＝?eq\o\al（b，a）f1（x）dx±?eq\o\al(b，a）f2（x)dx；?eq\o\al(b,a)f（x）dx＝?eq\o\al（c，a)f（x）dx＋?eq\o\al（b,c)f（x)dx(其中a<c<b）。探究點一定積分的概念思考1分析求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程,找一下它們的共同點．答兩個問題均可以通過“分割、近似代替、求和、取極限"解決，都可以歸結為一個特定形式和的極限．思考2怎樣正確認識定積分?eq\o\al（b,a)f（x）dx？答(1)定積分?eq\o\al（b,a)f（x)dx是一個數值（極限值）．它的值僅取決于被積函數與積分上、下限,另外?eq\o\al(b,a)f(x）dx與積分區(qū)間[a,b]息息相關，不同的積分區(qū)間,所得值也不同．（2)定積分就是和的極限eq\o(lim,\s\do4(n→∞)）eq\i\su（i＝1，n,f）(ξi)·Δx，而?eq\o\al（b,a)f（x)dx只是這種極限的一種記號,讀作“函數f（x）從a到b的定積分"．（3）函數f(x）在區(qū)間［a，b]上連續(xù)這一條件是不能忽視的，它保證了和的極限(定積分）的存在（實際上,函數連續(xù)是定積分存在的充分條件，而不是必要條件)．例1利用定積分的定義，計算?eq\o\al(1,0)x3dx的值．解令f(x)＝x3.(1）分割在區(qū)間[0，1］上等間隔地插入n－1個分點，把區(qū)間［0,1]等分成n個小區(qū)間[eq\f(i－1,n),eq\f（i,n)］(i＝1，2，…，n),每個小區(qū)間的長度為Δx＝eq\f(i,n）－eq\f(i－1，n）＝eq\f（1，n）.（2）近似代替、求和取ξi＝eq\f（i，n）（i＝1,2，…,n），則?eq\o\al（1，0）x3dx≈Sn＝eq\o(∑,\s\up6（n），\s\do4（i＝1)）f(eq\f（i，n）)·Δx＝eq\o（∑，\s\up6(n）,\s\do4（i＝1))（eq\f（i,n））3·eq\f（1，n）＝eq\f（1，n4)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1））i3＝eq\f（1,n4）·eq\f（1，4）n2(n＋1)2＝eq\f（1,4）(1＋eq\f（1,n))2.(3)取極限?eq\o\al（1,0）x3dx＝eq\o（lim,\s\do4(n→∞))Sn＝eq\o（lim,\s\do4(n→∞)）eq\f(1，4)(1＋eq\f(1,n）)2＝eq\f（1，4）。反思與感悟（1)利用定積分定義求定積分的數值仍然是“分割、近似代替、求和、取極值"這一過程,需要注意的是在本題中將近似代替、求和一起作為步驟（2），從而省略了解題步驟．(2）從過程來看，當f(x)≥0時，定積分就是區(qū)間對應曲邊梯形的面積．跟蹤訓練1用定義計算?eq\o\al(2，1）(1＋x)dx.解(1）分割：將區(qū)間［1,2］等分成n個小區(qū)間eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1，n)，1＋\f(i，n）））(i＝1,2，…，n），每個小區(qū)間的長度為Δx＝eq\f（1，n）.(2）近似代替、求和：在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i，n))）上取點ξi＝1＋eq\f(i－1,n)（i＝1，2，…，n),于是f（ξi)＝1＋1＋eq\f（i－1，n）＝2＋eq\f(i－1,n），從而得eq\i\su(i＝1，n,f)(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1，n,)（2＋eq\f（i－1，n))·eq\f(1，n)＝eq\i\su（i＝1，n,)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2,n）＋\f(i－1，n2)))＝eq\f（2，n）·n＋eq\f(1，n2)[0＋1＋2＋…＋（n－1）]＝2＋eq\f(1,n2）·eq\f(nn－1,2)＝2＋eq\f（n－1,2n）.（3)取極限:S＝eq\o(lim，\s\do4（n→∞))eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2＋\f（n－1,2n))）＝2＋eq\f（1，2）＝eq\f（5，2）.因此?eq\o\al（2，1)(1＋x）dx＝eq\f(5,2）.探究點二定積分的幾何意義思考1從幾何上看，如果在區(qū)間[a，b]上函數f（x）連續(xù)且恒有f(x）≥0，那么?eq\o\al（b,a）f（x)dx表示什么？答當函數f(x）≥0時，定積分?eq\o\al（b，a)f（x)dx在幾何上表示由直線x＝a，x＝b（a<b)，y＝0及曲線y＝f（x）所圍成的曲邊梯形的面積．思考2當f(x）在區(qū)間［a，b]上連續(xù)且恒有f(x）≤0時，?eq\o\al(b，a）f（x）dx表示的含義是什么?若f(x）有正有負呢?答如果在區(qū)間［a，b]上，函數f(x)≤0時，那么曲邊梯形位于x軸的下方（如圖①）．由于eq\f(b－a，n）〉0,f(ξi)≤0，故f(ξi）eq\f(b－a,n）≤0.從而定積分?eq\o\al（b,a）f(x)dx≤0,這時它等于如圖①所示曲邊梯形面積的相反值,即?eq\o\al(b，a)f（x）dx＝－S.當f（x）在區(qū)間［a，b]上有正有負時,定積分?eq\o\al（b,a）f(x）dx表示介于x軸、函數f（x）的圖象及直線x＝a，x＝b（a≠b)之間各部分面積的代數和(在x軸上方的取正，在x軸下方的取負)．（如圖②），即?eq\o\al(b,a)f(x）dx＝－S1＋S2－S3.例2用定積分的幾何意義求：（1)eq\i\in（0,1,)（3x＋2)dx；（2)(3）eq\i\in（－3,3,）（|x＋1|＋|x－1｜－4)dx；（4)eq\i\in（a，b,）eq\r（x－ab－x）dx(b>a）．解(1）如圖1陰影部分面積為eq\f(2＋5×1，2）＝eq\f（7,2)，從而eq\i\in（0,1,）（3x＋2）dx＝eq\f（7,2）。(2）如圖2，由于A的面積等于B的面積，從而＝0.（3)令f(x）＝|x＋1｜＋|x－1|－4，作出f（x）在區(qū)間[－3，3]上的圖象,如圖3所示，易知定積分eq\i\in(，3，）－3f(x)dx表示的就是圖中陰影部分的面積的代數和．∵陰影部分的面積S1＝S3＝1，S2＝6，∴eq\i\in(－3,3，)（|x＋1|＋|x－1｜－4)dx＝1＋1－6＝－4。（4)令y＝f(x)＝eq\r(x－ab－x），則有(x－eq\f(a＋b,2））2＋y2＝（eq\f(b－a，2))2（y≥0），f(x)表示以（eq\f(a＋b,2)，0）為圓心，半徑為eq\f（b－a,2)的上半圓，而這個上半圓的面積為S＝eq\f（1,2）πr2＝eq\f（π,2)（eq\f（b－a，2))2＝eq\f（πb－a2,8），由定積分的幾何意義可知eq\i\in(a,b,)eq\r(x－ab－x）dx＝eq\f(πb－a2，8）.反思與感悟利用幾何意義求定積分，關鍵是準確確定被積函數的圖象，以及積分區(qū)間,正確利用相關的幾何知識求面積．不規(guī)則的圖象常用分割法求面積，注意分割點的準確確定．跟蹤訓練2利用幾何意義計算下列定積分：(1)?eq\o\al（3，－3）eq\r（9－x2)dx；（2)?eq\o\al（3,－1）（3x＋1)dx。解(1)在平面上y＝eq\r（9－x2)表示的幾何圖形為以原點為圓心以3為半徑的上半圓，其面積為S＝eq\f(1,2)·π·32.由定積分的幾何意義知?eq\o\al（3,－3)eq\r（9－x2)dx＝eq\f（9,2）π.（2)由直線x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所圍成的圖形，如圖所示：?eq\o\al(3,－1）（3x＋1）dx表示由直線x＝－1，x＝3,y＝0以及y＝3x＋1所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積，∴?eq\o\al(3,－1)（3x＋1）dx＝eq\f（1,2)×(3＋eq\f(1，3)）×(3×3＋1）－eq\f（1，2）(－eq\f(1,3)＋1）×2＝eq\f(50，3）－eq\f(2,3)＝16.探究點三定積分的性質思考1定積分的性質可作哪些推廣？答定積分的性質的推廣①?eq\o\al(b,a)［f1（x）±f2(x）±…±fn（x)]dx＝?eq\o\al（b,a）f1(x）dx±?eq\o\al（b，a)f2（x）dx±…±?eq\o\al（b,a）fn(x)dx；②?eq\o\al（b,a)f（x）dx＝?c1af(x）dx＋?c2c1f(x）dx＋…＋?bcnf(x）dx（其中n∈N＋）．思考2如果一個函數具有奇偶性，它的定積分有什么性質？答奇、偶函數在區(qū)間［－a，a]上的定積分①若奇函數y＝f(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)不斷，則?eq\o\al(a，－a)f(x)dx＝0.②若偶函數y＝g(x)的圖象在[－a，a］上連續(xù)不斷，則?eq\o\al(a，－a)g(x)dx＝2?eq\o\al（a，0)g（x)dx。例3計算?eq\o\al(3,－3)（eq\r（9－x2)－x3)dx的值．解如圖，由定積分的幾何意義得?eq\o\al（3，－3)eq\r（9－x2)dx＝eq\f(π×32,2）＝eq\f（9π,2），?eq\o\al(3,－3）x3dx＝0，由定積分性質得?eq\o\al(3，－3)（eq\r(9－x2）－x3）dx＝?eq\o\al（3，－3)eq\r（9－x2）dx－?eq\o\al(3,－3）x3dx＝eq\f（9π，2）。反思與感悟根據定積分的性質計算定積分，可以先借助于定積分的定義或幾何意義求出相關函數的定積分，再利用函數的性質、定積分的性質結合圖形進行計算．跟蹤訓練3已知?eq\o\al(1,0）x3dx＝eq\f(1,4），?eq\o\al（2，1)x3dx＝eq\f(15，4)，?eq\o\al(2,1)x2dx＝eq\f（7，3），?eq\o\al(4,2）x2dx＝eq\f(56，3),求:(1）?eq\o\al（2，0）3x3dx；（2)?eq\o\al(4，1)6x2dx；（3）?eq\o\al（2，1)（3x2－2x3)dx。解(1）?eq\o\al(2，0）3x3dx＝3?eq\o\al(2,0）x3dx＝3（?eq\o\al(1，0）x3dx＋?eq\o\al(2,1)x3dx)＝3×(eq\f(1,4）＋eq\f（15,4）)＝12；(2）?eq\o\al(4,1)6x2dx＝6?eq\o\al（4，1)x2dx＝6(?eq\o\al(2，1)x2dx＋?eq\o\al（4，2)x2dx）＝6×（eq\f（7，3)＋eq\f(56,3））＝126;(3)?eq\o\al(2，1）(3x2－2x3)dx＝?eq\o\al(2,1)3x2dx－?eq\o\al（2，1）2x3dx＝3?eq\o\al（2，1)x2dx－2?eq\o\al（2，1）x3dx＝3×eq\f（7,3）－2×eq\f（15，4)＝7－eq\f(15，2）＝－eq\f（1,2）.1．下列結論中成立的個數是()①?eq\o\al（1，0)x3dx＝eq\i\su（i＝1,n,）eq\f(i3,n3）·eq\f(1，n)；②?eq\o\al（1，0)x3dx＝eq\o（lim,\s\do4(n＋∞））eq\i\su（i＝1,n，)eq\f(i－13,n3)·eq\f（1，n）；③?eq\o\al（1，0)x3dx＝eq\o（lim,\s\do4（n＋∞))eq\i\su(i＝1，n，)eq\f(i3,n3）·eq\f（1，n)。A．0B．1C．2D．3答案C解析②③成立．2．定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx的大?。?A．與f（x)和積分區(qū)間[a,b]有關，與ξi的取法無關B．與f(x）有關,與區(qū)間[a，b］以及ξi的取法無關C．與f(x)以及ξi的取法有關,與區(qū)間[a，b]無關D．與f（x)、積分區(qū)間[a,b]和ξi的取法都有關答案A3．根據定積分的幾何意義,用不等號連接下列式子:①?eq\o\al（1，0）xdx________?eq\o\al（1,0）x2dx；②?eq\o