階段質(zhì)量檢測(cè)(二)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

第1頁 共9頁階段質(zhì)量檢測(cè)（二） 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．直線l與平面α不平行，則()A．l與α相交B．l?αC．l與α相交或l?αD．以上結(jié)論都不對(duì)解析：選C直線與平面的位置關(guān)系有：直線在平面內(nèi)、直線與平面平行、直線與平面相交．因?yàn)橹本€l與平面α不平行，所以l與α相交或l?α.2．若直線a與平面α不垂直，則平面α內(nèi)與直線a垂直的直線有()A．0條B．1條C．無數(shù)條D．不確定解析：選C若直線a與平面α不垂直，則當(dāng)直線a∥平面α?xí)r，平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線a是異面垂直直線；當(dāng)直線a?平面α?xí)r，在平面α內(nèi)有無數(shù)條平行直線與直線a相交且垂直；當(dāng)直線a與平面α相交但不垂直時(shí)，在平面α內(nèi)有無數(shù)條平行直線與直線a垂直．所以，若直線a與平面α不垂直，則在平面α內(nèi)與直線a垂直的直線有無數(shù)條．3．(廣東高考)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交解析：選D 由直線l1和l2是異面直線可知 l1與l2不平行，故 l1，l2中至少有一條與 l相交．4．已知直線 m，n是異面直線，則過直線 n且與直線 m垂直的平面( )A．有且只有一個(gè) B．至多有一個(gè)C．有一個(gè)或無數(shù)多個(gè) D．不存在解析：選B 當(dāng)異面直線互相垂直時(shí)滿足條件的平面有 1個(gè)，當(dāng)異面直線互相不垂直時(shí)滿足條件的平面有 0個(gè)．故選 B.5．已知PA⊥矩形ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是 ( )第2頁 共9頁A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD解析：選C 如圖所示，由于 PA⊥平面ABCD，且底面 ABCD為矩形，所以PA⊥BD(即D正確)，BC⊥PA，BC⊥BA，而PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB(即A正確)．同理PD⊥CD(即B正確)，PD與BD不垂直，所以C不正確．6.如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D為A1B1的中點(diǎn)，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝25，則異面直線BD與AC所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：選C如圖，取B1C1的中點(diǎn)E，連接BE，DE，則∥ACA1C1∥DE，則∠BDE即為異面直線BD與AC所成的角．由條件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故選C.7.如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是A．A，M，O三點(diǎn)共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面

B1D1的中點(diǎn)，直( )解析：選A連接A11，AC，則11∥，所以A，C，C1，A1CACAC四點(diǎn)共面，所以A1C?面11因?yàn)椤?C，所以M∈面11，ACCA.MAACCA又M∈面AB11，所以M在平面ACC11與平面AB11的交線上，同理DADO在面1A1與面AB11的交線上，所以A，M，O三點(diǎn)共線，故選A.ACCD8．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 lD．α與β相交，且交線平行于 l第3頁 共9頁解析：選D由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，則交線平行于l，故選D.9．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有以下四個(gè)命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確的兩個(gè)命題是()A．①②B．③④C．②④D．①③解析：選D若α∥β，l⊥α，則l⊥β，又m?β，所以l⊥m，故①正確；若α⊥β，l⊥α，m?β，則l與m可能異面，所以②不正確；若l∥m，l⊥α，則m⊥α，又m?β，則α⊥β，所以③正確；若l⊥α，l⊥m，m?β，則α與β可能相交，故④不正確．綜上可知，選D.10.如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出五個(gè)結(jié)論：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析：選C顯然OM∥PD，又PD?平面PCD，PD?平面PDA.∴OM∥平面PCD，OM∥平面

PDA.∴①②③正確．11．異面直線 a，b所成的角為 60°，直線a⊥c，則直線b與c所成的角的范圍為 ( )A．[30°，90°] B．[60°，90°]C．[30°，60°] D．[30°，120°]解析：選A 異面直線 a，b所成的角為 60°，直線c⊥a，過空間任一點(diǎn) P，作直線 a′∥a，b′∥b，c′∥c.若a′，b′，c′共面，則 b′與c′成30°角，否則b′與c′所成的角的范圍為(30°，90°]，所以直線 b與c所成角的范圍為 [30°，90°]．12．把正方形 ABCD沿對(duì)角線 AC折起，當(dāng)以 A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線 BD和平面ABC所成的角的大小為 ( )A．90°C．45°

B．60°D．30°解析：選

C

當(dāng)三棱錐

D-ABC

體積最大時(shí)，平面

DAC⊥平面ABC，取

AC

的中點(diǎn)

O，則第4頁 共9頁△DBO是等腰直角三角形，即∠ DBO＝45°.二、填空題(本大題共 4小題，每小題 5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上 )13.如圖所示，在正方體 ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面對(duì)角線 AB1，BC1上分別有一點(diǎn)E，F(xiàn)，且B1E＝C1F，則直線EF與平面ABCD的位置關(guān)系是________．B1E B1G解析：過點(diǎn)E作EG∥AB，交BB1于點(diǎn)G，連接 GF，則B1A＝B1B.∵B1E＝C1F，B1A＝C1F B1GC1B，∴C1B＝B1B，∴FG∥B1C1∥BC.又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD.又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD.答案：平行14．已知a，b表示直線，α，β，γ表示平面．①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β；②若a?α，a垂直于β內(nèi)任意一條直線，則 α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，則a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α∥β.上述命題中，正確命題的序號(hào)是 ________．解析：對(duì)①可舉反例，如圖，需b⊥β才能推出 α⊥β；對(duì)③可舉反例說明，當(dāng)γ不與α，β的交線垂直時(shí)，即可知 a，b不垂直；根據(jù)面面、線面垂直的定義與判定知②④正確．答案：②④15.如圖，四面體 P-ABC中，PA＝PB＝ 13，平面 PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，則PC＝________.解析：取AB的中點(diǎn)E，連接PE.∵PA＝PB，∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC.連接CE，∴PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝27，PE＝ PA2－AE2＝ 6，第5頁 共9頁CE＝ BE2＋BC2＝ 43，PC＝ PE2＋CE2＝7.答案：716.如圖所示，直線 a∥平面α，點(diǎn)A在α另一側(cè)，點(diǎn) B，C，D∈a，線段AB，AC，AD分別交α于點(diǎn)E，F(xiàn)，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，則EG＝________.解析：A?a，則點(diǎn)A與直線a確定一個(gè)平面，即平面ABD.因?yàn)閍∥α，且AFAEEGAEAFEGα∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG，所以AC＝AB.又BD＝AB，所以AC＝BD.于是·5×420AFBDEG＝AC＝5＋4＝9.20答案：9三、簡(jiǎn)答題(本大題共 6小題，共 70分，解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分 10分)在空間四邊形 ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，GCF CG 2分別是BC，CD上的點(diǎn)，且CB＝CD＝3.求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；三條直線EF，GH，AC交于一點(diǎn)．證明：(1)在△ABD中，E，H分別是AB和AD的中點(diǎn)，1∴EH綊2BD.CFCG22在△CBD中，CB＝CD＝3，∴FG綊3BD.∴EH∥FG.∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)由(1)可知，EH∥FG，且EH≠FG，所以它們的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn) P.∵AC是平面ABC和平面ADC的交線，EF?平面ABC，GH?平面ADC，平面ABC∩平面ADC＝P，∴由公理3知P∈AC.∴三條直線EF，GH，AC交于一點(diǎn)．18．(本小題滿分 12分)如圖1所示的等邊△ ABC的邊長(zhǎng)為 2a，CD是AB邊上的高，E，第6頁 共9頁F分別是AC，BC邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將△ ABC沿CD折疊，使平面 ADC⊥平面BDC，如圖2所示．試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求四面體 A-DBC的外接球體積與四棱錐 D-ABFE的體積之比．解：(1)∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，∴AB∥EF，∵AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)以DA，DB，DC為棱補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體， 則四面體 A-DBC的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球．2222252設(shè)球的半徑為R，則a＋a＋3a＝(2R)，∴R＝4a，于是球的體積V1＝4πR3＝55πa3.36又VA-BDC＝1△·＝33，3SBDCAD6aVE-DFC＝1△133，3SDFC·2AD＝24aV1＝V12015π∴＝9.VD-ABFEVA-BDC－VE-DFC19.(本小題滿分12分)如圖，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.證明：BC∥平面PDA；證明：BC⊥PD.證明：(1)∵在長(zhǎng)方形ABCD中，BC∥AD，BC?平面PDA，AD?平面PDA，∴BC∥平面PDA.(2)取CD的中點(diǎn)H，連接PH.∵PD＝PC，第7頁 共9頁∴PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH?平面PDC，∴PH⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，∴PH⊥BC.∵在長(zhǎng)方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，∴BC⊥平面PDC.又PD?平面PDC，∴BC⊥PD.20.(本小題滿分12分)如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.(1)求證：C1C⊥BD.CD(2)當(dāng)CC1的值為多少時(shí)，可使 A1C⊥平面C1BD?解：(1)證明：連接 A1C1，AC，設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，連接C1O.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD.又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C是公共邊，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D.∵DO＝OB，∴C1O⊥BD.又∵AC∩C1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1.又∵C1C?平面ACC1A1，∴C1C⊥BD.(2)由(1)知BD⊥平面AC1.∵A1C?平面ACC1A1，∴BD⊥A1C.當(dāng)CD＝1時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形．CC1同理可證 BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD.第8頁 共9頁21.(本小題滿分 12分)如圖所示，在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1中，AB2，BB1＝BC＝1，E為D1C1的中點(diǎn)，連接ED，EC，EB和DB.求證：平面EDB⊥平面EBC；求二面角E-DB-C的正切值．解：(1)證明：在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E為D1C1的中點(diǎn)．所以△DD1E為等腰直角三角形，∠ D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE?平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因?yàn)镈E?平面DEB，所以平面 DEB⊥平面EBC.如圖所示，過E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)槠矫?ABCD⊥平面D1DCC1，所以EO⊥面ABCD.過O在平面DBC中作OF⊥DB于F，連接EF，所以EF⊥BD.∠EFO為二面角E-DB-C的平面角．利用平面幾何知識(shí)可得

OF＝

1

，5又OE＝1，所以tan∠EFO＝5.22．(本小題滿分12分)(浙江高考)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝9