第七節(jié)高階線性微分方程

第十二章第七節(jié)高階線性微分方程解的結構二、線性齊次方程解的結構三、線性非齊次方程解的結構*四、常數變易法一、二階線性微分方程舉例應用數學教研室趙惠文一、二階線性微分方程舉例當重力與彈性力抵消時,物體處于平衡狀態(tài),例1.質量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復運動,解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖.設時刻t物位移為x(t).(1)自由振動情況.彈性恢復力物體所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移滿足的微分方程.應用數學教研室趙惠文據牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動方程:阻力(2)強迫振動情況.若物體在運動過程中還受鉛直外力則得強迫振動方程:應用數學教研室趙惠文求電容器兩兩極板間電壓例2.

聯組成的電路,其中R,L,C為常數,所滿足的微分方程.提示:設電路中電流為i(t),～~‖上的電量為q(t),自感電動勢為由電學知根據回路電壓定律:設有一個電阻R,自感L,電容C和電源E串極板在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0應用數學教研室趙惠文串聯電路的振蕩方程:如果電容器充電后撤去電源(E=0),則得~‖化為關于的方程:故有應用數學教研室趙惠文n階線性微分方程的一般形式為方程的共性

為二階線性微分方程.例1例2—可歸結為同一形式:時,稱為非齊次方程;時,稱為齊次方程.復習:一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y應用數學教研室趙惠文證畢二、線性齊次方程解的結構是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.應用數學教研室趙惠文說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數的線性相關與線性無關概念.應用數學教研室趙惠文定義:是定義在區(qū)間I上的

n個函數,使得則稱這n個函數在I

上線性相關,否則稱為線性無關.例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I上都線性相關;又如，若在某區(qū)間I上則根據二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區(qū)間I上都線性無關.若存在不全為0的常數應用數學教研室趙惠文兩個函數在區(qū)間I上線性相關與線性無關的充要條件:線性相關存在不全為0的使(無妨設線性無關常數思考:中有一個恒為0,則必線性相關(證明略)線性無關應用數學教研室趙惠文定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解,則數)是該方程的通解.例如,方程有特解且常數,故方程的通解為(自證)

推論.是n階齊次方程的n個線性無關解,則方程的通解為應用數學教研室趙惠文三、線性非齊次方程解的結構是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:將代入方程①左端,得②①應用數學教研室趙惠文是非齊次方程的解,又Y中含有兩個獨立任意常數,例如,方程有特解對應齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.應用數學教研室趙惠文定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)

定理3,定理4均可推廣到n階線性非齊次方程.應用數學教研室趙惠文定理5.是對應齊次方程的n個線性無關特解,給定n階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解應用數學教研室趙惠文常數,則該方程的通解是().設線性無關函數都是二階非齊次線性方程的解,是任意例3.提示:都是對應齊次方程的解,二者線性無關.(反證法可證)(89考研)應用數學教研室趙惠文例4.已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應齊次方程的解,且常數因而線性無關,故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三應用數學教研室趙惠文*四、常數變易法復習:常數變易法:對應齊次方程的通解:設非齊次方程的解為代入原方程確定對二階非齊次方程情形1.已知對應齊次方程通解:設③的解為③由于有兩個待定函數,所以要建立兩個方程:④應用數學教研室趙惠文⑤令于是將以上結果代入方程①:得⑥故⑤,⑥的系數行列式是對應齊次方程的解應用數學教研室趙惠文積分得:代入③即得非齊次方程的通解:于是得說明:將③的解設為只有一個必須滿足的條件即方程③,因此必需再附加一個條件,方程⑤的引入是為了簡化計算.應用數學教研室趙惠文情形2.僅知③的齊次方程的一個非零特解代入③化簡得設其通解為積分得(一階線性方程)由此得原方程③的通解:應用數學教研室趙惠文例5.的通解為的通解.解:將所給方程化為:已知齊次方程求利用⑤,⑥建立方程組:積分得故所求通解為應用數學教研室趙惠文例6.的通解.解:對應齊次方程為由觀察可知它有特解:令代入非齊次方程后化簡得此題不需再作變換.特征根:設⑦的特解為