第2章2.1,2.2地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1

第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本章教學(xué)基本內(nèi)容地圖的控制網(wǎng)、坐標(biāo)系地圖投影的定義、分類地圖常見的投影及應(yīng)用地圖投影的判別、選擇、變換地圖比例尺、、定向、分幅與編碼1、地球的自然表面

為了了解地球的形狀，讓我們由遠(yuǎn)及近，地觀察一下地球的自然表面?！?.1地球橢球體與大地控制2.1.1地球橢球體浩瀚宇宙之中:

地球是一個(gè)表面光滑、藍(lán)色美麗的正球體。事實(shí)是：

地球不是一個(gè)正球體，而是一個(gè)極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。2、大地水準(zhǔn)面與大地體

當(dāng)海洋靜止時(shí)，自由水面與該面上各點(diǎn)的重力方向（鉛垂線）成正交，這個(gè)面叫水準(zhǔn)面。

在眾多的水準(zhǔn)面中，有一個(gè)與靜止的平均海水面相重合，并假想其穿過大陸、島嶼形成一個(gè)閉合曲面，這就是大地水準(zhǔn)面。它實(shí)際是一個(gè)起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包圍的形體稱為大地體。

大地水準(zhǔn)面的意義：1）地球形體的一級逼近 對地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當(dāng)。2）起伏波動(dòng)在制圖學(xué)中可忽略：

對大地測量和地球物理學(xué)有研究價(jià)值，但在制圖業(yè)務(wù)中，均把地球當(dāng)作正球體。3）重力等位面： 可使用儀器測得海拔高程（某點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的高度）。3、橢球體、正球體、參考橢球體在測量和制圖中就用旋轉(zhuǎn)橢球體來代替大地球體，這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱為地球橢球體，簡稱橢球體。

它是一個(gè)規(guī)則的數(shù)學(xué)表面，所以人們視其為地球體的數(shù)學(xué)表面，也是對地球形體的二級逼近，用于測量計(jì)算的基準(zhǔn)面。

橢球體

三要素:

長軸a（赤道半徑）、短軸b（極半徑）和橢球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f對

a，b，f

的具體測定就是近代大地測量的一項(xiàng)重要工作。

對地球形狀a，b，f

測定后，還必須確定大地水準(zhǔn)面與橢球體面的相對關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準(zhǔn)面符合最好的一個(gè)地球橢球體——參考橢球體，這項(xiàng)工作就是參考橢球體定位。

通過數(shù)學(xué)方法將地球橢球體擺到與大地水準(zhǔn)面最貼近的位置上，并求出兩者各點(diǎn)間的偏差，從數(shù)學(xué)上給出對地球形狀的三

級逼近。

由于國際上在推求年代、方法及測定的地區(qū)不同，故地球橢球體的元素值有很多種。

地球表面上的定位問題，是與人類的生產(chǎn)活動(dòng)、科學(xué)研究及軍事國防等密切相關(guān)的重大問題。具體而言，就是球面坐標(biāo)系統(tǒng)的建立。2.1.2大地控制

一、地理坐標(biāo)與大地坐標(biāo)系1、地理坐標(biāo)系

——用經(jīng)緯度表示地面點(diǎn)位的球面坐標(biāo)。①天文經(jīng)緯度②大地經(jīng)緯度③地心經(jīng)緯度①

天文經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在大地水準(zhǔn)面上的位置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。天文經(jīng)度λ：觀測點(diǎn)天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測點(diǎn)之間的兩面角。天文緯度φ：在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。②

大地經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在參考橢球面上的位置，用大地經(jīng)度l

、大地緯度

和大地高h(yuǎn)

表示。大地經(jīng)度

B：指參考橢球面上某點(diǎn)的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)。大地緯度L：指參考橢球面上某點(diǎn)的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負(fù)。③

地心經(jīng)緯度：即以地球橢球體質(zhì)量中心為基點(diǎn)，地心經(jīng)度同大地經(jīng)度l

，地心緯度是指參考橢球面上某點(diǎn)和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y

。

在大地測量學(xué)中，常以天文經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。在地圖學(xué)中，以大地經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。在地理學(xué)研究及地圖學(xué)的小比例尺制圖中，通常將橢球體當(dāng)成正球體看，采用地心經(jīng)緯度。地心坐標(biāo)系與參心坐標(biāo)系的區(qū)別原點(diǎn)定義以地球質(zhì)心（總地球橢球體中心）為原點(diǎn)的坐標(biāo)系以參考橢球體中心為原點(diǎn)的坐標(biāo)系橢球定位總地球橢球體中心與地球質(zhì)心重合總地球橢球面與全球大地水準(zhǔn)面差距的平方和最小參考橢球體中心與地球質(zhì)心不重合參考橢球面與區(qū)域大地水準(zhǔn)面差距的平方和最小橢球定向橢球短軸與地球自轉(zhuǎn)軸重合橢球短軸與地球自轉(zhuǎn)軸平行適用范圍全球測圖區(qū)域（國家）測圖實(shí)例WGS84坐標(biāo)系、2000國家大地坐標(biāo)系,天文地理坐標(biāo)系1954年北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系2、中國的大地坐標(biāo)系統(tǒng)1）80西安坐標(biāo)系

80西安坐標(biāo)系選用1975年國際大地測量協(xié)會(huì)推薦的參考橢球：ICA-75橢球參數(shù)

a=6378140m

b=6356755m

f=1/298.2572）2000國家大地坐標(biāo)系（地心）

2008年3月，由國土資源部正式上報(bào)國務(wù)院《關(guān)于中國采用2000國家大地坐標(biāo)系的請示》，并于2008年4月獲得國務(wù)院批準(zhǔn)。自2008年7月1日起，中國將全面啟用2000國家大地坐標(biāo)系

采用的地球橢球參數(shù)如下：

長半軸a＝6378137m扁率f＝1/298.257222101地心引力常數(shù)GM＝3.986004418×1014m3s-2自轉(zhuǎn)角速度ω＝7.292l15×10-5rads-1

二、高程系中國56年黃海高程系高程起算面是黃海平均海水面。1956年在青島觀象山設(shè)立了水準(zhǔn)原點(diǎn)，其他各控制點(diǎn)的絕對高程均是據(jù)此推

算，稱為56年黃海高程系。1987年國家測繪局公布：啟用《1985國家高程基準(zhǔn)》取代《黃海平均海水面》命名為85高程基準(zhǔn)，高程原點(diǎn)也是青島觀象山設(shè)立的水準(zhǔn)原點(diǎn)。

青島觀象山水準(zhǔn)原點(diǎn)三、大地控制網(wǎng)平面控制網(wǎng)

:按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定地理坐標(biāo)的地面點(diǎn)組成，由三角測量或?qū)Ь€測量完成，依精度不同，分為四等。

由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成，控制點(diǎn)遍布全國各地。等級邊長分布密度分布方向一等三角鎖20~25km鎖與鎖間距200km沿經(jīng)緯線分布二等三角網(wǎng)13km150km2有一控制點(diǎn)（1：10萬，1：5萬》3點(diǎn)）在一等加密三等三角網(wǎng)8km50km2有一控制點(diǎn)（1：5萬2~3點(diǎn)）在二等加密四等三角網(wǎng)4km20km2有一控制點(diǎn)（1：1萬~2點(diǎn)）在三等加密

高程控制網(wǎng)

:

按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定高程的地面點(diǎn)組成，以水準(zhǔn)測量或三角高程測量完成。依精度不同，分為四等。2.1.3地球橢球體的基本公式一、子午面曲率半徑，卯酉圈曲率半徑，平均曲率半徑和緯圈半徑

過橢球表面上任一A點(diǎn)作法線AL通過法線的平面所截成的截面叫做法截面。

過A點(diǎn)的法線AL同時(shí)又通過橢球體旋轉(zhuǎn)軸PP的法截面稱子午圈截面。

子午圈曲率半徑M（所有截面曲率半徑最小值） M=a（1-e2）/（1-e2

sin2φ）3/2

垂直于子午面胡截面稱卯酉面，卯酉圈曲率半徑N（所有截面曲率半徑最大值）N=a/（1-e2

sin2φ）1/2

緯度圈半徑rr=Ncosφ=acosφ/（1-e2

sin2φ）1/2二、地球的球體半徑

等面積球體半徑R=6371116m

等體積球體半徑R=6371110m三、子午線弧長和緯線弧長

緯線弧長：令φA=0，φB=φ則可得到赤道到緯度為φ的緯線間子午線弧長S：其中:如圖有無窮小梯形ABCD，其邊長是子午圈和平行圈的弧長：AB=CD=M

dφBC≈AD=rdλ四、地球橢球體表面上的梯形面積計(jì)算§2.2地圖投影的概述2.2.1、地圖投影的科學(xué)概念

1、地圖投影的基本概念指使地圖上各種地理要素與相應(yīng)的地面景物之間保持一定對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。包括：經(jīng)緯網(wǎng)、坐標(biāo)網(wǎng)、大地控制點(diǎn)、比例尺等。解決兩個(gè)矛盾：

球面與平面之間的矛盾

大與小的矛盾

沿經(jīng)線直接展開?沿緯線直接展開?沿經(jīng)線直接展開?

可見,地球橢球面是不可展開的面.無論如何展開都會(huì)產(chǎn)生褶皺,拉伸或斷裂等無規(guī)律變形,無法繪制科學(xué),準(zhǔn)確的地圖.因此解決球面與平面之間的矛盾——

將地球橢球面上的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成平面上的點(diǎn)。大與小的矛盾——地圖投影比例尺地圖投影定義：研究解決把地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)繪到平面上的方法及其變形的科學(xué)問題。2、投影方式

1）平行投影平行投影

2）透視投影

透視投影3）廣義投影廣義投影3、地圖投影實(shí)質(zhì)

建立平面上的點(diǎn)（用平面直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)表示）和地球表面上的點(diǎn)（用緯度和經(jīng)度表示）之間的函數(shù)關(guān)系，用數(shù)學(xué)式表達(dá)這種關(guān)系，就是：

2.2.2變形橢圓

一、投影變形的概念

1、投影變形產(chǎn)生原因——地球的形狀圖4-82、投影變形的概念

地圖投影不能保持平面與球面之間在長度（距離）、角度（形狀）、面積等方面完全不變。地球儀上經(jīng)緯線網(wǎng)格和地圖上比較:

幾種不同投影的經(jīng)緯線形狀球面經(jīng)緯網(wǎng)經(jīng)過投影之后，其幾何特征受到扭曲——地圖投影變形：長度（距離）、角度（形狀）、面積。二、變形橢圓

取地面上一個(gè)微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當(dāng)作平面看待），它投影到平面上通常會(huì)變?yōu)闄E圓，通過對這個(gè)橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。為經(jīng)線長度比為緯線長度比代入：X2+Y2=1，得微小圓→變形橢圓

該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會(huì)變?yōu)闄E圓，即

以O(shè)'為原點(diǎn)，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標(biāo)軸的橢圓方程式。主方向（底索定律）：無論采用何種轉(zhuǎn)換方法，球面上每一點(diǎn)至少有一對正交方向線，在投影平面上仍然保持其正交關(guān)系”。在投影后仍保持正交的一對線的方向成為主方向。取主方向?yàn)樽鳛槲⒎謾E圓的坐標(biāo)

長軸方向（極大值）a

短軸方向（極小值）b經(jīng)線方向m

；緯線方向n據(jù)阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b主方向特殊方向通過變形橢圓形狀顯示變形特征結(jié)論：微分橢圓長、短半軸的大小，等于該點(diǎn)主方向的長度比。也就是說，如果一點(diǎn)上主方向的長度比（極值長度比）已經(jīng)確定，則微分橢圓的大小和形狀即可確定。通過變形橢圓顯示變形特征2.2.3投影變形的性質(zhì)和大小

1、長度比和長度變形：

投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮?。┲?。

m表示長度比，Vm表示長度變形

長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。=0不變>0變大<0變小2、面積比和面積變形

投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應(yīng)的微小面積（微小圓面積）dF之比。

P

表示面積比

Vp

表示面積變形

P=a·b=m

·

n(=90)（主方向和經(jīng)向緯向一致）

P=m

·

n

·sin(

≠90)（阿波隆尼定理）

面積比是變量，隨位置的不同而變化。=0不變>0變大<0變小

3、角度變形

投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以ω表示角度最大變形。

最大角度變形可用極值長度比a,b表示長度變形是各種變形的基礎(chǔ)！2.2.3投影的分類

一、按地圖投影的變形性質(zhì)分類

1、等角投影:

投影面上某點(diǎn)的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零ω=0（或a=b，m=n）。

微分圓——正圓a=b不同點(diǎn)上長度比大小不同a=b=m=nP=ab=mn等角投影面積變形大，角度不變。適用于交通圖，洋流圖，風(fēng)向圖等

2.2.3投影的分類

2、等積投影:

投影面與橢球面上相應(yīng)區(qū)域的面積相等，即面積變形為零Vp=0（或

P=1，a=1/b）。面狀地物輪廓投影后面積不變。

ab=1長軸越長——短軸越短

在等積投影上以破壞圖形的相似性來保持面積上的相等。因此，角度變形最大。

適用于面積精度較高的自然地圖和社會(huì)經(jīng)濟(jì)地圖。Aitoffequalareamapprojection愛托夫等積投影Equal-AreaCylindricalProjection等積圓柱投影

3、任意投影:

投影圖上，長度、面積和角度都有變形，它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒有長度變形的任意投影（m=1）。

適用于對面積精度和角度精度沒有什么特殊要求的，或?qū)γ娣e變形和角度變形都不希望太大的用戶，一般用于參考圖和中小學(xué)教學(xué)用圖。EquidistantAzimuthalProjection等距方位投影

二、

按地圖投影的構(gòu)成方法分類

1、幾何投影

源于透視幾何學(xué)原理，以幾何特征為依據(jù)，將橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面。1)方位投影:

以平面作投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。

根據(jù)球面與投影面的相對部位不同，分為正軸投影，橫軸投影，斜軸投影:

正軸方位投影，投影面與地軸相垂直；橫軸方位投影，投影面與地軸相平行；斜軸方位投影，投影面與地軸斜交。正軸方位投影正軸方位投影變形特點(diǎn)：①等變形線與緯圈一致；②在切方位投影中，切點(diǎn)上無變形，隨著遠(yuǎn)離切點(diǎn)，變形增大；③在割方位投影中，在所割小圓上，角度變形與“切”的情況一樣，其他變形（長度變形與面積變形）則自所割小圓向內(nèi)與向外增大。

2）圓柱投影:

以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。

正軸：圓柱軸與地軸重合；橫軸：圓柱軸與地軸垂直；斜軸：圓柱軸與地軸斜交；

正軸圓柱投影TransverseMercatorProjection通用墨卡托橫軸圓柱投影正軸圓柱投影變形特點(diǎn)：

①變形隨緯度變化，與經(jīng)差無關(guān)；

②在切圓柱投影中，赤道無變形，變形自赤道向兩側(cè)隨緯度的增加而增大；

③在割圓柱投影中，在兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線上無變形，變形自標(biāo)準(zhǔn)緯線向內(nèi)和向外增大。

適宜于低緯度沿緯線伸展的地區(qū)。

3）圓錐投影:

以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。

正軸：圓錐軸與地軸重合；橫軸：圓錐軸與地軸垂直；斜軸：圓錐軸與地軸斜交；圓錐投影正軸圓錐投影變形特點(diǎn):