第02章 平面問題的基本理論-1

第二章

平面問題的基本理論本章將系統(tǒng)地平面問題的基本理論－基本方程和邊界條件，及兩種基本解法，是彈性力學(xué)中最具典型性和代表性的內(nèi)容，是后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。要求掌握的內(nèi)容如下：

1、兩類平面問題的定義；2、關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的分析；

3、平面區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程與物理方程；

4、平面邊界上的應(yīng)力和位移邊界條件的建立，及圣維南原理的應(yīng)用；

5、按位移求解方法和按應(yīng)力求解方法；本章學(xué)習(xí)指南為了牢固地理解和掌握平面問題的基本理論，要求做到：

1、清楚地了解上述有關(guān)問題的提出與分析的方法；2、自己動(dòng)手推導(dǎo)公式，以加深理解；3、及時(shí)對(duì)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，掌握其要點(diǎn)；本章學(xué)習(xí)指南平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面問題的平衡微分方程平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的物理方程平面問題的邊界條件圣維南原理及應(yīng)用按位移法求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題及相容方程常體力情況下的簡(jiǎn)化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容§2.1平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題

任何一個(gè)彈性體是空間物體，外力為空間力系。實(shí)際的彈性力學(xué)問題都是空間問題。空間問題的簡(jiǎn)化與近似：當(dāng)彈性體具有特殊形狀、承受特殊的外力與約束時(shí)，可進(jìn)行簡(jiǎn)化，使得分析與計(jì)算工作量大大減少，所得結(jié)果仍然可以滿足工程精度要求。平面問題哪些問題可簡(jiǎn)化為平面問題？1、平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題條件：很薄的等厚度薄板，厚度為h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個(gè)方向的尺度。其所受體力、面力和約束均平行于板面，即只是Oxy面內(nèi)的量，并沿厚度方向不變。薄板的兩個(gè)表面不受任何外力和約束的作用。1、平面應(yīng)力問題構(gòu)件幾何特征：很薄的等厚度薄板。厚度為h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個(gè)方向的尺度。薄板的中面為平面。

表面面力邊界條件：表面不受外力作用外力與約束：其所受體力、面力和約束均平行于中面Oxy面內(nèi)，并沿厚度方向Oz不變。而且薄板的兩個(gè)表面不受外力作用。因此應(yīng)力沿厚度方向不變。因此只剩下Oxy面內(nèi)的三個(gè)應(yīng)力分量，且只是坐標(biāo)x,y的函數(shù)，沿厚度方向Oz不變，即應(yīng)力分量分布特點(diǎn)：由于板很薄，外力沿厚度均勻分布，同時(shí)應(yīng)力沿厚度還是連續(xù)分布的，因此應(yīng)力分量也沿厚度均勻分布，所以板中各點(diǎn)均有：1、平面應(yīng)力問題應(yīng)變分量分布特點(diǎn)：應(yīng)變分量也只是坐標(biāo)x,y的函數(shù)，沿厚度方向Oz不變。且gzx=gzy=0，但ez≠0，這表明薄板變形時(shí)，兩底面將發(fā)生畸變。但是由于平板很薄，這種畸變也是很小的。1、平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題小結(jié)：

1、平面應(yīng)力問題，就是只有平面應(yīng)力分量（sx，sy和txy）存在，且僅為x、y的函數(shù)的彈性力學(xué)問題。2、厚度較薄的淺梁和深梁、受上部荷載及自重的墻、平板壩的平板支墩等，都屬于平面應(yīng)力問題。2、平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題條件：彈性體為等截面的很長(zhǎng)柱體，體力、面力和約束條件均平行于橫截面且不沿長(zhǎng)度方向變化，即只有Oxy平面內(nèi)的體力、面力和約束，且沿z方向不變化。2、平面應(yīng)變問題構(gòu)件幾何特征：具有很長(zhǎng)縱向軸的柱形體，橫截面大小和形狀沿軸線長(zhǎng)度不變位移失量分布特點(diǎn)：只沿x和y方向移動(dòng)，沿軸線方向位移為0，即

u=u(x,y)v=v(x,y)w=0外力與約束：體力、面力和約束與縱向軸垂直，即平行于橫截面，并且沿長(zhǎng)度不變；柱體的兩端受固定約束；2、平面應(yīng)變問題應(yīng)變分量分布特點(diǎn)：應(yīng)變分量為坐標(biāo)x,y的函數(shù)，沿z方向?yàn)?，即ez=gxz=gyz=0，只剩下oxy平面內(nèi)的三個(gè)應(yīng)變分量。應(yīng)力分量分布特點(diǎn)：應(yīng)力分量也是坐標(biāo)x,y的函數(shù)，沿z方向的切應(yīng)力為0，即txz=tyz=0。由于沿z方向的伸縮要受到約束，故sz≠0。2、平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題小結(jié)：

1、平面應(yīng)變問題，就是只有平面應(yīng)變分量（ex，ey和gxy）存在，且僅為x、y的函數(shù)的彈性力學(xué)問題。2、擋土墻、很長(zhǎng)的管道和隧洞問題，盡管不是無限長(zhǎng)，但對(duì)于離開兩端較遠(yuǎn)處，可按平面應(yīng)變問題來分析計(jì)算，結(jié)果在工程上是可用的。平面問題的總結(jié)名稱平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題未知量已知量未知量已知量應(yīng)力sx、sy、txysz=txz=tyz=0sx、sy、txysz≠0

txz=tyz=0應(yīng)變ex、ey、gxyez≠0

gxz=gyz=0ex、ey、gxyez=

gxz=gyz=0位移u、vw≠0u、vw=0外力體力、面力和約束作用于oxy面內(nèi)，且沿板厚均布體力、面力和約束作用于oxy面內(nèi)，且沿z軸不變形狀等厚度薄板等截面長(zhǎng)柱體平面問題的總結(jié)平面問題特點(diǎn)：1、基本未知量為8個(gè)，均為平面（oxy面）內(nèi)的物理量；2、所有未知量?jī)H是x和y兩個(gè)變量的函數(shù)；3、相對(duì)于空間問題，其基本物理量、基本方程均減少，使得它比一般空間問題簡(jiǎn)單得多；4、主要有兩類：平面應(yīng)力、平面應(yīng)變例題例1：（本章習(xí)題2－1）如果某一問題中，sz＝tzx＝tzy=0，只存在平面應(yīng)力分量sx，sy和txy

，且它們不沿z方向變化，僅為x、y的函數(shù)，試考慮此問題是否就是平面應(yīng)力問題？例2：（本章習(xí)題2－3）如圖2－11，試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。例題例3、如圖所示的幾種受力體是否是平面問題？若是，則是平面應(yīng)力問題，還是平面應(yīng)變問題？平面應(yīng)力問題薄板彎曲問題平面應(yīng)變問題空間問題空間問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面問題的平衡微分方程平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的物理方程平面問題的邊界條件圣維南原理及應(yīng)用按位移法求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題及相容方程常體力情況下的簡(jiǎn)化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容§2.2平面問題的平衡微分方程

平面問題的平衡微分方程是考慮平面問題的靜力學(xué)條件，根據(jù)彈性體內(nèi)微分單元的靜力平衡條件來推導(dǎo)出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。如圖，在彈性體內(nèi)任一點(diǎn)取一微小的正平行六面體，其x、y方向的尺寸分別為dx、dy，為計(jì)算方便，設(shè)它在z方向的尺寸為單位長(zhǎng)度1。平面問題的平衡微分方程由于六面體是微小的，各面上的應(yīng)力可認(rèn)為是均勻分布，且作用于對(duì)應(yīng)面的中心。同理，六面體所受的體力也可以認(rèn)為是均勻分布，且作用于它的體積的中心。一般而論，應(yīng)力分量是變量x和y的函數(shù)，作用于左右兩對(duì)面或上下兩對(duì)面的應(yīng)力分量不完全相同，具有微小的差量。平面問題的平衡微分方程2、由通過中心C點(diǎn)并平行于z軸的直線為轉(zhuǎn)軸，列出力矩的平衡條件，并利用小變形假設(shè)，可推導(dǎo)出“切應(yīng)力互等定理”，即

txy=tyx3、由x軸和y軸兩個(gè)方向的平面力系的平衡條件，可推導(dǎo)出“平衡微分方程”，即1、利用連續(xù)性假設(shè)，根據(jù)Taylor級(jí)數(shù)展開式，略去高價(jià)項(xiàng)，可求出各面上的應(yīng)力分量。平衡微分方程：注意事項(xiàng)列平衡條件時(shí)，應(yīng)力和體力應(yīng)分別乘以其作用面積和體積，才能得到合力；應(yīng)用了兩個(gè)基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)（不同面間應(yīng)力分量采用泰勒級(jí)數(shù)展開）和小變形假設(shè)（受力變形前后微分體尺寸不變），這也是其適用的條件。平衡微分方程中各個(gè)量的量綱都相同，其中第一式的各項(xiàng)為x方向的力，第二項(xiàng)為y方向的力；平衡微分方程：注意事項(xiàng)平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的平衡微分方程相同(平面應(yīng)變問題中的正應(yīng)力sz不影響方程的推導(dǎo))平面問題的平衡微分方程有2個(gè)方程，但包含有3個(gè)未知函數(shù)，只根據(jù)靜力學(xué)條件無法定解，即是超靜定的。要想定解，還必須考慮幾何學(xué)和物理學(xué)方面的條件。平衡微分方程表示了平面區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)的微分單元體的平衡條件，必然保證任一有限大部分和整個(gè)區(qū)域是滿足平衡條件的，因而所考慮的靜力學(xué)條件是嚴(yán)格和精確的；例題例2.2.1：如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為l，其上表面承受三角形分布載荷作用，體力不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)中的應(yīng)力表達(dá)式，由平衡微分方程導(dǎo)出另兩個(gè)應(yīng)力分量。例題解：（1）將sx代入平衡微分方程第一式

（2）將txy代入平衡微分方程第二式平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面問題的平衡微分方程平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的物理方程平面問題的邊界條件圣維南原理及應(yīng)用按位移法求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題及相容方程常體力情況下的簡(jiǎn)化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容§2.3平面問題中一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力是與作用面有關(guān)的。sx，sy和txy作為基本未知函數(shù)，只是表示一點(diǎn)的坐標(biāo)平面上的應(yīng)力分量（左圖）。而校核強(qiáng)度時(shí)需要知道過此點(diǎn)的任意斜面上的應(yīng)力p。而斜面上的全應(yīng)力又可以按坐標(biāo)軸分解為（px,py），也可沿法向和切向分解為正應(yīng)力sn和和切應(yīng)力tn（右圖）?！?.3平面問題中一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析1：求經(jīng)過該點(diǎn)、平行于z軸而斜交于x軸和y軸的任何斜面上的應(yīng)力p？2：求經(jīng)過該點(diǎn)、平行于z軸而斜交于x軸和y軸的任何斜面上的正應(yīng)力sn和切應(yīng)力tn

？3：若經(jīng)過該點(diǎn)的某一斜面上的切應(yīng)力為0，求此斜面上的主應(yīng)力s和應(yīng)力主方向a

？4：求經(jīng)過該點(diǎn)的正應(yīng)力sn和切應(yīng)力tn

的最大和最小值？一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析就是求解上述有關(guān)應(yīng)力分量，具體為：已知任一點(diǎn)處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量sx，sy和txy，求解如下四個(gè)問題：過一點(diǎn)任意斜面的全應(yīng)力問題1：已知任一點(diǎn)處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量sx，sy和txy，求經(jīng)過該點(diǎn)、平行于z軸而斜交于x軸和y軸的任何斜面上的應(yīng)力p？取如圖所示的微分三角板或三棱柱PAB，當(dāng)平面AB無限接近于P點(diǎn)時(shí)，該平面上的應(yīng)力即為所求。根據(jù)該微分單元的力系平衡條件，在x和y軸方向上合力為0，從而有：過一點(diǎn)任意斜面的正應(yīng)力與切應(yīng)力問題2：求經(jīng)過該點(diǎn)、平行于z軸而斜交于x軸和y軸的任何斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力？平面AB上的正應(yīng)力sn即為上面所求的全應(yīng)力p向法線方向n的投影：平面AB上的切應(yīng)力tn即為上面所求的全應(yīng)力P向切線方向的投影：或過一點(diǎn)任意斜面的主應(yīng)力與主方向問題3：若經(jīng)過該點(diǎn)的某一斜面上的切應(yīng)力為0，求此斜面上的主應(yīng)力s和應(yīng)力主方向a

？設(shè)如圖所示的斜面上切應(yīng)力為0，則該面上的全應(yīng)力等于正應(yīng)力，也等于主應(yīng)力，于是有又由于有過一點(diǎn)任意斜面的主應(yīng)力與主方向從而有關(guān)于方向余弦l,m的線性方程組：有展開得平面問題的主應(yīng)力特征方程：由求根公式有：過一點(diǎn)任意斜面的主應(yīng)力與主方向下面求應(yīng)力主方向。將所求主應(yīng)力s2代入第二個(gè)方程：兩個(gè)應(yīng)力主方向是相互垂直的將所求主應(yīng)力s1代入第一個(gè)方程：過一點(diǎn)任意斜面的應(yīng)力極值問題4、已知任一點(diǎn)處兩個(gè)主應(yīng)力s1和s2，及其應(yīng)力主方向，可求得經(jīng)過該點(diǎn)正應(yīng)力、切應(yīng)力的最大和最小值。為了分析簡(jiǎn)便，選取x軸和y軸分別與兩個(gè)應(yīng)力主方向一致，則該點(diǎn)的應(yīng)力分量為

sx=s1，sy=s2，txy=0

先求正應(yīng)力的極值。上式代入正應(yīng)力公式（2－4），并利用兩個(gè)方向余弦平方和為1，得

sn=(s1-s2)l2+s2由此可知，兩個(gè)主應(yīng)力就是正應(yīng)力的最大和最小值。過一點(diǎn)任意斜面的應(yīng)力極值

再求切應(yīng)力的極值。將sx=s1，sy=s2，txy=0代入切應(yīng)力公式（2－5），并利用兩個(gè)方向余弦的平方和為1，得由此可知，當(dāng)l2=0.5，s1≥s2

時(shí)，切應(yīng)力的最大和最小值如下，其作用平面的法線方向與x軸和y軸成45°角：一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析_總結(jié)