2024屆廈門(mén)高三四檢數(shù)學(xué)試題含答案

廈門(mén)市2024屆高三畢業(yè)班第四次質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

滿(mǎn)分：150分考試時(shí)間：120分鐘

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫(xiě)在答題卡上，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘

貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在

本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合4={%6叫——4x—5V0},B={1,3,5,7},則圖中陰影部分所表示的集合為（）

cnz)

A.{0,2,4}B.{2,4}C.{0,4}D.{2,4,5)

2.已知隨機(jī)變量X?N(2Q2),p(x<l)=0.3,則尸(X<3)=()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

3.將函數(shù)/(%)=51!12%+石以)52%的圖象向右平移出個(gè)單位后得到]v=g(x)的圖象，則()

6

A.g(x)=2sin2xB.g(x)=2sir

C.g(x)=2sin(2x+?]D.g(x)=2sit(2X+T)

4.圓Y+y2=i被直線丁=6%—1所截得劣弧的弧長(zhǎng)為()

6.某校5名同學(xué)到A、B、C三家公司實(shí)習(xí)，每名同學(xué)只能去1家公司，每家公司至多接收2名同學(xué).若

同學(xué)甲去A公司，則不同的安排方法共有()

A.18種B.30種C.42種D.60種

7.設(shè)A,B為隨機(jī)事件，則P(A)=P(6)的充要條件是()

A.P(A\JB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(AB)=P(AB)D.P(AB)=P(BA)

22

8.已知雙曲線C:二—斗=1(?！?力〉0),過(guò)右焦點(diǎn)廠作一條漸近線的垂線，垂足為A,點(diǎn)3在C上,

a-b~

且麗=4麗，則C的離心率為()

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若a<Z?<0,貝!I()

A./>/B.ab<b-C.2a>2bD.-+—>4

ba

10.已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)0,石滿(mǎn)足麗=2麗，BE=EC,AE與CD交于點(diǎn)O,則()

A.CD=-CA+-CBB.~BOBC=S

33

C.W=2ODD.\OA+OB+OC\^y[3

11.如圖1,將三棱錐型禮盒A-BCD的打結(jié)點(diǎn)P解開(kāi)，其平面展開(kāi)圖為矩形，如圖2,其中A,B,C,D

分別為矩形各邊的中點(diǎn)，則在圖1中()

圖1圖2

A.AC=BDB.ADLBC

C.AC，平面BOPD.三棱錐A-BCD外接球的表面積為5乃

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z+N=2,zz=4,則|2—彳|=.

13.已知奇函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(%)的定義域均為R,/⑴=2,當(dāng)x>0時(shí)，xf\x)+f(x)>0,則

使不等式W(x)>2成立的龍的取值范圍是.

QIt

14.記銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若2cosc=-—0,則3的取值范圍是________

ab

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)

設(shè)S,為數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，已知。］=164=10,且［2］為等差數(shù)列.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式;

可,〃為奇數(shù)，

⑵若a=<1”為偶數(shù)求也｝的前物項(xiàng)和凡?

16.(15分)

某地區(qū)為了解居民體育鍛煉達(dá)標(biāo)情況與性別之間的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了600位居民，得到如下數(shù)據(jù):

不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)合計(jì)

男300

女100300

合計(jì)450600

(1)完成2x2列聯(lián)表.根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)聯(lián)?

42

(2)若體育鍛煉達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為《，體育鍛煉未達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為1.用

上表中居民體育達(dá)標(biāo)的頻率估計(jì)該地區(qū)居民體育達(dá)標(biāo)的概率，從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3人參加體能測(cè)試,

n(ad-bc)2

求3人中合格的人數(shù)X的分布列及期望.(/對(duì)應(yīng)值見(jiàn)下表.力2

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

n=a+b+c+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

17.(15分)

如圖，在四棱臺(tái)ABC?！?，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，B,Q=1.

(1)證明：A&〃平面BDG；

(2)若BQ=CC[=2,求平面3G。與平面片。2夾角的余弦值.

18.(17分)

平面直角坐標(biāo)系X。)中，動(dòng)點(diǎn)尸在圓好+/=4上，動(dòng)點(diǎn)。(異于原點(diǎn))在x軸上，且|PQ|=2,記P。

的中點(diǎn)M的軌跡為「.

(1)求「的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(3,1)的動(dòng)直線/與F交于A,B兩點(diǎn).問(wèn)：是否存在定點(diǎn)N,使得上]卷為定值，其中左,左2分別

為直線Ml,NB的斜率.若存在，求出N的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

19.(17分)

帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法，在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)中有著廣泛的

應(yīng)用.已知函數(shù)/(X)在X=0處的[辦川階帕德近似定義為：=%+、/+…+區(qū)"：加,且滿(mǎn)足：

1++***+b^x

/(0)=/?(0),廣(0)=叱(0),/⑵(0)=R⑵(0),…,/"(0)=L)(0).

其中產(chǎn))(?=[/(切/⑶(x)=[/⑵(X)],…，*+")(%)=，ET)(X)J.

a+bx-^—x1

已知/(x)=ln(x+l)在x=0處的[2,2]階帕德近似為7?(x)=-------.

1+XH--

6

(1)求實(shí)數(shù)〃，人的值；

(2)設(shè),(%)=/(%)-/?(%),證明：xh(x)>0；

(3)已知％,々,退是方程lnx=21x-的三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)X的取值范圍，并證明：

羽+12+%3>J__]

3I".

廈門(mén)市2024屆高中畢業(yè)班第四次質(zhì)量檢查

一、單選題

1-4.ACAC5-8.CBDB

二、多選題

9.AD10.ABD11.ACD

三、填空題

12.2百;13.(-co,-l)U(l,+oo)；

四、解答題

15.解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,因?yàn)镚=SI=1,

n

所以又—0L=3d,即W—i=3d,d=L,

4142

所以&=1+,(〃—1),即S"=〃(〃+D,

n22

文“、CH?ecn(n+V)n(n-l)

當(dāng)“22時(shí)，an=Sn-Sn_x=--------------=

當(dāng)〃=1時(shí)，％=1,滿(mǎn)足上式，所以

小”為奇數(shù),

(2)由(1)知"=<二1二，〃為偶數(shù),

n{n+2）

則(〃=(偽+&+仇…+%”-1)+也+么+%…+2")

fl111)

=(1+3+5…+2〃-1)+——+——+------+-------------

(2x44x66x82〃x(2〃+2),

J(l+2〃-】)+￥」+」+…+J_—■一，

22(2446In2n+2)44n+4

所以數(shù)列也}的前2n項(xiàng)和為心=”2+：—1

4〃+4

16.方法一：（1）2x2列聯(lián)表如下表

不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)合計(jì)

男50250300

女100200300

合計(jì)150450600

零假設(shè)為

Ho:體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別獨(dú)立，即體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別無(wú)關(guān).

600(50x200-250x100)2

—?22.222>6.635.

―_300x300x150x450-9

根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷Ho不成立，即認(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯(cuò)誤

的概率不超過(guò)0.01.

3

(2)設(shè)事件A="隨機(jī)抽取一人體育鍛煉達(dá)標(biāo)”，事件3=”隨機(jī)抽取一人體能測(cè)試合格”，則P(A)=—,

4

,4I-2

尸⑷P(B\A)=~,P(B\A)=~.

所以P(B)=尸(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=—

X的可能取值為：0,1,2,3

27

P(X=0)=

1000

189

1000

441

1000

I3343

P(X=3)=A'-T66o

所以X的分布列為

X0123

27189441343

P

1000100010001000

m一…、c27,189c441°343「

所以E(X)=Ox------+lx------+2x------+3x------=2.1.

1000100010001000

方法二：(1)同方法一

3

⑵設(shè)事件4=“隨機(jī)抽取一人體育鍛煉達(dá)標(biāo)”，事件八“隨機(jī)抽取一人體能測(cè)試合格”，則尸⑷=屋

14-2

P(B)=-,P(B\A)=-,P(B\A)=-.

__7

所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=—.

因?yàn)閄~513,—

所以尸(X=A)=C；k=0,1,2,3.

7

所以E(X)=3x而=2.1.

17.方法一：(1)由棱臺(tái)定義可知A&與Cq共面，且平面ABCD〃平面4月。12?

又平面A3cr>n平面ACGA=AC,平面4片。12口平面ACG4=AG，

所以AC〃AG.

連接AC交BD于點(diǎn)。，則。為AC中點(diǎn).

因?yàn)?C=251G=2,所以4G=AO.

所以四邊形AAOG是平行四邊形，所以

又A4仁平面BDG，OGu平面3￡>G，所以A&〃平面BOG，

(2)在正方形ABC。中，BD1AC,又§。，胴，AC[}A\=A,

所以平面ACGA-

因?yàn)?。GU平面ACGA，所以LOG?

在Rt^BOG中，N3OG=90°,BO=41，BQ=2,所以O(shè)G=?.

在△OCC]中，OC=OC[=6,CC,=2,所以002+。。；=。。；，所以。C，OC「

以。為原點(diǎn)，分別以礪，灰，西為無(wú)軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

(65、(55、

5(^2,0,0)>2)(—V2,0,0),C(0,^2,0),B----,------,A/2，------,------,V2

x2222

____.(Sab、

所以函=(—0,0,0),BC=-—,—,-72.

X(22J

設(shè)平面BlCDl的法向量為n=(x,y,z),

五?BQ】=0[x=0

則1，即1，

h-BxC=Q[3y-2z=0

令y=2,則z=3,所以元=(0,2,3),

又因?yàn)槠矫鍮C.D的法向量玩=(0,1,0),

所以cos〈玩,n)=布行2V13

\m\\n\13

所以平面BCQ與平面BCD1所成角余弦值為型3.

方法二：(1)將棱臺(tái)補(bǔ)形成棱錐P-A8CD,

由棱臺(tái)定義知平面ABCD//平面?

又平面ABCDA平面BCC[B[=BC,平面0平面BCC,B{=BXCX,

所以BC〃4cl.

連接AC交BD于點(diǎn)。，則。為AC中點(diǎn).

BCPC

又△BCPs^BCF，所以三=二=2,所以G為尸C中點(diǎn),

11B?PC11

所以。G為△ACP的中位線，所以A4〃OG.

又441ct平面BDG，OCjU平面BDG，所以A&〃平面3DG

(2)在正方形ABC。中，BD1AC,又§。，明，ACC\AAi=A,

所以平面ACGA.

因?yàn)椤u平面ACG4，所以3。LOG

在Rt^BOG中，N3OCi=90°,B0=日BQ=2,所以O(shè)C]=VL

在△OCC]中，OC=OC[=6,CC,=2,所以O(shè)C2+OC；=CC]

所以。c，OG.

連接片。交3C]于點(diǎn)M,連接G。交CD]于點(diǎn)N,

則MN為平面BCQ與平面BCD1的交線，設(shè)MN交。6于點(diǎn)。.

由有空4=/=」，同理空=工，

11MBCB2ND2

所以MN〃BD,所以MN,平面ACGA.

又OQu平面ACGA，QCu平面ACG4，

所以2W，。。，MNLQC,

所以/OQC為平面BQD與平面Bg的夾角.

由得豆4=絲=工，所以。。=迪.

MBQO23

在RtAQOC中，。。=子，OC=41,。。=呼，所以cos/OQC=^p.

所以平面BCQ與平面B01夾角的余弦值為栗3.

18.解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x',y'),M(x,y),

因?yàn)閨。尸|二|尸。I，所以0(2%'。,(/￡0),

Xf+2xrrc

x=---------,2x

由M為尸O中點(diǎn)得《,3，

y=yU=2y

2

代入x'2+y'2=4,得上+/=：!.

?9?

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡「的方程為、■+y2=l(x中0).

(2)存在N滿(mǎn)足題意，證明如下：

依題意直線/的斜率存在且不為0,設(shè)/的方程：y=k(x-3)+l.

y=左(％-3)+1

%22得(1+9左2)_?+18左(1—3左)x+81左2—54左=0.

設(shè)fi(x2,y2),N(Xo，%)聯(lián)立＜

3+y=

18次(1—34)8142—54左

貝!]%+%=—(1)

1+9左21+9左2

直線/方程化為x=3+I匚.

》=3+匚

聯(lián)立2k

,得(1+9/)/+(6左—2)y—6左+1=0

X21

——+V=1

〔9■

6k-21—6左

則乂+%=—，%%=(2)

1+9/1+9左2

2?6k-2?1-6左

依題意：2=%75一%=%+179F為十….

2

xn-xxn-x918左(1一3左)81尸一54人

01+9k2°1+9左2

(1+%2)4+(6左一2)%+1-6左_毗/+6(%一1)上+(%一1『

(1+9用￥+18%(1—3k)/+81萬(wàn)一54%-9(3—3『左2+18(%—3伙+.

依題意直線24,N3與坐標(biāo)軸不平行，又左/2為定值，

2

y-i_(y-i)

所以00

由乙廣送3乂％-1).(3)

%T(為—1)一

無(wú)；=3伉-3)(%T)?⑷

3(%-3)

由(3)(4)得%=3%或％=-3%,

[33亞3^/2

“。=丁

代入(3)得或,或＜

1

卜。=丁V2V2

［幾一2%一

31[或N02_后、

所以N或N12，2J滿(mǎn)足題意.(答案不全扣1分)

2?222/

方法二：存在N滿(mǎn)足題意，證明如下:

依題意直線/的斜率存在且不為0,設(shè)/的方程：y=k(x-3)+l.

設(shè)A(Xi，yJ,B(x2,y2),N(x0,y0),

y=k(x-3)+l

聯(lián)立%22得(1+9左2)%2+18左(I—3左)x+81左2—54左=0.

~9+y—

因?yàn)闉轳R為上式的兩根，

則(1+9公卜2+18左(1—34口+8142—54左=0+9左2)(x——%)⑴

丁一1

直線/方程化為x=3+

x=3+3

聯(lián)立

因?yàn)?，%為上式的兩根，

依題意：左色二%—%%—%=—%!?°―"!

%f——%(1+9左乂.一%)(公-々)

22

_(1+9左+(6左一2)為+1-6左_9yg^+6(y0-l)/r+(y0-l)

一(1+9左2)X；+18左(1_3左)/+8旅_54左_9(%_3)2左2+18(/_3快+*

下同方法一

19.解：(1)依題意可知，f(0)=0,R(0)=a,因?yàn)?(0)=R(0),所以a=0.

6bx+3x?](18—6份/+36%+366

此時(shí)，R(x)=皿十"一因?yàn)榱?(%)=—，R(x)=

6+6x+x1+x

所以/'(0)=1,R'(0)=b.

因?yàn)閞(0)=R(0),所以b=L.

3x~+6x

(2)依題意，/?(%)=/(x)-R(x)=ln(l+x)--F——

x~+6x+6

如戶(hù)上

故/z(x)在(-L+oo)單調(diào)遞增,

由人(0)=0,故\/元￡(一1,0),h(x)<0,Vx