第1章-信號與系統(tǒng)

第1章信號與系統(tǒng)

1.1信號1.2系統(tǒng)1.3信號與系統(tǒng)分析概述

1.1信號

1.1.1信號的分類信號的分類方法很多，可以從不同的角度對信號進行分類。在信號與系統(tǒng)分析中，我們常以信號所具有的時間函數(shù)特性來加以分類。這樣，信號可以分為確定信號與隨機信號(如圖1.1所示)、連續(xù)時間信號與離散時間信號、周期信號與非周期信號、能量信號與功率信號、實信號與復(fù)信號等。1.確定信號與隨機信號確定信號是指能夠以確定的時間函數(shù)表示的信號，在其定義域內(nèi)任意時刻都有確定的函數(shù)值。例如電路中的正弦信號和各種形狀的周期信號等。圖1.1確定信號與隨機信號波形2.連續(xù)時間信號與離散時間信號連續(xù)時間信號是指在信號的定義域內(nèi)，任意時刻都有確定的函數(shù)值的信號，通常用f(t)表示。連續(xù)時間信號最明顯的特點是自變量t在其定義域上除有限個間斷點外，其余是連續(xù)可變的。例如，正弦信號為連續(xù)時間信號。圖1.2連續(xù)時間信號波形與離散時間信號波形3.周期信號與非周期信號周期信號是每隔一個固定的時間間隔重復(fù)變化的信號。連續(xù)周期信號與離散周期信號的數(shù)學(xué)表示分別為f(t)=f(t+nT),n=±1,±2,±3,…,-∞<t<∞(1―1)f=f(k+nN),n=±1,±2,±3,…,-∞<k<∞,(k取整數(shù))(1―2)4.能量信號與功率信號如果把信號f(t)看作是隨時間變化的電壓和電流，則當(dāng)信號f(t)通過1Ω電阻時，信號在時間間隔-Ｔ≤t≤T內(nèi)所消耗的能量稱為歸一化能量，即為而在上述時間間隔-Ｔ≤t≤T內(nèi)的平均功率稱為歸一化功率，即為(1―3)(1―4)如圖１.３(a)所示的脈沖信號；持續(xù)時間無限而幅度有限的非周期信號為功率信號，如圖１.３(b)所示；持續(xù)時間無限，幅度也無限的非周期信號為非功率、非能量信號，如圖１.３(c)所示的單位斜坡信號t·u(t)。圖1.3三種非周期信號當(dāng)然，上述定義式(1―3)、(1―4)是連續(xù)時間信號f(t)的歸一化能量Ｗ和歸一化功率Ｐ的定義，對于離散時間信號f［k］，其歸一化能量Ｗ與歸一化功率Ｐ的定義分別為(1―5)(1―6)5.實信號與復(fù)信號實信號——f(t)=f*(t)，它是一個實函數(shù)。f*(t)為f(t)的共軛函數(shù)。復(fù)信號——f(t)≠f*(t)，它是一個復(fù)函數(shù)，即f(t)=f1(t)+jf2(t)(1―7)式中f1(t)與f2(t)均為實函數(shù)。實際信號一般都是實信號，但是為了簡化運算，常常引用復(fù)信號并以其實部或虛部表示實際信號。例如，常用復(fù)指數(shù)信號ejωt=cosωt+jsinωt表示余弦、正弦信號；常用e(-σt+jωt)=e-σtcosωt+je-σtsinωt表示幅度衰減的余弦、正弦振蕩信號等等。1.1.2信號的基本運算與波形變換1.加法運算任一瞬間的和信號值y(t)或y［k］等于同一瞬間相加信號瞬時值的和。即y(t)=f1(t)+f2(t)(1―8)或y［k］=f1［k］+f2［k］(1―9)2.乘法運算任一瞬時的乘積信號值y(t)或y［k］等于同一瞬時相乘信號瞬時值的積。即y(t)=f1(t)·f2(t)(1―10)y［k］=f1［k］·f2［k］(1―11)3.數(shù)乘(標乘)信號f1(t)或f1［k］和一個常數(shù)a相乘的積。即y(t)=a·f1(t)(1―12)y［k］=a·f1［k］(1―13)4.微分信號的微分是指信號對時間的導(dǎo)數(shù)。可表示為(1―14)5.積分信號的積分是指信號在區(qū)間(-∞，t)上的積分。可表示為(1―15)圖１.５是信號積分的一個例子。圖1.4信號的微分圖1.5信號的積分6.反轉(zhuǎn)以變量－t代替f(t)中的獨立自變量t，可得反轉(zhuǎn)信號f(-t)。它是f(t)以縱軸(t=0)為轉(zhuǎn)軸作180°反轉(zhuǎn)而得到的信號波形，如圖１.６所示。圖1.7離散時間信號及反轉(zhuǎn)波形圖1.6連續(xù)時間信號及反轉(zhuǎn)波形7.平移以變量t-t0代替信號f(t)中的獨立變量t，得信號f(t-t0)，它是信號f(t)沿時間軸平移t0的波形。這里f(t)與f(t-t0)的波形形狀完全一樣,只是在位置上移動了t0(t0為一實常數(shù))。t0>0，f(t)右移；t0<0，f(t)左移；平移距離為|t0|。圖１.８表示連續(xù)時間信號的平移。這類信號在雷達、聲納和地震信號處理中經(jīng)常遇到。利用位移信號f(t-t0)和原信號f(t)在時間上的遲延，可以探測目標和震源的距離。

圖1.8連續(xù)時間信號的平移8.展縮(尺度變換)以變量at代替f(t)中的獨立變量t可得f(at)，它是f(t)沿時間軸展縮(尺度變換)而成的一個新的信號函數(shù)或波形。信號f(at)中，a為常數(shù),|a|>1時表示f(t)沿時間軸壓縮成原來的1/|a|倍；|a|<1時表示f(t)沿時間軸擴展為原來的1/|a|倍。例如，圖１.９之(a)、(b)、(c)分別表示f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形。圖1.9f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形9.綜合變換以變量at+b代替f(t)中的獨立變量t，可得一新的信號函數(shù)f(at+b)。當(dāng)a>０時，它是f(t)沿時間軸展縮、平移后的信號波形；當(dāng)a<０時，它是f(t)沿時間軸展縮平移和反轉(zhuǎn)后的信號波形，下面舉例說明其變換過程。例１―１已知信號f(t)的波形如圖１.１０(a)所示，試畫出信號f(-2-t)的波形。解f(t)→f(-2-t)=f(-(t+2))可分解為

f(t)——f(-(t))——f(-(t+2))t→-tt→t+2反轉(zhuǎn)平移圖1.10信號的反轉(zhuǎn)、平移圖1.11信號的反轉(zhuǎn)、展縮與平移例１―３已知信號f(2t+2)的波形如圖１.１２(a)所示，試畫出信號f(4-2t)的波形。解f(2t+2)→f(4-2t)，則對應(yīng)有t1=0,t2=4,m=2,n=2,a=-2,b=4利用上述關(guān)系式計算出t11與t22：t11=-1/2(2×0+2-4)=1t22=-1/2(2×4+2-4)=-3

圖1.12信號綜合變換通過以上分析，可以歸納出普通信號基本變換的一般步驟：(1)若信號f(t)→f(at+b)，則先反轉(zhuǎn)，后展縮，再平移；(２)若信號f(mt+n)→f(t)，則先平移，后展縮，再反轉(zhuǎn)；(３)若信號f(mt+n)→f(at+b)，則先實現(xiàn)f(mt+n)→f(t)，再進行f(t)→f(at+b)。例１―４試粗略地畫出下列信號的波形圖：(1)f1(t)=(2-3e-t)·u(t)；(2)f2(t)=(5e-t-5e-3t)·u(t)；(3)f3(t)=e-|t|(-∞<t<∞)；(4)f4(t)=cosπ(t-1)·u(t+1)；(5)f5(t)=sinπ/2(1-t)·u(t-1)；(6)f6(t)=e-tcos10πt(u(t-1)-u(t-2))；(7)f7(t)=1-|t|/2(u(t+2)-u(t-2))；(8)f8(t)=u(t2-1)。解描繪信號波形是本課程的一項基本訓(xùn)練。在繪圖時應(yīng)注意信號的基本特征、變化趨勢、起始和終點位置，并應(yīng)標出信號的初值、終值以及一些關(guān)鍵的點及線，如極大值、極小值、漸近線等。圖1.13例1―4圖

1.2系統(tǒng)

為了說明系統(tǒng)的基本概念，我們分析如圖１.１4(a)所示的ＲＣ一階動態(tài)電路。圖中電容Ｃ具有初始電壓ＵO，開關(guān)Ｋ在ｔ＝０時刻閉合，且有ＵS>UO，使電容充電。圖1.14RC電路與電容電壓由一階動態(tài)電路知識可知，若以電容電壓ＵC(t)為變量，該電路的動態(tài)方程式為其全解為圖１.１5單輸入單輸出系統(tǒng)方框圖整個系統(tǒng)可用圖1.１5所示的方框圖表示。其中ψ表示系統(tǒng)的功能作用，它取決于系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)與元件參數(shù)。系統(tǒng)的輸出響應(yīng)y(t)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(0)與輸入激勵f(t)的函數(shù)，即y(t)=ψ［y(0),f(t)］,t≥0(1―16)當(dāng)系統(tǒng)的輸入激勵有多個，系統(tǒng)的初始狀態(tài)也有多個時，系統(tǒng)響應(yīng)y(t)是這多個輸入激勵與多個初始狀態(tài)的函數(shù)，即y(t)=ψ［x1(0),x2(0)，…,f1(t),f2(t),…］(1―17)1.2.1系統(tǒng)的分類

系統(tǒng)可按多種方法進行分類。不同類型的系統(tǒng)其系統(tǒng)分析的過程是一樣的，但系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不同，因而其分析方法也就不同。1.連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)系統(tǒng)的輸入和輸出是連續(xù)時間變量t的函數(shù)，叫作連續(xù)時間系統(tǒng)。輸入用f(t)表示,輸出用y(t)表示。2.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)是指具有線性特性的系統(tǒng)，線性特性包括均勻性與疊加性。線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程和線性差分方程。系統(tǒng)具有疊加性是指當(dāng)若干個輸入激勵同時作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是每個輸入激勵單獨作用時(此時其余輸入激勵為零)相應(yīng)輸出響應(yīng)的疊加，系統(tǒng)的均勻性和疊加性可表示如下：(1―18)疊加性：若f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t)則f1(t)+f2(t)→y1(t)+y2(t)(1―19)線性特性要求系統(tǒng)同時具有均勻性和疊加性。線性特性可表示為若f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t)則a·f1(t)+b·f2(t)→a·y1(t)+b·y2(t)(1―20)式中a、b為任意常數(shù)，上式如圖1.１6所示。圖1.１6系統(tǒng)的線性特性示意圖系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)絕對不應(yīng)與f(t)有關(guān)，而系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)也不應(yīng)與初始狀態(tài)有關(guān)。于是，當(dāng)線性系統(tǒng)既存在外部輸入激勵同時又具有初始狀態(tài)時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)必定是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的疊加，稱之為完全響應(yīng)，以y(t)表示，即有y(t)=yx(t)+yf(t)(1―21)同理，對于具有線性特性的離散時間系統(tǒng)，應(yīng)有以下表達式若f1［k］→y1［k］,f2［k］→y2［k］

則a·f1［k］+b·f2［k］→a·y1［k］+b·y2［k］(1―22)式中a、b為任意常數(shù)。同樣，系統(tǒng)的完全響應(yīng)可表示為y［k］=yx［k］+yf［k］(1―23)例１―５判斷下列輸出響應(yīng)所對應(yīng)的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)(其中y(0)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，f(t)為系統(tǒng)的輸入激勵，y(t)為系統(tǒng)的輸出響應(yīng))。(1)y(t)=5y(0)+4f(t)；(2)y(t)=2y(0)+6f2(t)；(3)y(t)=4y(0)f(t)+3f(t)；(4)y(t)=2t2y(0)+7(5)y(t)=4y(0)+4t(6)y(t)=6y2(0)+4f(t)(7)y(t)=4y(0)+3f(t)+2(8)y(t)=4y(0)+3y2(0)+6f(t)+t2例１―６某線性離散系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

若初始狀態(tài)不變，激勵為-f［k］時，響應(yīng)為例１―７已知某線性系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)y(0)=2時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)=6e-4t，t>0。而在初始狀態(tài)y(0)=8以及輸入激勵f(t)共同作用下產(chǎn)生的系統(tǒng)完全響應(yīng)y(t)=3e-4t+5e-t，t>0。試求：(１)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)；(２)系統(tǒng)在初始狀態(tài)y(0)=1以及輸入激勵為3f(t)共同作用下系統(tǒng)的完全響應(yīng)。解(1)由于y(0)=2時yx(t)=6e-4t(t>0)，故有y(0)=8時yx(t)=24e-4t(t>0)。因此yf(t)=y(t)-yx(t)=3e-4t+5e-t-24e-4t=5e-t-21e-4t(t>0)(2)同理，當(dāng)y(0)=1,3f(t)作用下，有y(t)=1/2(6e-4t)+3(5e-t-21e-4t)=15e-t-60e-4t(t>0)3.非時變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)一個系統(tǒng)，如果在零狀態(tài)條件下，其輸出的響應(yīng)與輸入激勵的關(guān)系不隨輸入激勵作用于系統(tǒng)的時間起點而改變時，就稱為非時變系統(tǒng)。否則，就稱為時變系統(tǒng)。非時變系統(tǒng)的特性沿時間軸是均勻的，當(dāng)輸入激勵延時一段時間作用于系統(tǒng)時，其零狀態(tài)響應(yīng)也延時同樣的一段時間，且保持輸出的波形不變。這就是非時變特性，可表示為若f(t)→yf(t)則f(t-t0)→yf(t-t0)同理，對于非時變離散時間系統(tǒng)，可表示為若f［k］→yf［k］則f［k-n］→yf［k-n］式中，n為任意整數(shù)。圖1.１7非時變系統(tǒng)示意圖例１―８試判斷下列系統(tǒng)是否為非時變系統(tǒng)：(1)y(t)=sin(f(t))；(2)y(t)=cost·f(t)；(3)y(t)=4f2(t)+3f(t)；(4)y(t)=2t·f(t)。解判斷一個系統(tǒng)是否為非時變系統(tǒng)，只需判斷當(dāng)輸入激勵f(t)變?yōu)閒(t-t0)時，相應(yīng)的輸出響應(yīng)是否也由y(t)變?yōu)閥(t-t0)。因為只涉及系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，所以無需考慮系統(tǒng)的初始狀態(tài)。4.記憶系統(tǒng)與即時系統(tǒng)如果系統(tǒng)在任意時刻的響應(yīng)僅決定于該時刻的激勵，而與它過去的歷史無關(guān)，則稱之為即時系統(tǒng)(或無記憶系統(tǒng))。全部由無記憶元件(如電阻)組成的系統(tǒng)是即時系統(tǒng)。即時系統(tǒng)可用代數(shù)方程來描述。如果系統(tǒng)在任意時刻的響應(yīng)不僅與該時刻的激勵有關(guān)，而且與它過去的歷史有關(guān)，則稱之為記憶系統(tǒng)(或動態(tài)系統(tǒng))。含有動態(tài)元件(如電容、電感)的系統(tǒng)是記憶系統(tǒng)，記憶系統(tǒng)可用微分方程來描述。5.集總參數(shù)系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng)集總參數(shù)系統(tǒng)僅由集總參數(shù)元件(如Ｒ、Ｌ、Ｃ等)所組成。對于集總參數(shù)系統(tǒng)，人們認為系統(tǒng)的電能僅儲存在電容中，磁能僅儲存在電感中，而電阻是消耗能量的元件，同時還認為，在這樣的系統(tǒng)中電磁能量的傳輸不需要時間，作用于系統(tǒng)任何處的激勵，能立即傳輸?shù)较到y(tǒng)各處。6.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)是指當(dāng)且僅當(dāng)輸入信號激勵系統(tǒng)時才產(chǎn)生輸出響應(yīng)的系統(tǒng)。這就是說，因果系統(tǒng)的輸出響應(yīng)不會出現(xiàn)在輸入信號激勵之前。反之，不具有因果特性的系統(tǒng)稱為非因果系統(tǒng)。一般地說，一個常系數(shù)線性微分方程式或差分方程式描述的系統(tǒng)，如果當(dāng)t>0時輸入信號為零，而此時的零狀態(tài)響應(yīng)也為零。1.2.2系統(tǒng)模擬與相似系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)的模擬通常由三種功能部件組成：積分器、相加器和數(shù)乘器，它們的時域表示符號如圖1.18所示。圖1.18連續(xù)時間系統(tǒng)的模擬器件例１―９試用積分器、相加器和數(shù)乘器模擬二階線性微分方程y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=f(t)所描述的系統(tǒng)。解因為y″(t)=-a1y′(t)-a0y(t)+f(t)，所以，需一個相加器、兩個積分器和兩個數(shù)乘器組成該系統(tǒng)的模擬裝置，如圖1.１9所示。圖1.19例１―９的模擬圖例１―１０試模擬y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=b1f′(t)+b0f(t)所描述的系統(tǒng)。解因為本例激勵部分中比上例多了一項b1f′(t)。我們在上例的基礎(chǔ)上作出該系統(tǒng)的模擬圖。設(shè)新變量q(t)，它滿足方程q″(t)+