第5講微分方程建模

數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用第6章

微分方程建模數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用6.4放射性廢料的處理6.4.1問題的提出6.4.2模型的建立與求解subs是賦值函數(shù)，用數(shù)值替代符號變量替換函數(shù)

例如:輸入subs(a+b,a,4)意思就是把a用4替換掉，返回4+b

也可以替換多個變量，例如：subs(cos(a)+sin(b),{a,b},[sym('alpha'),2])

分別用字符alpha替換a和2替換b，返回cos(alpha)+sin(2)vpa函數(shù)是什么意思？除了利用MATLAB 的help還可以借助于網(wǎng)絡(luò)資源.simplify和simple是Matlab符號數(shù)學(xué)工具箱提供的兩個簡化函數(shù)，區(qū)別如下：

simplify的調(diào)用格式為：simplify(S)；對表達式S進行化簡。

simple是通過對表達式嘗試多種不同的方法（包括simplify）進行化簡，以尋求符號表達式S的最簡形式。6.5初值問題的Matlab數(shù)值解數(shù)學(xué)建模競賽賽題講評全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽1992年中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(CSIAM)開始組織.1994年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦(每年9月).

全國高校規(guī)模最大的學(xué)科競賽內(nèi)容

賽題：工程技術(shù)、管理科學(xué)中經(jīng)過簡化的實際問題

答卷：一篇包含模型假設(shè)、建立、求解、計算方法設(shè)計和計算機實現(xiàn)、結(jié)果分析和檢驗、模型改進等方面的論文形式3名大學(xué)生組隊，在3天內(nèi)完成的通訊比賽

可使用任何“死”材料（圖書、計算機、軟件、互聯(lián)網(wǎng)等），但不得與隊外任何人討論宗旨創(chuàng)新意識團隊精神重在參與公平競爭標準假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性，表述的清晰性年份A題B題C題D題2004奧運會臨時超市網(wǎng)點設(shè)計電力市場的輸電阻塞管理飲酒駕車公務(wù)員招聘2005長江水質(zhì)的評價和預(yù)測DVD在線租賃雨量預(yù)報方法的評價DVD在線租賃2006出版社的資源配置艾滋病療法的評價和療效的預(yù)測易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制2007中國人口增長預(yù)測

乘公交，看奧運手機“套餐”優(yōu)惠幾何

體能測試時間安排

2008數(shù)碼相機定位高等教育收費標準探討地面搜索NBA賽程的分析與評價2009制動器試驗臺的控制方法分析眼科病床的合理安排衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控會議籌備2010儲油罐的變位識別與罐容表標定上海世博會影響力定量評估輸油管的布置學(xué)生宿舍設(shè)計方案評價

題目的特點題目來源:實際研究課題的簡化、改編；有實際背景問題的編撰；合適的社會熱點（或興趣）問題題目背景盡量通俗易懂，涉及的專業(yè)知識不深題目需要的數(shù)學(xué)知識一般不超過本科的三門主干課（非數(shù)學(xué)專業(yè)）內(nèi)容及統(tǒng)計、優(yōu)化、計算等基本方法；?？祁}目力求少用大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容解題所用的數(shù)學(xué)方法盡量多元化、綜合化可以查閱到一些參考材料，但是無法照搬現(xiàn)成文獻兼顧數(shù)據(jù)的處理與數(shù)據(jù)的收集基礎(chǔ)性實踐性綜合性開放性挑戰(zhàn)性A題：中國人口增長預(yù)測題目分析：題目屬于那種類型：連續(xù)的、離散的？需要解決什么問題；最優(yōu)化方案、預(yù)測模型、最短路徑等等；可以用哪些相關(guān)模型、算法求解、需要什么數(shù)學(xué)工具；論文寫作：（1）

問題提出和假設(shè)的合理性

論文中的假設(shè)要以嚴格、確切的數(shù)學(xué)語言來表達;所提出的假設(shè)確實是建立數(shù)學(xué)模型所必需的;假設(shè)應(yīng)驗證其合理性.（2）

模型的建立在作出假設(shè)后，我們就可以在論文中引進變量及其記號，抽象而確切地表達它們的關(guān)系，通過一定的數(shù)學(xué)方法，最后順利地建立方程式或歸納為其他形式的數(shù)學(xué)問題，把得到數(shù)學(xué)模型的過程表達清楚，使讀者獲得判斷模型科學(xué)性的一個依據(jù).（3）模型的計算與分析把實際問題歸結(jié)為一定的數(shù)學(xué)問題后，就要求解或進行分析.在數(shù)值求解時應(yīng)對計算方法有所說明，并給出所使用軟件的名稱或者給出計算程序（通常以附錄形式給出）.還可以用計算機軟件繪制曲線和曲面示意圖，來形象地表達數(shù)值計算結(jié)果?；谟嬎憬Y(jié)果，可以用由分析方法得到一些對實踐有所幫助的結(jié)論.（4）

模型的討論

對所作的數(shù)學(xué)模型，可以作多方面的討論.例如可以就不同的情景，探索模型將如何變化.或可以根據(jù)實際情況，改變文章一開始所作的某些假設(shè)，指出由此數(shù)學(xué)模型的變化.還可以用不同的數(shù)值方法進行計算，并比較所得的結(jié)果.有時不妨拓廣思路，考慮由于建模方法的不同選擇而引起的變化.通常，應(yīng)該對所建立模型的優(yōu)缺點加以討論比較，并實事求是地指出模型的使用范圍.2007A題近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》(附錄1)還做出了進一步的分析。關(guān)于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄2就是從《中國人口統(tǒng)計年鑒》上收集到的部分數(shù)據(jù)。試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考附錄2中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻和補充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長的數(shù)學(xué)模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點與不足之處。實際或競賽的建模問題課程學(xué)習(xí)與培訓(xùn)中的數(shù)學(xué)建模案例

引用案例

借鑒案例類比、引用和借鑒是很有效的方法：現(xiàn)狀！數(shù)學(xué)建模方法=創(chuàng)造性的本質(zhì)方法+模型類比方法數(shù)學(xué)建模=數(shù)學(xué)薦模+數(shù)學(xué)引?！环N初步實用的，基于類比與經(jīng)驗的方法但是：Logistic模型(阻滯增長模型)

基于Logistic模型，建立了含市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口相互流動關(guān)系的微分方程模型，求得全國總?cè)丝跀?shù)在短期內(nèi)將持續(xù)增長，到2010年、2020年分別為13.59億和14.44億，具有較好的中短期預(yù)測效果.1.中國人口增長的中短期預(yù)測從網(wǎng)上可查得2000-2005年的總?cè)藬?shù)如下表1表1年份/年總?cè)藬?shù)/萬2000126583200112762720021284532003129227200412998820051307562006131448(1)數(shù)據(jù)預(yù)處理

題中所給5年我國人口1%調(diào)查數(shù)據(jù)是對人口的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)的不完備性，并不能由它來估計當時的全國總?cè)丝跀?shù).但基于抽樣調(diào)查的等概率性，可以認為它所反應(yīng)的市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)三個地區(qū)的人口比例及男女比例是與實際較為接近的.根據(jù)網(wǎng)上得到的具體的全國總?cè)丝跀?shù).進而可以得到各部分人口數(shù).所得數(shù)據(jù)見表2。例：

表2

（2）模型建立考慮單一地區(qū)只受自然資源和環(huán)境條件限制Logistic模型：

其中為固有增長率.,分別表示第t年的人口數(shù)和此條件限制下的最大人口容量.因子體現(xiàn)了人口自身的增長趨勢，因子則體現(xiàn)了資源和環(huán)境對人口增長的阻滯作用，人口增長是兩個因子共同作用的結(jié)果.現(xiàn)在考慮市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)三個地區(qū)的總?cè)丝谧兓?guī)律，假定在一段時期內(nèi)，這三個地區(qū)各自均處于穩(wěn)定狀態(tài)，出生率和死亡率都沒有太大變化。然而居民在三個地區(qū)間的遷移會對總?cè)丝诋a(chǎn)生一定的影響。對原Logistic模型進行修改，得到多地區(qū)條件下的改進模型：（3）模型求解未知參數(shù)為：，，：3.1求解r3.23.3表3遷移系數(shù)3.4表4模型對全國總?cè)丝诘念A(yù)測（4）模型分析結(jié)果分析由表4可以看出，我國人口在短時間內(nèi)仍會繼續(xù)增長，增長水平為每年1000萬人左右，到2010年和2020年，全國總?cè)丝趯⑦_13.59億人與14.44億.2.靈敏性分析3.模型優(yōu)點基于傳統(tǒng)的Logistic模型，建立起市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口間的相互流動關(guān)系，綜合考慮了出生率、死亡率與遷入遷出對人口增長的影響，對Logistic原模型做了合理的擴充，使其更符合實際情況，預(yù)測效果良好.同時根據(jù)實際情況，對難以求解的微分方程采用差分方程代替，降低了解題難度，使模型易于實現(xiàn).4.模型缺點i.由于采用了差分方程的近似代替，整個預(yù)測結(jié)果均隨著時間的增長而增大，這是不符合生物學(xué)規(guī)律的，故此模型對人口的中短期預(yù)測較好，長期預(yù)測則難以讓人信服.ii.沒有考慮性別比對年齡結(jié)構(gòu)的影響，且只能對總?cè)丝跀?shù)進行預(yù)測，無法對性別比和年齡結(jié)構(gòu)做出相應(yīng)的預(yù)測.5.改進方向：采用先進的工具軟件對微分方程求解，得到模型預(yù)測的準確結(jié)果.ii.分段對模型進行調(diào)整和改進，減少累加誤差.theend儲油罐的變位識別與罐容表標定全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2010年A題

題目題目的背景與分析問題（1）的通常做法問題（2）的通常做法一種建立儲油量模型的新方法對學(xué)生論文的評述題目的啟示

通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。題目油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3m油位高度圖1儲油罐正面示意圖油位探針油位探針α地平線圖2儲油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口水平線圖3儲油罐截面示意圖（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖β地平線垂直線油位探針（a）無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探測裝置3m(b)小橢圓油罐截面示意圖α油油浮子出油管油位探針注油口水平線2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a)小橢圓油罐正面示意圖圖4小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖

請你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。（1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為=4.10的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度

）之間的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。流水號C進油量/LD油位高度/mm采集時間說明1150159.022010-08-2010:32:18(1)罐體無變位進油，罐內(nèi)油量初值262L；12100176.142010-08-2010:33:18(2)C列進油量是每次加入50L油后的累加值13150192.592010-08-2010:34:18(3)D列是原罐內(nèi)初始油量加入相應(yīng)油量后油位高度值。流水號C進油量/LD油位高度/mm采集時間說明11747.86411.292010-08-1915:10:2712797.86423.452010-08-1915:11:2713847.86438.332010-08-1915:12:3714897.86450.542010-08-1915:13:27(1)罐體縱向傾斜變位進油，縱向傾斜角4.10,罐內(nèi)油量初值215L；(2)C列進油量是每次加入50L油后的累加值，個別的有小數(shù)零頭；(3)D列是原罐內(nèi)油量加入相應(yīng)油量后油位高度值。附件1實驗數(shù)據(jù)流水號C進油量/LD出油量/LE顯示油高/mm顯示油量容積/L采集時間備注說明201060.002632.2360448.882010-08-0108:00:49←開始采集2020149.092624.3060311.432010-08-0108:15:421)C列進油量,通常進油是一次性連續(xù)完成203068.452620.6760248.032010-08-0108:23:412)D列出油量是加油機不同時段的出油量vi2040199.272610.2960065.112010-08-0108:38:143)E列顯示油高是進/出油vi后對應(yīng)的罐內(nèi)油位顯示高度hi；205070.052606.6159999.692010-08-0108:53:084)F列顯示油量容積是進/出油vi后,罐內(nèi)油位5020顯示高度為hi時的罐容表顯示儲油量Ｖi。

50360.81469.746086.74

511242486.2157704.792010-08-0811:43:402010-08-0812:52:52←一次性補充進油附件2檢測數(shù)據(jù)來自于加油站設(shè)備研究與生產(chǎn)企業(yè)的一個實際課題.

（2）根據(jù)實際檢測數(shù)據(jù)，正確識別罐體是如何變位的，具體變了多少？同時要給出罐容表的修正標定方法和結(jié)果，屬于“反問題”。題目背景問題分析問題由兩部分組成：（1）為了觀察檢驗罐體變位對罐容表的影響，在已知變位參數(shù)的情況下，檢測出油位高度和油量的對應(yīng)數(shù)值，建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐容表，屬于“正問題”。問題（1）的通常做法

根據(jù)附件1的實驗數(shù)據(jù)畫出罐體不變位（α=0）和罐體變位（α=4.10）時油位高度h和儲油量V的曲線.實驗數(shù)據(jù)表明，在同樣的油位高度h下，罐體變位時儲油量V減少.zx0z=HabS(H)z=H下的面積油位高度h時坐標y處z=H

油位高度h時坐標y處的截面面積罐體變位α?xí)r油位高度h和儲油量(體積)V的數(shù)學(xué)模型化重積分為定積分zyxhyH0L1Lα油位計L2V(h,α)z=H高度h與儲油量V的模型D3D2D1yh10L1L2αh2y1y2油位計高度h與儲油量V的模型V(h,α)h/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74=4.10的罐容表(部分)按照模型討論變位對罐容表的影響與實驗數(shù)據(jù)表示的影響一致.變位后儲油量平均約小200L.模型結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的比較=4.10=0模型結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)基本吻合，而在同樣的油位高度h下，儲油量V的實驗數(shù)據(jù)均比模型結(jié)果小.可以有各種解釋.是否要修正、怎樣修正模型？問題（2）的通常做法1.罐體變位α,β時油位高度h和儲油量V的數(shù)學(xué)模型hβD1D2D3整體考慮αhVxy0z

寫出左右球面、圓柱面及油位高度h的油平面方程.

將罐體分為3個區(qū)域：D1,D2,D3

在3個區(qū)域中分別寫出體積的重積分，并化為（對z的）定積分.油平面將罐體分為圓柱體和球缺，圓柱體按照問題（1）考慮z=H下的面積zx0rh'hβz=H截面面積S(y,h,α,β)

圓柱體體積V1

(h,α,β)

0xzyD1D2D3αh將罐體分為圓柱體和球缺，球缺部分單獨考慮

精確計算球缺部分體積V2

將傾斜角α的油平面近似為水平面（α=0）計算球缺部分體積V2.直接將罐體的球缺部分按照體積不變條件折合成圓柱，一起計算.用各種方法得到罐體體積V(h,α,β),一般是積分表達式,給定α,β,可以數(shù)值計算油位高度h時的儲油量V.問題（2）的通常做法2.根據(jù)儲油量的數(shù)學(xué)模型V(h,α,β)和實測數(shù)據(jù)（附件2）辨識罐體變位參數(shù)α,β流水號C進油量/LD出油量/LE顯示油高/mm顯示油量容積/L采集時間備注說明201060.002632.2360448.882010-08-0108:00:49←開始采集（i=0）2020149.092624.3060311.432010-08-0108:15:42i=1hiViuiVi=Vi(hi,0,0)不能用！應(yīng)該用數(shù)據(jù)ui,hi與模型V(h,α,β)

辨識參數(shù)α,β確定α,β應(yīng)使儲油量的改變ΔVi

與出油量ui相吻合！辨識準則確定α,β使Q最小

搜索法：按照α,β的可能范圍劃分區(qū)間，逐步搜索.

直接利用MATLAB的非線性曲線擬合程序lsqcurvefit辨識方法辨識結(jié)果ui,hi取進油前的300組數(shù)據(jù)h/cm20406080100V/L1065.803702.657371.3811756.6116664.62h/cm120140160180200V/L21941.1827450.7733066.9938667.2744128.48h/cm220240260280300V/L49322.4454109.9358329.2761768.9064026.17=2.110,β=4.310的修正罐容表(部分)罐體變位后顯示儲油量與實際儲油量的比較模型及結(jié)果檢驗

取進油后的300組數(shù)據(jù)檢驗辨識結(jié)果α,β

α,β的靈敏性檢驗α的靈敏度β的靈敏度縱向傾斜角α比橫向偏轉(zhuǎn)角

β對罐容量的影響顯著得多！一種建立模型V(h,α,β)的新方法xy0zhαhYZX0繞x軸轉(zhuǎn)動α繞z軸轉(zhuǎn)動βT2T1=T1T2?αhYZX0VVαxy0zhLdh-r油浮子坐標(0,h-r,L/2-d)過油浮子的油平面方程坐標變換xy0zhrsRVα油位高度h的儲油區(qū)域為D油位高度h時的儲油量V定義示性函數(shù)利用MATLAB的三重積分程序計算儲油量triplequad(@(x,y,z)(-x*cos(a)*sin(b)+y*cos(a)*cos(b)+z*sin(a)<=cos(a