第7章 達(dá)朗貝爾原理

第一篇理論力學(xué)第7章達(dá)朗貝爾原理

第7章達(dá)朗貝爾原理

上一章以牛頓定律為基礎(chǔ)研究了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，給出了求解質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的普遍定理。這一章我們需要學(xué)習(xí)求解非自由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的新方法——達(dá)朗貝爾原理，它是用靜力學(xué)平衡的觀點(diǎn)解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，又稱為動(dòng)靜法。特別是在已知的運(yùn)動(dòng)求約束力方面顯得尤為方便，因此在工程中得到廣泛的應(yīng)用。

7.1達(dá)朗貝爾原理

7.1.1慣性力·質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理

設(shè)非自由質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，加速度為a，作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力為F，約束力為，如圖7.1所示。根據(jù)牛頓第二定律，有將上式移項(xiàng)寫為

(7-1)引入記號(hào)

(7-2)式(7-1)成為

(7-3)其中，具有力的量綱，稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力，它是一個(gè)虛擬力，它的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，方向與質(zhì)點(diǎn)的加速度方向相反。

式(7-3)是一個(gè)匯交力系的平衡方程，它表示：作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束力和虛擬的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系，稱為質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理。此原理是法國(guó)科學(xué)家達(dá)朗貝爾于1743年提出的。利用達(dá)朗貝爾原理在質(zhì)點(diǎn)上虛擬添加慣性力，將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成靜力學(xué)平衡問(wèn)題進(jìn)行求解的方法稱為動(dòng)靜法。應(yīng)當(dāng)指出：(1) 達(dá)朗貝爾原理并沒有改變動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的性質(zhì)。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)實(shí)際上并不是受到力的作用而真正處于平衡狀態(tài)，而是假想地加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力與作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束力在形式上構(gòu)成平衡力系。(2) 慣性力是一種虛擬力，但它是使質(zhì)點(diǎn)改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的施力物體的反作用力。例如，系在繩子一端質(zhì)量為m的小球，速度為v，用手拉住小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖7.2所示。小球受到繩子的拉力F，使小球改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)產(chǎn)生法向加速度，即 。小球?qū)K子的反作用力 ，這是由于小球具有慣性，力圖保持其原有的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而對(duì)繩子施加的反作用力。

圖7.1質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理圖7.2小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)(3) 質(zhì)點(diǎn)的加速度不僅可以由一個(gè)力引起，而且還可以由同時(shí)作用在質(zhì)點(diǎn)上的幾個(gè)力共同引起的。因此慣性力可以是對(duì)多個(gè)施力物體的反作用力。例如圓錐擺，如圖7.3所示，小球在擺線拉力和重力作用下作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有此時(shí)的慣性力為式中和分別為擺線和地球所受到小球的

反作用力。由于它們不作用在同一物體上，當(dāng)

然沒有合力，但它們構(gòu)成了小球的慣性力系。

圖7.3圓錐擺【例7.1】有一圓錐擺，如圖7.4所示，重為的小球系于長(zhǎng)為的繩上，繩的另一端系在固定點(diǎn)O，并與鉛直線成

角。已知小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求小球的速度和繩子的拉力。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受有重力P，繩子的拉力以及在小球上

虛擬的慣性力，如圖7.4所示。由于小球在水

平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其慣性力只有法向慣

性力，即方向與法向加速度相反。

圖7.4由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理得將上式向自然軸上投影，得下面的平衡方程

解得

7.1.2質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，加速度為，作用于該質(zhì)點(diǎn)的主動(dòng)力

、約束力、慣性力

，由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)有 (7-4)式(7-4)表明：質(zhì)點(diǎn)系中的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到主動(dòng)力、約束力、慣性力作用下在形式上處于平衡。若將作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力按外力和內(nèi)力分，設(shè)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的外力為、內(nèi)力為，式(7-4)為

(7-5)式(7-5)表明：質(zhì)點(diǎn)系中的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在外力、內(nèi)力、慣性力

，作用下在形式上處于平衡。對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系而言，外力、內(nèi)力、慣性力 在形式上構(gòu)成空間平衡力系，由靜力學(xué)平衡理論知，空間任意力系平衡的必要與充分條件是力系的主矢和對(duì)任一點(diǎn)的主矩均為零。即

(7-6)由于內(nèi)力是成對(duì)出現(xiàn)的，內(nèi)力的主矢 ，內(nèi)力的主矩 。則式(7-6)為

(7-7)即質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理：作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力與虛加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。式(7-7)在直角坐標(biāo)軸上的投影形式：(1) 空間力系：

(7-8)(2) 平面力系：

(7-9)

7.2剛體慣性力系的簡(jiǎn)化

在應(yīng)用動(dòng)靜法解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往需要在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上虛加慣性力，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)較多，特別是剛體時(shí)，非常不方便。因此需要對(duì)虛加慣性力系進(jìn)行簡(jiǎn)化，以便求解。下面對(duì)剛體作平移、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的慣性力系進(jìn)化簡(jiǎn)化。

7.2.1平移剛體慣性力系的簡(jiǎn)化

當(dāng)剛體作平移時(shí)，由于同一瞬時(shí)剛體上各點(diǎn)的加速度相等，則各點(diǎn)的加速度都用質(zhì)心C的加速度表示，即

，如圖7.5所示。將慣性力加在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，組成平行的慣性力系，且均與質(zhì)心C的加速度方向相反，慣性力系向任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，得慣性力系主矢為

(7-10)圖7.5剛體作平移運(yùn)動(dòng)慣性力系的主矩為

(7-11)式中為質(zhì)心C到簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的矢徑。若取質(zhì)心C為簡(jiǎn)化中心

，則慣性力系的主矩為

(7-12)當(dāng)簡(jiǎn)化中心不在質(zhì)心C處，其主矩 。結(jié)論：剛體作平移時(shí)，慣性力系簡(jiǎn)化為通過(guò)質(zhì)心的一個(gè)合力，其大小等于剛體的質(zhì)量和加速度的乘積，方向與加速度方向相反。

7.2.2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力系簡(jiǎn)化

這里只限于剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面且轉(zhuǎn)軸垂直與此對(duì)稱平面的特殊情形。當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，先將剛體上的慣性力簡(jiǎn)化在質(zhì)量對(duì)稱平面上，構(gòu)成平面力系，再將平面力系向轉(zhuǎn)軸與對(duì)稱平面的交點(diǎn)O簡(jiǎn)化。軸心O為簡(jiǎn)化中心，如圖7.6所示，慣性力系的主矢為

(7-13)慣性力系的主矩為

(7-14)其中，為剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖7.6定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體圖7.7平面運(yùn)動(dòng)剛體結(jié)論：具有質(zhì)量對(duì)稱平面且轉(zhuǎn)軸垂直于此對(duì)稱平面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力系，向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化為一個(gè)力和一個(gè)力偶。此力的大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反，作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸；此力偶矩的大小等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度轉(zhuǎn)向相反。當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心時(shí)，質(zhì)心的加速度

，

，則慣性力系簡(jiǎn)化為質(zhì)心上的一個(gè)力矩。即

(7-15)

7.2.3平面運(yùn)動(dòng)剛體慣性力系的簡(jiǎn)化

設(shè)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，且剛體上的各點(diǎn)在與對(duì)稱平面保持平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)剛體上的慣性力簡(jiǎn)化在此對(duì)稱平面內(nèi)的平面力系。由平面運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，取質(zhì)心C為基點(diǎn)，如圖7.7所示，質(zhì)心的加速度為

，繞質(zhì)心C轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，角加速度為，慣性力系的主矢為：

(7-16)慣性力系的主矩為： (7-17)其中，為過(guò)質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。結(jié)論：具有質(zhì)量對(duì)稱平面的剛體，在平行于此平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體的慣性力系簡(jiǎn)化為在此平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。此力大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反，作用線通過(guò)質(zhì)心；此力偶矩的大小等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反?！纠?.2】均質(zhì)圓柱體A的質(zhì)量為m，在外緣上繞有一細(xì)繩，繩的一端B固定不動(dòng)，如圖7.8(a)所示，圓柱體無(wú)初速度地自由下降，試求圓柱體質(zhì)心的加速度和繩的拉力。圖7.8解：對(duì)圓柱體A進(jìn)行受力分析，作用其上的力有：圓柱體的重力

，繩的拉力，作用在圓柱質(zhì)心的虛擬慣性力和，即

(a)其方向如圖7.8(b)所示。列平衡方程為 (b) (c)式(a)代入式(b)和式(c)，并聯(lián)立求解，得圓柱體的角加速度和繩的拉力為圓柱體質(zhì)心的加速度為【例7.3】如圖7.9(a)所示，均質(zhì)圓盤的質(zhì)量為，由水平繩拉著沿水平面作純滾動(dòng)，繩的另一端跨過(guò)定滑輪B并系一重物A，重物的質(zhì)量為。繩和定滑輪B的質(zhì)量不計(jì)，試求重物下降的加速度，圓盤質(zhì)心的加速度以及作用在圓盤上繩的拉力。解：以圓盤為研究對(duì)象，作用在圓盤上的力有重力，繩的拉力，法向約束力，摩擦力，虛擬慣性力和。虛擬慣性力和為其方向如圖7.9(b)所示，r為圓盤的半徑。

(a) (b)(c)圖7.9列平衡方程為 (a)再以重物A為研究對(duì)象，作用在重物A上的力有重力

，繩的拉力，虛擬慣性力。虛擬慣性力為其方向如圖7.9(c)所示。列平衡方程為

(b)式(a)和式(b)聯(lián)立，并注意

，解得重物下降的加速度為圓盤質(zhì)心的加速度為作用在圓盤上繩的拉力為

7.3本章小結(jié)

1. 質(zhì)點(diǎn)的慣性力其中，慣性力是一個(gè)虛擬力。2. 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束力和虛擬的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。即3. 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力與虛加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。即平衡力系平衡的必要與充分條件是力系的主矢和對(duì)任一點(diǎn)的主矩均為零。主矢：主矩：4. 質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理的投影形式(1) 空間力系：

(2) 平面力系：5. 剛體慣性力系的簡(jiǎn)化(1) 平移剛體慣性力系的簡(jiǎn)化：其中，慣性力系簡(jiǎn)化為通過(guò)質(zhì)心的一個(gè)合力。(2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力系簡(jiǎn)化：當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力系簡(jiǎn)化為質(zhì)心上的一個(gè)力矩。即(3) 平面運(yùn)動(dòng)剛體慣性力系的簡(jiǎn)化：

，

7.4習(xí)題

7-1物體A重為，放在水平面上，與水平面的摩擦系數(shù)f，物體B重為，滑輪C的細(xì)繩連接物體A和物體B，如圖所示。滑輪C的質(zhì)量和軸承的摩擦不計(jì)，試求當(dāng)物體B下降時(shí)，物體A的加速度和細(xì)繩的拉力。7-2兩重物重為

和 ，連接如圖所示，并由電動(dòng)機(jī)A拖動(dòng)，如電動(dòng)機(jī)的繩的拉力為3kN，滑輪的重量不計(jì)，試求重物P的加速度和繩FD的拉力。

習(xí)題7-1圖習(xí)題7-2圖7-3如圖所示的輪軸質(zhì)心位于O處，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。在輪軸上系有兩個(gè)質(zhì)量為和的物體，若此輪軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，試求輪軸的角加速度和軸承的動(dòng)約束力。7-4如圖所示的質(zhì)量為的物體A下落時(shí)，帶動(dòng)質(zhì)量為的均質(zhì)圓盤B轉(zhuǎn)動(dòng)，不計(jì)支架和繩子的重量以及軸處的摩擦，

，圓盤B的半徑為R。試求固定端的約束力。

習(xí)題7-3圖 習(xí)題7-4圖7-5 均質(zhì)桿長(zhǎng)為l，重為P，由鉸鏈A和繩索支持，如圖所示。若連接點(diǎn)B的繩索突然斷了，試求鉸支座A的約束力和點(diǎn)B的加速度。7-6 如圖所示的長(zhǎng)方形均質(zhì)板，邊長(zhǎng)為

， ，質(zhì)量為27kg，用兩個(gè)銷子A和B懸掛。若突然撤去銷子B，試求此瞬時(shí)均質(zhì)板的角加速度和銷子A的約束力。

習(xí)題7-5圖 習(xí)題7-6