常微分方程第五章線性微分方程組_第1頁
常微分方程第五章線性微分方程組_第2頁
常微分方程第五章線性微分方程組_第3頁
常微分方程第五章線性微分方程組_第4頁
常微分方程第五章線性微分方程組_第5頁
已閱讀5頁,還剩31頁未讀 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

常微分方程第五章線性微分方程組第一頁,共三十六頁,2022年,8月28日例如,已知在空間運動的質(zhì)點的速度與時間及點的坐標(biāo)的關(guān)系為且質(zhì)點在時刻t經(jīng)過點求該質(zhì)點的運動軌跡。第二頁,共三十六頁,2022年,8月28日因為,所以這個問題其實就是求一階微分方程組滿足初始條件的解(1.12)第三頁,共三十六頁,2022年,8月28日中,令就可以把它化成等價的一階微分方程組注意,這是一個含n個未知函數(shù)的一階微分方程組。。另外,在n階微分方程第四頁,共三十六頁,2022年,8月28日含有n個未知函數(shù)的一階微分方程組的一般形式為:此方程組在上的一個解,是這樣的一組函數(shù)使得在上有恒等式第五頁,共三十六頁,2022年,8月28日含有n個任意常數(shù)的解稱為方程組的通解.如果通解滿足方程組第六頁,共三十六頁,2022年,8月28日則稱后者為(1)的通積分.如果已求得(1)的通解或通積分,要求滿足初始條件的解,可以把此初始條件代入通解或通積分之中,得到關(guān)于的n個方程式,如果從其中解得再代回通解或通積分中,就得到所求的初值問題的解.

第七頁,共三十六頁,2022年,8月28日為了簡潔方便,經(jīng)常采用向量與矩陣來研究一階微分方程組(1)令n維向量函數(shù)并定義則(1)可記成向量形式第八頁,共三十六頁,2022年,8月28日初始條件可記為

其中這樣,從形式上看,一階方程組與一階方程式完全一樣了。

進(jìn)一步,對n維向量Y和矩陣,第九頁,共三十六頁,2022年,8月28日定義易于證明以下性質(zhì):

當(dāng)且僅當(dāng)Y=0(0表示零向量,下同);

第十頁,共三十六頁,2022年,8月28日對任意常數(shù)有對任意常數(shù)有

稱‖Y‖和‖A‖分別為向量Y和矩陣A的范數(shù)。進(jìn)而還有如下性質(zhì)第十一頁,共三十六頁,2022年,8月28日有了以上準(zhǔn)備,完全類似于第三章定理3.1,我們有如下的關(guān)于初值問題(1)的解的存在與唯一性定理.定理5.1

如果函數(shù)F(x,Y)在n+1維空間的區(qū)域上滿足:

1)連續(xù);

2)關(guān)于Y滿足李普希茲條件,即存在N>0,使對于R上任意兩點有則初值問題(1)的解在上存在且唯一,其中

第十二頁,共三十六頁,2022年,8月28日如果在一階微分方程組(1)中,函數(shù)方程組(1)是線性的。為線性的。5.2一階線性微分方程組的一般概念

關(guān)于第十三頁,共三十六頁,2022年,8月28日則稱(1)為一階線性微分方程組。我們總假設(shè)(1)的系數(shù)及在某個區(qū)間上連續(xù)。向量形式:記:第十四頁,共三十六頁,2022年,8月28日向量形式如果在I上,,方程組變成(5.2)

我們把(5.2)稱為一階線性齊次方程組。

如果(5.2與(5.1)中A(x)相同,則稱(5.2)為(5.1)的對應(yīng)的齊次方程組.與第二章中關(guān)于一階線性微分方程的結(jié)果類似,我們可以證明如下的關(guān)于(5.1)的滿足初始條件(5.3)的解的存在與唯一性定理.

(5.1)

(5.3)第十五頁,共三十六頁,2022年,8月28日定理5.1′如果(5.1)中的A(x)及F(x)在區(qū)間I=上連續(xù),則對于上任一點x以及任意給定的方程組(5.1)的滿足初始條件(5.3)的解在上存在且唯一.

它的結(jié)論與定理3.1的不同之處是:定理3.1的解的存在區(qū)間是局部的,而定理5.1則指出解在整個區(qū)間上存在.第十六頁,共三十六頁,2022年,8月28日5.2一階線性齊次方程組的一般理論

1.一階線性齊次微分方程組解的性質(zhì)

本節(jié)主要研究一階線性齊次方程組(5.2)的通解結(jié)構(gòu).為此我們首先從(5.2)的解的性質(zhì)入手.

(5.2)

第十七頁,共三十六頁,2022年,8月28日

是方程組(5.2)的m個解,則

也是(5.2)的解,其中是任意常數(shù).換句話說,線性齊次方程組(5.2)的任何有限個解的線性組合仍為(5.2)的解.

(5.4)

第十八頁,共三十六頁,2022年,8月28日定理5.2告訴我們,一階線性齊次微分方程組(5.2)的解集合構(gòu)成了一個線性空間.為了搞清楚這個線性空間的性質(zhì),進(jìn)而得到方程組(5.2)的解的結(jié)構(gòu),我們引入如下概念.

定義5.1

,使得

在區(qū)間I上恒成立,則稱這m個向量函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān);否則稱它們在區(qū)間I上線性無關(guān).

顯然,兩個向量函數(shù)的對應(yīng)分量成比例是它們在區(qū)間I上線性相關(guān)的充要條件.另外,如果在向量組中有一零向量,則它們在區(qū)間I上線性相關(guān).

若有函數(shù)組

第十九頁,共三十六頁,2022年,8月28日

例3中兩個向量函數(shù)的各個對應(yīng)分量都構(gòu)成線性相關(guān)函數(shù)組.這個例題說明,向量函數(shù)組的線性相關(guān)性和由它們的分量構(gòu)成的函數(shù)組的線性相關(guān)性并不等價.下面介紹n個n維向量函數(shù)組

在其定義區(qū)間I上線性相關(guān)與線性無關(guān)的判別準(zhǔn)則.

我們考察由這些列向量所組成的行列式

通常把它稱為向量組(5.10)的朗斯基(Wronski)行列式.

(5.10)

第二十頁,共三十六頁,2022年,8月28日

定理5.3

如果向量組(5.10)在區(qū)間I上線性相關(guān),則它們的朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零.

證明依假設(shè),存在不全為零的常數(shù),使得

把上式寫成純量形式,有

這是關(guān)于的線性齊次代數(shù)方程組,且它對任一都有非零解根據(jù)線性代數(shù)知識,它的系數(shù)行列式都為零.故在I上有W(x)≡0.證畢.

W(x)對任一第二十一頁,共三十六頁,2022年,8月28日對于一般的向量函數(shù)組,定理3.3的逆定理未必成立.例如向量函數(shù)

的朗斯基行列式恒等于零,但它們卻是線性無關(guān)的.然而,當(dāng)所討論的向量函數(shù)組是方程組(5.8)的解時,我們有下面的結(jié)論.

定理5.4

如果是方程組(5.8)的n個線性無關(guān)解,則它的朗斯基行列式W(x)在I上恒不為零.

第二十二頁,共三十六頁,2022年,8月28日

由定理5.3和定理5.4立即得到如下的推論.

推論5.1

如果向量組(5.10)的朗斯基行列式W(x)在區(qū)間I上的某一點處不等于零,即,則向量組(5.10)在I上線性無關(guān).

實際上,這個推論是定理5.3的逆否命題.

推論5.2

如果方程組(5.8)的n個解的朗斯基行列式W(x)在其定義區(qū)間I上某一點x0等于零,即則該解組在I上必線性相關(guān).第二十三頁,共三十六頁,2022年,8月28日實際上,這個推論是定理5.4的逆否命題.

推論5.3

方程組(5.2)的n個解在其定義區(qū)間I上線性無關(guān)的充要條件是它們的朗斯基行列式W(x)在I上任一點不為零.

條件的充分性由推論5.1立即可以得到.

必要性用反證法及推論5.2證明是顯然的.證畢.2.一階線性齊次微分方程組解空間的結(jié)構(gòu).

我們把一階線性齊次方程組(5.2)的n個線性無關(guān)解稱為它的基本解組.

例4

易于驗證向量函數(shù)

第二十四頁,共三十六頁,2022年,8月28日

是方程組

的基本解組.

定理5.5

方程組(5.2)必存在基本解組.

第二十五頁,共三十六頁,2022年,8月28日

定理5.6

如果是齊次方程組(5.2)的基本解組,則其線性組合

是齊次方程組(5.2)的通解,其中為n個任意常數(shù).

推論5.4

線性齊次方程組(5.2)的線性無關(guān)解的個數(shù)不能多于n

個.

第二十六頁,共三十六頁,2022年,8月28日

3.劉維爾公式

齊次方程組(5.2)的解和其系數(shù)之間有下列聯(lián)系.

定理5.7

如果是齊次方程組(5.2)的n個解,則這n個解的朗斯基行列式與方程組(5.2)的系數(shù)有如下關(guān)系式

這個關(guān)系式稱為劉維爾(Liouville)公式.

第二十七頁,共三十六頁,2022年,8月28日

在代數(shù)學(xué)中,稱為矩陣的跡,記作,因此劉維爾公式可表為

從劉維爾公式可以看出,齊次方程組(5.2)的幾個解所構(gòu)成的朗斯基行列式W(x)或者恒為零,或者恒不為零.第二十八頁,共三十六頁,2022年,8月28日5.4一階線性非齊次方程組的一般理論

本節(jié)研究一階線性非齊次方程組

的通解結(jié)構(gòu)與常數(shù)變易法.

5.4.1通解結(jié)構(gòu)

定理3.8

如果是線性非齊次方程組(5.1)的解,而是其對應(yīng)齊次方程組(5.2)的解,則是非齊次方程組(5.1)的解.

定理5.9

線性非齊次方程組(5.1)的任意兩個解之差是其對應(yīng)齊次方程組(5.2)的解.

第二十九頁,共三十六頁,2022年,8月28日是對應(yīng)齊次方程組(5.2)的一個基本解組,則方程組(5.1)的通解為

這里是任意常數(shù).

定理5.10

線性非齊次方程組(5.1)的通解等于其對應(yīng)的齊次方程組(5.2)的通解與方程組(5.1)的一個特解之和.即若是非齊次方程組(5.1)的一個特解,

第三十頁,共三十六頁,2022年,8月28日

拉格朗日常數(shù)變易法

在第一章我們介紹了對于一階線性非齊次方程,可用常數(shù)變易法求其通解.現(xiàn)在,對于線性非齊次方程組,自然要問,是否也有常數(shù)變易法求其通解呢?事實上,定理5.10告訴我們,為了求解非齊次方程組(5.1),只需求出它的一個特解和對應(yīng)齊次方程組(5.2)的一個基本解組.而當(dāng)(5.2)的基本解組已知時,類似于一階方程式,有下面的常數(shù)變易法可以求得(5.1)的一個特解.

為了計算簡潔,我們定義(5.2)的基本解矩陣如下:

第三十一頁,共三十六頁,2022年,8月28日

其中每一列均為(5.2)的解,且是(5.2)的一個基本解組.因此.

由定理5.6知,齊次方程組(5.2)的通解可表為

,

其中C為列向量

第三十二頁,共三十六頁,2022年,8月28日現(xiàn)在求(5.1)的形如

的解,其中

為待定向量函數(shù).將(5.17)代入(5.1)有

其中

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論