2020高考數(shù)學(xué)專題練習(xí)利用空間向量求夾角

2020高考數(shù)學(xué)專題練習(xí)利用空間向量求夾角1．利用面面垂直建系例1：在如圖所示的多面體中，平面abba丄平面ABCD，四邊形ABBA為邊長(zhǎng)為2的菱1111形，ABCD為直角梯形，四邊形BCC1B為平行四邊形，且ABIICD，AB丄BC，CD=1-⑴若E，F(xiàn)分別為A1C1，叫的中點(diǎn)，求證：EF丄平面ABU；[5⑵若ZAAB二60。，AC與平面ABCD所成角的正弦值為丄5，求二面角A-AC-D的511余弦值．2．線段上的動(dòng)點(diǎn)問題例2:如圖，在YABCD中，ZA=30。,AD二杼,AB=2,沿BD將△ABD翻折到△ABD的位置，使平面ABC丄平面ABD.求證：AD丄平面BCD；⑵若在線段AC上有一點(diǎn)M滿足A^M=九AC，且二面角M-BD-C的大小為60。,3．翻折類問題例3:如圖1,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P為CD中點(diǎn)，分別將△PAD,△PBC沿PA,PB所在直線折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合于點(diǎn)O，如圖2?在三棱錐pOAB中，E為PB中點(diǎn)．求證：PO丄AB；求直線BP與平面POA所成角的正弦值;求二面角p—AO-E的大小.一、單選題1?如圖，在所有棱長(zhǎng)均為a的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別為B%,A^的中點(diǎn),則異面直線AD,CE所成角的余弦值為（）A．2C．DA．2C．D．2?在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱AA］丄底面ABC，點(diǎn)D在棱BB上，1且BD=1，若AD與平面AA”所成的角為?，則sinx的值是（）24D.424D.43.如圖，圓錐的底面直徑AB=2,高OC=、；2,D為底面圓周上的一點(diǎn)，ZAOD=120,則空間中兩條直線AD與BC所成的角為（）

A.30。B.60。C.75。D.90。4.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA二PD=后，平面ABCD丄平面PAD,M是PC的中點(diǎn)，O是AD的中點(diǎn)，則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是（）A?衛(wèi)B.痘C?唾D.適5585855?如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，ZBAC=90。,AB二AC二勒二2，點(diǎn)G與E分別是AB和CC的中點(diǎn)，點(diǎn)D與F分別是AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)?若GD丄EF,則線段DF長(zhǎng)111度的最小值為（）

A．B．C．A．B．C．D.2x2uuvu6?如圖，點(diǎn)A、B、C分別在空間直角坐標(biāo)系O-xyz的三條坐標(biāo)軸上，0C=（0,0,2），平面ABC的法向量為n=（2丄2）,設(shè)二面角C-AB-0的大小為9，則coS9=（）A．B．3C．A．B．3C．D．7?如圖所示，五面體ABCDE中，正△ABC的邊長(zhǎng)為1,AE丄平面ABC,CD//AE，且CD=丄AE?2設(shè)CE與平面設(shè)CE與平面ABE所成的角為aAE=k(k>0)若込n「則當(dāng)k取最大值時(shí)，平面BDE與平面ABC所成角的正切值為（）323232322B．1C2B．1C、込D.*38?已知三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A】在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB與底面ABC所成角的正弦值等于（）1A.B.A.B.C.D.9?如圖，四棱錐P-ABCD中，PB丄平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，ADZ/BC，AB丄BC，AB=AD=PB=3，點(diǎn)E在棱PA上，且PE=2EA，則平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為（）D.AD.10?在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BC】與平面A】BD所成角的余弦值為（）43C.D.43C.D.11?已知四邊形ABCD，AB=BD=DA=2，BC二CD=還，現(xiàn)將AABD沿BD折起，使二面角A-BD-C的大小在戀內(nèi)，則直線AB與CD所成角的余弦值取值范圍是（）B．AB．12?正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則BP與所成角的取值范圍是（）A．43B．42CA．43B．42C．D．nn6'3二、填空題13.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB二BC二Cq=2，AC二2點(diǎn)，m是AC的中點(diǎn),則異面直線CB與CM所成角的余弦值為-11已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，^BAD=60。,PD丄平面ABCD,且PD=AB,點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱PC上，若PF:FC=1:2，則直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為.設(shè)a,b是直線，d,P是平面，a丄a,b丄0，向量氣在a上，向量人在b上，勺=（1,1,1）,片=（-3,4,0），則a，0所成二面角中較小的一個(gè)的余弦值為-在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA丄平面ABCD,AB=2,AD」3,ZBAD=120^,PA=x,則當(dāng)x變化時(shí)，直線PD與平面PBC所成角的取值范圍是三、解答題如圖所示：四棱錐P-ABCD,底面ABCD為四邊形，AC丄BD,BC=CD,PB=PD,平面PAC丄平面PBD,AC=2爲(wèi)，ZPCA=30。，PC=4,求證：PA丄平面ABCD；若四邊形ABCD中，ZBAD=120。,AB丄BC是否在PC上存在一點(diǎn)M,使得直線BM與平面PBD所成的角的正弦值為託57，若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.38MC18?如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，BB廣3,AB1=而，"二600-⑴求證：平面ABC丄平面Beep;(2)求二面角B-AB1-C的正弦值.答案1．利用面面垂直建系例1：在如圖所示的多面體中，平面ABB"丄平面ABCD，四邊形ABB”為邊長(zhǎng)為2的菱形，ABCD為直角梯形，四邊形BCC1B1為平行四邊形，且AB〃CD，AB丄BC，CD=1.若E，F(xiàn)分別為A1C1，BC1的中點(diǎn)，求證：EF丄平面AB1C1；若ZA1AB=60。，Aq與平面ABCD所成角的正弦值為￡，求二面角令-Aq-D的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）-7.8【解析】（1）連接AB，丁四邊形ABBA為菱形，??AB丄AB1.T平面ABB”］丄平面ABCD，平面ABB^BA^I平面ABCD=AB，BCu平面ABCD,AB丄BC，???BC丄平面ABBA.又ABu平面ABBA，二AB丄BC.111^111TBC//BC，二AB丄BCBCAB=B，二AB丄平面ABC.11'11111||11111TE,F分別為AU，BC的中點(diǎn)，?EF/AB，二EF丄平面AB^.⑵設(shè)BC1=a，由（1）得BU丄平面AB%片,由ZAAB=60。,BA=2，得AB=2打,AC=\12+a2.111過點(diǎn)C]作CM丄DC，與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，取AB的中點(diǎn)H，連接AH,AM,如圖所示，又ZA]AB=60。，二厶^合為等邊三角形，?.AH丄AB，又平面ABB]片丄平面ABCD，平面ABB]A^|平面ABCD=AB，AHu平面ABB^片，故AH丄平面ABCD.TBCC1B1為平行四邊形，???CC1#BB1，ACq〃平面AABB^.又CD//AB，二CD〃平面AABB.11TCCJCD二C，二平面AA^BJ平面DC[M.由⑴，得BC丄平面A^BB]，.，.BC丄平面DCM，二BC丄CM.TBCIDC=C，.C1M丄平面ABCD，.ZC1AM是Aq與平面ABCD所成角.TABJAB，CB〃CB，二AB/平面ABCD，BC/平面ABCD，TABICB=B1111111111111平面ABCD〃平面ABC.111???A1H=C1M仝,sin^C1???A1H=C1M仝,sin^C1AM=簫=話士汽，解得a=不12+a2在梯形ABCD中，易證DE丄AB,分別以HA,HD,HA1的正方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則AG，0,0),DC,V3,0),A]C,0,73),B](2,0,73),B(-1,0,0),C(1,V3,0),亠uuu由BB=1（1,0上3），及bb1=CC，得C（2,、D）,uuuv()uuu(—)二AC[=J3八3八3，AD=V1^3,0，uuuAA=1（i,o,方）設(shè)平面ADq的一個(gè)法向量為m=（X],y,,z1）,1,y1,z1uuwm?AC〕=0

uuv1m?AD=0-3x+、3y+\3z=01_丿11一x+y=0\o"CurrentDocument"1丿1令y=1，得m=(3,1,2)設(shè)平面AA]設(shè)平面AA]C]的一個(gè)法向量為n=（x2,y2,z2）,uurvn?AC=0

uuUn?AA=01-3x+U3y+、3z=02_丿22-x+y3z=022令z=1，得n=(、；3,2,1)..".cosm,n—m||n|、、3+1+4八3+4+1<8八88_7又???二面角A1-Aq-D是鈍角，二二面角A1-Aq-D的余弦值是-§?2．線段上的動(dòng)點(diǎn)問題例2:如圖，在YABCD中，ZA=30。,AD=<3,AB=2,沿BD將AABD翻折到AA^BD的位置，使平面ABC丄平面A'BD.（1）求證：AD丄平面BCD;⑵若在線段AC上有一點(diǎn)M滿足AUM1=X，且二面角M-BD-C的大小為60。,求九的值.【答案（1）見解析；（2）乜二！.2【解析⑴△ABD中，由余弦定理，可得BD=1bd2+AD2=AB2,ZADB=90。，二ZDBC=90。.作DF丄AB于點(diǎn)F,?.?平面ABC丄平面ABD，平面ABCI平面ABD=AB，二DF丄平面ABC.■/CBu平面AB，二DF丄BC.又CB丄BD，BDIDF=D，二CB丄平面ADB.又ADu平面ADB，二CB丄AD.又AD丄BD，BDICB=B，二AD丄平面BCD.（2）由（1）知DA，DB，DA兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，以DA方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則B(0,1,0),CC：3,l,0),a￡,0,*3).設(shè)M(x,y,z),設(shè)平面MDB設(shè)平面MDB的一個(gè)法向量為m=(a,b,c),uuvm-DBuuvm-DB=0uuurnm-DM=0b=0—'、3九a+九b+(:3—\3九)?=0取a=1-尢nc=Xnm=G-尢,0,尢).平面CBD的-個(gè)法向量可取闕=(0,0上3),■/Xg[0,1!,a九=^1—123．翻折類問題例3:如圖1,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P為CD中點(diǎn)，分別將△PAD,△PBC沿PA,PB所在直線折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合于點(diǎn)O，如圖2.在三棱錐P-OAB中，E為PB中點(diǎn).求證：PO丄AB;求直線BP與平面POA所成角的正弦值；(3)求二面角P-AO-E的大小.【答案】（1）見解析；（2）竺；（3）Z.53【解析（1）在正方形ABCD中，P為CD中點(diǎn)，PD丄AD,PC丄BC,.?.在三棱錐p—OAB中，PO丄OA,PO丄OB.■/OAIOB=O,「.PO丄平面OAB.■/ABu平面OAB，二PO丄AB.（2）取AB中點(diǎn)F，連接OF，取AO中點(diǎn)M，連接BM.過點(diǎn)O作AB的平行線OG.■/PO丄平面OAB，二PO丄OF，PO丄OG.■/OA=OB，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，OF丄ABOF丄OG.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz．「3,0),bCi,、3,o),p(0,0,1),■/BO=BA,M為OA的中點(diǎn)，BM丄OA.■/PO丄平面OAB,POu平面POA,「.平面POA丄平面OAB.?.?平面POAI平面OAB=OA,BMu平面OAB,BM丄平面POABM丄平面POA.uuiv■■BM=f32’uu/m?BPlmluivBPuu/5平面POA的法向量m=C3,-1,0).BP=(1,—/3,1).uu/5設(shè)直線BP與平面POA所成角為a,則sina=cos〔m,BP???直線BP與平面POA所成角的正弦值為亜.5⑶由⑵知ef-^<2]uuvOE二121設(shè)平面設(shè)平面OAE的法向量為nruu/則有OA-n二0則有＜uuvOE-n=0x+\：3y=0-x+、3y+z=0令y=-1即n=(3-1,/.cos；m,n：=m?n=2=1|m|?|n2x42由題知二面角P-AO-E為銳角，.??它的大小為匹.3一、單選題1.如圖，在所有棱長(zhǎng)均為a的直三棱柱ABC-片普^中，D,E分別為B%,AC^的中點(diǎn),則異面直線AD，CE所成角的余弦值為（）A.B.CA.B.C.5D.【答案】C【解析】【解析】設(shè)AC的中點(diǎn)O,以O(shè)B，OC，OE為xy，z軸建立坐標(biāo)系，則A則A(o,2,0)，E(0,0,a)，uuvu則ADuuvu則AD二,-3a2a'2‘2丿uuvCE=3232aaa設(shè)AD與CE成的角為9,故選C．0xa—x—+—xa

設(shè)AD與CE成的角為9,故選C．2?在三棱柱ABC—ABCx中，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱AA1丄底面ABC，點(diǎn)D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AAUC所成的角為a,則sina的值是（）A?B空C?D.魚2244【答案】DD．D．3?如圖，圓錐的底面直徑AB=2，高OC二込,D為底面圓周上的一點(diǎn)，ZAOD=12廳,則空間中兩條直線AD與BC所成的角為（）

A.30。B.60。C.75。D.90?！敬鸢浮緽【解析】取AB中點(diǎn)E，以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OB為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，???圓錐的底面直徑AB=2，高OC二、込,D為底面圓周上的一點(diǎn)，ZAOD=120???圓錐的底面直徑AB=2，高OC二、込,D為底面圓周上的一點(diǎn)，ZAOD=120。,???可得A（0,-1,0），B（0,1,0），CC,0八2）,（畐1）—二,022I厶厶丿uuvu則AD=（運(yùn)3）—,2,0，22uuuvBC二C,-1,、2）,設(shè)空間兩條直線AD與BC所成的角為9，uuuuuvAD?BC…cos9=uuvuuvAD?BC???9=60。，即直線AD與BC所成的角為60。，故選B.4.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA=PD仝,平面ABCD丄平面PAD，M是PC的中點(diǎn)，O是AD的中點(diǎn)，則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是（）A.5<8585^■85A.5<8585^■8585【答案】D【解析】由題可矢口O（0,0,0）【答案】D【解析】由題可矢口O（0,0,0），P（0,0,2），B(1,2,0),C(-1,2,0),則OP=(0,0,2),OC=(-1,2,0),11\uuuvM——,1,1，BM=I2J???M是PC的中點(diǎn),32,-1,1丿設(shè)平面PCO的法向量n=（x,y,z）,直線BM與平面PCO所成角為9,uuuv則n-Op=2uuuv則n-Op=2z=0人」Suuun-OC=—x+2y=0可取n=(2,1,0),sin9=cos：；BM,luuivBM?nuuvBM-w48厲85故選D.5?如圖，在直三棱柱ABC-ABC1中，ZBAC=90。,AB=AC=AA1=2，點(diǎn)G與E分別是A1B1和CC］的中點(diǎn)，點(diǎn)D與F分別是AC和AB上的動(dòng)點(diǎn).若GD丄EF,則線段DF長(zhǎng)度的最小值為（）A.A.|v5B畢C于D.2爲(wèi)【答案】A解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，E(0,2,1)，G(1,0,2)，F(xiàn)(x,0,0)，D(0,y,0)，則GV=(-1,y,-2),EF=(x,-2,-l),由于GD丄EF,???GD?EF二一x一2y+2=0,x=2y—2,故|DF|故|DF|=\：x2+y2=\：(2y—2^2+y2=\：5y2—8y+4=.5(y—1)2+5Q???當(dāng)y=5時(shí)，線段DF長(zhǎng)度取得最小值，且最小值為于?故選A.uuvu6?如圖，點(diǎn)A、B、C分別在空間直角坐標(biāo)系O-xyz的三條坐標(biāo)軸上，0C=（0,0,2），平面ABC的法向量為n=（2,1,2），設(shè)二面角C一AB-O的大小為0，則cos6=（）A.B.CA.B.C.D.【答案】C【解析】由題意可知，平面ABO的一個(gè)法向量為：0嚴(yán)=（0,0,2）,uuvu由仝間向星的纟口論可伶.cos0=0C?w=喬=3'故選。7.如圖所示，五面體ABCDE中，正△ABC的邊長(zhǎng)為1,AE丄平面ABC,CD//AE，且CD=-AE.2設(shè)CE與平面ABE所成的角為-AE=k（k〉0），若以J,「則當(dāng)k取最大值時(shí)，平面BDE與平面ABC所成角的正切值為（）A．B．1C.、2D.、3【答案】C【解析】如圖所示，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(0,1,0)D[0,0,k],E（0,1,k）,I2丿（也1）—二,0122丿取AB的中點(diǎn)M，則MI』3,3,144uuuv則平面ABE的一個(gè)法向量為CM=（肓3）—,3,0I44丿由題意sina=uuuvuuuvCE-CMuuuv又由ag64CE-CM271+k2???2'sina=卅浮，解得予'k沁，???k的最大值為3當(dāng)k*2時(shí)，設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z)，==3uuu?2n-DE=y_'z=02uuv-,；312n-BE=x+y+z=0222取n由平面ABC取n由平面ABC的法向量為m=（0,0,1）,設(shè)平面BDE和平面ABC所成的角為9,則cos9=則cos9=3tan9=込，故選C.8.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A在底面ABC內(nèi)的射影為AABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于（）A.BA.B.D.【答案】B【解析】如圖，設(shè)A1在平面ABC內(nèi)的射影為O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OA1分別為x軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.設(shè)△ABC邊長(zhǎng)為】，則A設(shè)△ABC邊長(zhǎng)為】，則A序O’。B1至122uuu二AB]又平面ABC的法向量為uuu二AB]又平面ABC的法向量為n=（0,0,1）.設(shè)AB］與底面ABC所成角為a貝I」sina=uuuAB1?nuuvAB1-lnluuuvcos\AB],nJ2故直線AB］與底面ABC所成角的正弦值為于?故選B9?如圖，四棱錐P-ABCD中，PB丄平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，ADWBC，AB丄BC，AB=AD=PB=3，點(diǎn)E在棱PA上，且PE=2EA,則平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為（）D．AD．【答案】B【解析】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、BA、BP所在直線為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，

則B則B（0,0,0）,A（0,3,0）,P（0,0,3）,D（3,3,0）,E（0,2,1），二B賢=（0,2,1）,邯=（3,3,0）設(shè)平面BED的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）,則Jn'BV=2y+Z=°n-BD=3x+3y=0取z=1，得n=[2,-2，1]，平面ABE的法向量為m=(1,0,0),122丿1二cos；n,m1二cos；n,m；=26平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為J6．故選B．10?在正方體ABCD-ABCD中，直線BC]與平面A]BD所成角的余弦值為()A．32A．32【答案】C【解析】分別以DA，DC，DD]為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，可得D（0,0,0），B（1,1,0），C]（0,1,1），A]（1,0,1）,uuur（）uuur（）uuur（）二BC=^-1,0,1，AD=J,0,-1丿，BD=1-1，-1，011設(shè)n=Cx，y,z）是平面A】bd的一個(gè)法向量,ruuuvn-AD=0

uUvn-BD=0設(shè)直線BC1與平面ABD所成角為9,uuusin9=cos〈Bq,ruuuvn-AD=0

uUvn-BD=0設(shè)直線BC1與平面ABD所成角為9,uuusin9=cos〈Bq,n)uuu1BC1-lnluuuBC-n￡l=￥;???cW■:K=￥，即直線BC1與平面A嚴(yán)所成角的余弦值是號(hào)?故選C11?已知四邊形ABCD，AB=BD=DA=2，BC=CD=J2，現(xiàn)將△ABD沿BD折起，使二面角A-BD-C的大小在-，竺內(nèi)，則直線AB與CD所成角的余弦值取值范圍是（）66A.BA.B.D.【答案】A【解析】取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO,CO,■/AB=BD=DA=2.BC=CD=.訂，二CO丄BD,AO丄BD，且CO=1,AO=,???ZAOC是二面角A-BD-C的平面角，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，過點(diǎn)O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,B(0,-1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，

設(shè)二面角A-BD-C的平面角為e，則ee^連AO、B0，則AAOC=e,a（:3cose,0,叮3sine）,uiruuu二BA=3cose,l,、：3sine丿，CD=V-l,l，o）,設(shè)AB、CD的夾角為a,則cos設(shè)AB、CD的夾角為a,則cosa=uuttuiuAB-CDuunuurAB”|CDee冗5冗6，_6~cosee[-吏，迴22故1-V3cose|eo,2…cosaeO,5^2?故選A.812?正方體ABCD-ABC^中，點(diǎn)P在Af上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則BP與所成角的取值范圍是（）A.11A.114|呂3|呂B.114|呂[2|呂[C.116|呂2I呂【答案】DD.nn6,3【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,l-x,x),則BP=則BP=(x-1,-x,x)uuuvBC1=-1,0,1),設(shè)BP、BC1的夾角為auuvuuuv則cosa=BP-uuvuuuv則cosa=BP-BCuuv|UU1VBp-|BC11X.;(x-1)21?込1J3n?:當(dāng)x=時(shí)，cosa取最大值1，a=；?326當(dāng)x=1時(shí)，cosa取最小值丄,a=-?23．故選D．故選D．???BCJAD\,???BP與AD1所成角的取值范圍是-11163二、填空題13.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=Cq=2,AC=2肓,m是AC的中點(diǎn),則異面直線CB1與CM所成角的余弦值為?【答案】1428【解析】在直三棱柱ABC-A^C中，AB=BC=CC=2,AC=2忑,M是AC的中點(diǎn),

???BM丄AC,BM=<4^3=1.以M為原點(diǎn)，MA為x軸，MB為y軸，過M作AC的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則CCp3,0,0）,B]（0,1,2）,C]C/3,0,2）,M（0,0,0）,建立空間直角坐標(biāo)系，則CCp3,0,0）,B]（0,1,2）,C]C/3,0,2）,M（0,0,0）,uuuv?CB=（3,1,2），MCuuuvuuuuuuuu、+、CB?MC設(shè)異面直線CB與CM所成角為9，則COS0=uuJilUULTU'11CBj-|MC11=也<8?、刁=2814???異面直線CB1與CM所成角的余弦值為云14?已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，ZBAD=60。，PD丄平面ABCD,且PD=AB，點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱PC上，若PF:FC=1:2，則直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為.【解析】以D點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則D（0,0,0）,F10,2,3丿k33丿<374平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),4則cos^,n=4*3535即直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為空35.3515.設(shè)a,b是直線，a,卩是平面，a丄a,b丄0，向量氣在a上，向量b1在b上，a】=(1,1,1),bi=(-3,4,0)，則a，0所成二面角中較小的一個(gè)的余弦值為-【答案】315【解析】由題意，Ta1=(1,1,1)，片=(-3,4,0)，??cos—3+4+0??cos<3x515???a，b丄0，向量a1在a上，向量片在b上,a，0所成二面角中較小的一個(gè)余弦值為1!，故答案為亙.151516?在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA丄平面ABCD,AB=2，AD二朽,/BAD=12廳,PA=x,則當(dāng)x變化時(shí)，直線PD與平面PBC所成角的取值范圍是【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，得B（020）,r343）-,2-亠,022【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，得B（020）,r343）-,2-亠,022厶丿P（0,0,x）,設(shè)平面PBC的法向量從丄y'z）,器」2'-孚0|，囂上2"，厶厶丿又PUV=ruuv.BC-m二0\uw、PB-m=0I,一x丿-2朽,；4+12.\：3+x2X2[1■36；X2+4x2+24=2方-sin9g:0丄1，則9gr0,匹12JI6_【答案】r0上16_三、解答題17.如圖所示：四棱錐P-ABCD,底面ABCD為四邊形，AC丄BD,BC=CD,PB=PD,平面PAC丄平面PBD,AC=2污,"CA=30。,PC=4,（1）求證：PA丄平面ABCD;⑵若四邊形ABCD中，ZBAD=120。,AB丄BC是否在PC上存在一點(diǎn)M，使得直線BM與平面PBD所成的角的正弦值為3也，若存在，求PM的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.38MC【答案（1）見解析；（2）存在，=1.MC【解析⑴設(shè)ACIBD二O，連接POQBC=CD,AC丄BD,/.O為BD中點(diǎn)又QPB=PD,???PO丄BD平面PAC丄平面PBD,平面PACI平面PBD=POBD丄平面PAC，而P