工程力學運動學與動力學

工程力學運動學與動力學第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日第13章點的運動與剛體的基本運動點的運動剛體的基本運動第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.1點的運動學運動學研究模型概念：點：——不考慮質(zhì)量和大小及形狀時的物體點是運動學研究模型之一剛體：——不考慮質(zhì)量；但是,其大小及形狀不可忽略的物體剛體是運動學研究的另一物體模型第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.1點的運動學

——作為描述物體與之相對位置的參考物體

參考系1）參考體——建立在參考體上的坐標系在工程中的力學研究中，需要指明參考體；通常將參考系固定在地面上，或者機器的機架上2）參考系第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.1點的運動學

描述點運動的矢量法OM1MrM2運動軌跡v考慮點M運動：運動方程：r=r(t)(13-1)

以某確定點為參考點，以參考點到動點位置為矢徑來描述點的位置的方法——矢量法速度：v=drdt(13-2)單位:m/s，方向:軌跡切線加速度：a=dvdt=d2rdt2=r..(13-3)=r.單位：m/s2第五頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.1點的運動學

描述點運動的直角坐標法OyxzjikMrzyx考慮點M在坐標系中的坐標：(x,y,z)r=x.i+y.j+z.k(13-4)運動方程：x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)(13-5)式（13-6）稱為直角形式的運動方程；消去參數(shù)t得到點的軌跡方程F(x,y,z)

=0(13-6)第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.1點的運動學

描述點運動的直角坐標法OyxzjikMrzyxr=x.i+y.j+z.k(13-4)速度：v=drdt=x.i+y.j+z.k···(13-7)設(shè)：速度在直角坐標軸上的投影:(vx，vy，vz)v=vx.i+vy.j+vz.k(13-8)得到：vx=x·vy=y·vz=z·(13-9)結(jié)論：點的速度在直角坐標軸上的投影，等于點的對應(yīng)坐標對時間的一階導(dǎo)數(shù)第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.1點的運動學

描述點運動的直角坐標法OyxzjikMrzyxr=x.i+y.j+z.k(13-4)速度：v=vx.i+vy.j+vz.k(13-8)加速度：a=v·=r··=x.i+y.j+z.k······=ax.i+ay.j+az.k(13-10)其中：(ax，ay，az)表示加速度在直角坐標軸上的投影。得到：ax=vx·ay=vy·az=vz···=x··=y··=z(13-11)點的加速度在直角坐標軸上的投影，等于點的對應(yīng)速度投影對時間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于點的對應(yīng)坐標對時間的二階導(dǎo)數(shù)。結(jié)論:第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸O轉(zhuǎn)動，其端點C與規(guī)尺AB的中點以鉸鏈相連接，而規(guī)尺A，B兩端分別在相互垂直的滑槽中運動。求：①M

點的運動方程②軌跡③速度④加速度例13-1BACOMyxj解：：x=x(t)，y=y(t)。x=(OCcosj+CMcosj)=(l+a)coswty=AMsinj

=(l-a)sinwtta，MClBCACOCwj=====,

：已知點M作曲線運動，取坐標系xOy運動方程第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日BACOMyxjx=(l+a)coswty=(l-a)sinwt消去參數(shù)t，得軌跡方程：橢圓速度：vx=x·=-

(l+a)wsinwtvy=y·=(l-a)wcoswtvM

=vx2+vy2=wl2+a2-2a.l.cos2w

tcos(v,i)=vxv

(l+a)wsinwtl2+a2-2a.l.cos2w

t=-cos(v,j)=vyv

(l-a)wcoswtl2+a2-2a.l.cos2w

t=x2(l+a)2y2(l-a)2+=1第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日x=(l+a)coswty=(l-a)sinwt加速度：cos(a,i)=axa

-(l+a)

coswtl2+a2-2a.l.cos2wt=-cos(a,j)=aya

-(l-a)

sinwtl2+a2-2a.l.cos2wt==w2l2+a2-2a.l.cos2wt#BACOMyxjax=vx···=x=–(l+a)w2coswt

ay=vy···=y=–(l–a)w2sinwt

a=a2x+a2y

=–(l+a)2w4cos2wt

+(l–a)2w4sin2wt

第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.1點的運動學

描述點運動的弧坐標法

利用點的運動軌跡建立坐標系，并描述和分析點的運動的方法——弧坐標法OMs(+)(-)運動方程：s=f(t)(13-12)該式稱為：以弧坐標表示的點的運動方程速度：v=v.ttddts=OM’Mrr’vτΔrΔs(13-15)速度大?。?/p>

v=ddts=s·方向：沿動點軌跡的切線方向（與運動方向一致）第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日=at+annt13.1點的運動學

描述點運動的弧坐標法運動方程：s=f(t)(13-12)速度：v=v.ttddts=(13-15)加速度：a=dvdt=dvdtt+vddtτ反映速度大小變化at反映速度方向變化an(13-16)切向加速度：at=v···=s(13-20)法向加速度：anv2r=(13-22)at=v.·tanv2r=na=at+an(全)加速度：(13-18)第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.1點的運動學

描述點運動的弧坐標法=at+annt加速度：a=dvdt=dvdtt+vddtτ(13-16)切向加速度：at=v···=s(13-20)法向加速度：anv2r=(13-22)at=v.·tanv2r=na=at+an(全)加速度：(13-18)

切向加速度反映的是速度值對時間的變化率，方向沿軌跡的切線方向；法向加速度是加速度方向的改變率，方向永遠指向曲率中心。大?。篴=at2+an2方向：tanq=atan第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日列車沿半徑為R=800m的圓弧軌道作勻加速運動。如初速度為零，經(jīng)過2min后，速度到達54km/h。求：列車起點和未點的加速度。例13-2RsO解：分析：v0=0，at=Constant，t=120s，v=15m/s列車作曲線加速運動，取弧坐標如圖dvdt=at=常量∵積分得：v=attat=

v/t15120==0.125m/s2第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日RsO列車沿半徑為R=800m的圓弧軌道作勻加速運動。如初速度為零，經(jīng)過2min后，速度到達54km/h。求：列車起點和未點的加速度。例13-2①t=0,an=0,a=at=0.125m/s2②t=2min=120sanv2r=(15m/s)2800m==0.281m/s2a=at2+an2=0.308m/s2#第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.2剛體的基本運動剛體基本運動的兩個類型：AB平行移動定軸轉(zhuǎn)動第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.2剛體的基本運動

平移

剛體運動時，其上一直線在運動過程中始終平行于初始位置稱為平行移動，簡稱平移。OyxzABrABrBrAA1B1A2B2A、B兩點的軌跡相同rA=rB+rAB常矢量第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.2剛體的基本運動

平移OyxzABrABrBrAA1B1A2B2rA=rB+rAB速度：drABdt=0∵drAdt=∴drBdt故vA=vB(13-24)加速度：dvAdt=dvBdt得aA=aB(13-25)結(jié)論：當剛體做平動時，其上各點的軌跡形狀相同；在每一瞬時的速度、加速度也相同平移剛體運動，可看作點的運動研究第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.2剛體的基本運動

定軸轉(zhuǎn)動稱為定軸轉(zhuǎn)動

運動剛體上(或其擴展部分)有一條直線始終保持不動。轉(zhuǎn)軸ⅠjⅡjAZw運動方程：定軸轉(zhuǎn)動剛體位置：——j轉(zhuǎn)角(rad)j=f(t)(13-26)角速度：=d

tdjw=j·(13-27)方向：逆時針為正，單位：弧度/秒(rad/s)第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.2剛體的基本運動

定軸轉(zhuǎn)動ⅠjⅡjAZw運動方程：j=f(t)(13-26)角速度：=d

tdjw=j·(13-27)角速度與工程轉(zhuǎn)速關(guān)系：2pn60ω==pn30轉(zhuǎn)速n：r/min(轉(zhuǎn)/分)[rpm](13-28)第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.2剛體的基本運動

定軸轉(zhuǎn)動ⅠjⅡjAZw運動方程：j=f(t)(13-26)角速度：=d

tdjw=j·(13-27)角加速度：2dt2dj=dtdwa==j··=w·(13-29)

角加速度的大小等于角速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)；或等于轉(zhuǎn)角方程對時間的二階導(dǎo)數(shù)。單位：弧度/秒2(rad/s2)第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日例13-5

計算機硬盤驅(qū)動器的電機勻變速轉(zhuǎn)動，啟動后為了盡快達到最大轉(zhuǎn)速，要求3s內(nèi)轉(zhuǎn)速從零增加到3000r/min

，求電機的角加速度及轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)。解：t=0,w0

=0t=3s:w=pn303000p30==100p(rad/s)dtdwa==常量（勻變速轉(zhuǎn)動）30∫100p0∫adt=dw積分：a=(rad/s2)100p3解得：又：dtdwa==djdw×dtdj=w×dtdj第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日例13-5

計算機硬盤驅(qū)動器的電機勻變速轉(zhuǎn)動，啟動后為了盡快達到最大轉(zhuǎn)速，要求3s內(nèi)轉(zhuǎn)速從零增加到3000r/min

，求電機的角加速度及轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)。積分：#dtdwa==djdw×dtdj=w×djdwj0∫100p0∫adj=wdw解得：=150(rad)j=××(100p)2(rad)3100p12j2pN=150p2p==75(轉(zhuǎn))第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.2剛體的基本運動

定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點的速度和加速度OO’sjMMABrωvatanaq轉(zhuǎn)動方程：s=rj(13-30)速度：v=s·=rw=rj·(13-31)加速度：at=dvdt=s··=ra=rj··(13-32)an=v2ρ(rw)2r==rw2(13-33)=aw2a=at2+an2=ra2+w4tanq=atan(13-34)第二十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日13.2剛體的基本運動

定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點的速度