高中數(shù)學蘇教版第一章立體幾何初步 章末知識整合

章末知識整合一、函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想是一種重要的數(shù)學思想．在立體幾何中，若一個量未知求另一個量的最值時，可利用函數(shù)思想去解決．[例1]如圖所示，圓柱OO1內有一個三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O的直徑，AA1＝AC＝CB(1)證明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；(2)設E，F(xiàn)分別為AC，BC上的動點，且CE＝BF＝x(0<x<2)，問當x為何值時，三棱錐C-EC1F的體積最大，(1)證明：因為BB1⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以BB1⊥AC.因為AB是圓O的直徑，所以BC⊥AC，又BC∩BB1＝B，所以AC⊥平面B1BCC1，而AC?平面A1ACC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.(2)解：因為CE＝BF＝x，所以CF＝2－x.VC-EC1F＝VC1-ECF＝eq\f(1,3)S△ECF·CC1＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)x·(2－x)·2＝eq\f(1,3)(2x－x2)＝eq\f(1,3)[－(x－1)2＋1]，又0<x<2，所以當x＝1時，三棱錐C-EC1F的體積最大，最大值為eq\f(1,3).規(guī)律總結將幾何中的最值問題轉化為二次函數(shù)是立體幾何與代數(shù)相結合的典范，應體會此方法思想的應用技巧．[變式訓練]1．圓錐的底面半徑為2cm，高為4cm解：如圖所示，為圓柱和圓錐的軸截面，設所求圓柱的底面半徑為r，母線長為l，S圓柱側＝2π·lr.因為eq\f(r,2)＝eq\f(4－l,4)，所以l＝4－2r.所以S圓柱側＝2π·lr＝2π·r·(4－2r)＝－4π(r－1)2＋4π≤4π.所以當r＝1時，圓柱的側面積最大且Smax＝4πcm2.二、轉化與化歸思想的應用轉化與化歸就是處理問題時，把待解決的問題或難解決的問題，通過某種轉化過程，歸結為一類已經解決的問題，最終使問題得到解答的一種數(shù)學思想．轉化與化歸思想是立體幾何中重要且常用的數(shù)學思想．[例2]如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1(1)求證：AC⊥平面B1D1DB；(2)求AB1與平面B1D1DB所成的角；(3)求三棱錐B-ACB1的體積．分析：(1)證明AC⊥BB1且AC⊥BD即可．(2)結合(1)求解，關鍵是先作出所求的角．(3)利用VB-ACB1＝VC-ABB1求解．(1)證明：因為BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BB1⊥AC.又AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面B1D1DB.(2)解：設AC與DB的交點為O，連接B1O，由(1)知AC⊥平面B1D1DB，所以B1O就是AB1在平面B1D1DB上的射影．所以∠AB1O就是所求的角．因為AB1＝eq\r(2)，AO＝eq\f(\r(2),2)，∠AOB1＝90°，所以∠AB1O＝30°.(3)解：VB-ACB1＝VC-ABB1＝eq\f(1,3)CB·S△ABB1＝eq\f(1,6).規(guī)律總結(1)空間中線線、線面、面面三者之間相互轉化的關系如下：線線平行?線面平行?面面平行；線線垂直?線面垂直?面面垂直．有關線面位置關系的論證往往就通過這種聯(lián)系和轉化得到解決．(2)通過添加輔助線或輔助面將立體幾何問題轉化為平面幾何問題．(3)空間角的求解．通常將空間的角(異面直線的夾角、直線與平面所成的角、二面角)轉化為平面內兩條相交直線的夾角，通過三角形求解，即立體問題平面化．[變式訓練]2．已知圓柱的高為5π，底面半徑為2eq\r(3)，軸截面為矩形A1ABB1，在母線AA1上有一點P，且PA＝π，在母線BB1上取一點Q，使B1Q＝2π，則圓柱側面上P，Q兩點間的最短距離為________．解析：如圖甲所示，沿圓柱的母線AA1剪開得矩形(如圖乙所示)，過點P作PE∥AB交BB1于點E，令PA＝a，B1Q＝b，則PE＝AB＝eq\f(1,2)×2πR＝πR＝2eq\r(3)π，QE＝h－a－b＝2π.所以PQ＝eq\r(PE2＋QE2)＝eq\r(（πR）2＋（h－a－b）2)＝4π.答案：4π三、整體思想的應用整體思想在代數(shù)式的化簡與求值、解方程(組)、幾何證明等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形(體)等都是整體思想在解數(shù)學問題中的具體運用．[例3]一個長方體的全面積為11，十二條棱長度之和為24，求這個長方體的一條對角線長．分析：要求長方體對角線長，只要求長方體的一個頂點上的三條棱的長即可．解：設此長方體的長、寬、高分別為x、y、z，對角線長為l，則由題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（xy＋yz＋zx）＝11，,4（x＋y＋z）＝24.))由4(x＋y＋z)＝24得x＋y＋z＝6，從而由長方體對角線性質得：l＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(（x＋y＋z）2－2（xy＋yz＋zx）)＝eq\r(62－11)＝5.規(guī)律總結整體思想就是在探究數(shù)學問題時，研究問題的整體形式、整體結構或對問題的數(shù)的特征、形的特征、結構特征做出整體性處理．整體思想的含義很廣，根據(jù)問題的具體要求，可以對代數(shù)式做整體變換，或整體代入，也可以對圖形做整體處理．[變式訓練]3.如圖所示，長方體三個面的對角線長分別是a，b，c，求長方體對角線AC′的長．解：設長方體的長、寬、高分別為x，y，z，由題意得：對角線AC′＝eq\r(x2＋y2＋z2)，而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝c2，①,x2＋z2＝b2，②,y2＋z2＝a2.③))由①②③得：x2＋y2＋z2＝eq\f(a2＋b2＋c2,2)，所以對角線：AC′＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(1,2)eq\r(2（a2＋b2＋c2）).四、分類討論思想的應用由于圖形的類型或位置不確定引起分類討論．[例4]用互相平行且距離為27的兩個平面截球，兩個截面圓的半徑分別為r1＝15，r2＝24，試求球的表面積．分析：應分兩個平行截面位于球心的同側或兩側進行討論．解：設球的半徑為R，球心O到兩平行截面的距離為OO1＝d1，OO2＝d2.(1)當兩個平行截面位于球心O的兩側時，如圖①所示，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R2＝152＋deq\o\al(2,1)，,R2＝242＋deq\o\al(2,2)，,d1＋d2＝27，))解得d1＝20，d2＝7，R＝25.故S球＝4πR2＝2500π.圖①圖②(2)當兩個平行截面位于球心O的同側時，如圖②所示，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R2＝152＋deq\o\al(2,1)，,R2＝242＋deq\o\al(2,2)，,d1－d2＝27，))解得d1＝20，d2＝－7，不符合題意，即這種情況不存在．綜上可知，球的表面積2500π.規(guī)律總結當在已知條件下存在多種可能的情況時，須分類討論每一種可能的情況，綜合得出結果．本題雖然第(2)種情形不成立，但也必須考慮到．[變式訓練]4．一張長為10cm，寬為5cm的紙，以它為側面卷成一個圓柱，解：有兩種情況：(1)以5cm的邊為圓柱的母線，則形成的圓柱的底面周長為10cm，故底面半徑為r＝eq\f(5,π)cm，因此V圓柱＝πr2h＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,π)))eq\s\up12(2)·5＝eq\f(125,π)(cm3)．(2)以10cm的邊為圓柱的母線則