2022年浙江省杭州市四季青中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2022年浙江省杭州市四季青中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知λ∈R，函數(shù)g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若關(guān)于x的方程f（g（x））=λ有6個(gè)解，則λ的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】令g（x）=t，畫出y=f（t）與y=λ的圖象，則方程f（t）=λ的解有3個(gè)，由圖象可得，0＜λ＜1．且三個(gè)解分別為t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ再由g（x）=t，應(yīng)用判別式大于0，分別求解，最后求交集即可．【解答】解：令g（x）=t，則方程f（t）=λ的解有3個(gè)，由圖象可得，0＜λ＜1．且三個(gè)解分別為t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，則x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，均有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，當(dāng)0＜λ＜時(shí)，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，故λ的取值范圍為（0，）．故選D．2.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則等于A. B.

C.

D.

參考答案：D3.已知直線l：與拋物線C：相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若,則k=（）A．

B．

C．

D．參考答案：D由消去y得：.解得：，設(shè).由根據(jù)拋物線定義及得：且由（2）（3）解得：，代入（1），.故選D.

4.（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)．若f（x）的最小正周期是π，且當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f（x）=sinx，則f（）的值為（）A．﹣

B．

C．﹣

D．參考答案：D【考點(diǎn)】：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)的周期性．【專題】：計(jì)算題；壓軸題．【分析】：要求f（），則必須用f（x）=sinx來(lái)求解，那么必須通過(guò)奇偶性和周期性，將變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間[0]上，再應(yīng)用其解析式求解．解：∵f（x）的最小正周期是π∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)∴f（）=f（）=sin=．故選D【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，周期性以及應(yīng)用區(qū)間上的解析性求函數(shù)值，是基礎(chǔ)題，應(yīng)熟練掌握．5.設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，則“”是“為遞減數(shù)列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：D略6.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不一定正確的是（

）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生．A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多參考答案：D【分析】結(jié)合兩圖對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%，占一半以上，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的,超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后占總?cè)藬?shù)的，比80前多，所以該選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)D,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后占總?cè)藬?shù)的，80后占總?cè)藬?shù)的41%，所以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后不一定比80后多.所以該選項(xiàng)不一定正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查餅狀圖和條形圖，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.7.從5位男實(shí)習(xí)教師和4位女實(shí)習(xí)教師中選出3位教師派到3個(gè)班實(shí)習(xí)班主任工作，每班派一名，要求這3位實(shí)習(xí)教師中男女都要有，則不同的選派方案共有

（

）

A．210

B．420

C．630

D．840參考答案：B8.已知拋物線y2＝2px（p＞0）與雙曲線（a＞0，b＞0）有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為

(

)參考答案：D略9.已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在［0，+∞］上是增函數(shù)，不等式f（ax+1）≤f（x–2）對(duì)任意x∈[，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．［–3，–1］

B．［–2，0］

C．［–5，1］

D．［–2，1］參考答案：B．試題分析：在R上的偶函數(shù)f（x）在［0，+∞］上是增函數(shù)，則在［-∞，0］上是減函數(shù)，若不等式f（ax+1）≤f（x–2）對(duì)任意x∈[，1]恒成立，即對(duì)任意x∈[，1]恒成立，當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)任意x∈[，1]恒成立，可排除A；當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)任意x∈[，1]不恒成立，可排除C、D，故選B.考點(diǎn)：函數(shù)的恒成立問(wèn)題.10.已知i為虛數(shù)單位，則（

）A．

B. C.

D.

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知方程的兩根為，則方程的兩根分別為________________.參考答案：12.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在線段AC上，AD=AC（為常數(shù)，且），為定長(zhǎng)，則△ABC的面積最大值為

．參考答案：13.已知函數(shù)(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在閉區(qū)間上的最大值和最小值．參考答案：略14.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為

。參考答案：15.已知復(fù)數(shù)z滿足=1，則z的幅角主值范圍是

．參考答案：kπ+－arccos≤θ≤kπ++arccos，(k=0，1)解：=1?4r4+(4cos2θ－1)r2+1=0，這個(gè)等式成立等價(jià)于關(guān)于x的二次方程4x2+(4cos2θ－1)x+1=0有正根．△=(4cos2θ－1)2－16≥0，由x1x2=>0，故必須x1+x2=－>0．∴cos2θ≤－．∴(2k+1)π－arccos≤2θ≤(2k+1)π+arccos．∴

kπ+－arccos≤θ≤kπ++arccos，(k=0，1)16.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，在點(diǎn)A處的切線與x，y軸分別交于點(diǎn)M，N，若的面積為，則_________________。參考答案：2【分析】設(shè)出直線的方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得過(guò)的切線方程，由此求得的坐標(biāo)，代入三角形的面積公式列方程，解得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義求得的值.【詳解】由題意，焦點(diǎn)，設(shè)直線，不妨設(shè)為左交點(diǎn)，，則過(guò)的切線為，則，所以，解得，則，根據(jù)拋物線的定義可得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的切線方程，考查拋物線的定義，屬于中檔題.17.凸函數(shù)的性質(zhì)定理為如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，有已知函數(shù)y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).（Ⅰ）若對(duì)于任意成立，試求的取值范圍；（Ⅱ）記，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）由解得由解得所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

3分所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值

4分因?yàn)閷?duì)于任意成立，所以即可則，由解得所以a得取值范圍是

6分（Ⅱ）依題意得，則由解得x>1，由解得0<x<1

8分所以函數(shù)g(x)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以

10分解得所以b得取值范圍是

12分19.

期末考試結(jié)束后，隨機(jī)抽查了某校高三(1)班5名同學(xué)的數(shù)學(xué)與物理成績(jī)，如下表：學(xué)生數(shù)學(xué)8991939597物理8789899293（1）分別求這5名同學(xué)數(shù)學(xué)與物理成績(jī)的平均分與方差，并估計(jì)該班數(shù)學(xué)與物理成績(jī)那科更穩(wěn)定。（1）從4名數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)中選2人參加一項(xiàng)活動(dòng)，以X表示選中同學(xué)的物理成績(jī)高于90分的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)的值．參考答案：解：（Ⅰ）5名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為:

5名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為:

5名學(xué)生物理成績(jī)的平均分為:

5名學(xué)生物理成績(jī)的方差為:

因?yàn)闃颖镜臄?shù)學(xué)成績(jī)方差比物理成績(jī)方差大,所以,估計(jì)高三(1)班總體物理成績(jī)比數(shù)學(xué)成績(jī)穩(wěn)定.（Ⅱ）由題意可知，，，隨機(jī)變量的分布列是X012P（X）

略20.已知數(shù)列滿足：．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．參考答案：（Ⅰ）；

（Ⅱ）略21.已知函數(shù)f（x）=（ax+1）ex﹣（a+1）x﹣1．（1）求y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；（2）若x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f'（0）=0，再求出f（0）=0，利用直線方程的點(diǎn)斜式求得y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；（2）令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），則g′（x）=（ax+1+2a）ex，然后對(duì)a分類分析，當(dāng)a≥0，則g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合g（0）=0，可得g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，再由f（0）=0，可得x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立；當(dāng)a＜0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)分析x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0不恒成立，由此可得a的取值范圍．【解答】解：（1）∵f'（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），∴f'（0）=0，因此y=f（x）在（0，f（0））處的切線l的斜率為0，又f（0）=0，∴y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=0；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（ax+1）ex﹣（a+1）x﹣1＞0恒成立，令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），則g′（x）=（ax+1+2a）ex，若a≥0，則g′（x）=（ax+1+2a）ex＞0，g（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1）在（0，+∞）上為增函數(shù)，又g（0）=0，∴g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，由f（0）=0，∴x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立；若a＜0，當(dāng)a時(shí)，g′（x）＜0在（0，+∞）上成立，g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，∵g（0）=0，∴g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，由f（0）=0，∴x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0不成立；當(dāng)＜a＜0時(shí)，x∈（0，）時(shí)，g′（x）＞0，x∈（）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上有最大值為g（），當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）＜0，即f′（x）＜0，∴存在x0∈（），使f（x）＜0，即x＞0時(shí)，不等式f（x）＞0不恒成立．綜上，a的取值范圍為[0，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了恒成立問(wèn)題的求解方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是難題．22.已知函數(shù)f（x）=|2x﹣a|+a．（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≤6的解集；（2）設(shè)函數(shù)g（x）=|2x﹣1|，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x