北京北大附屬實驗學校2022高三數學理期末試題含解析

北京北大附屬實驗學校2022高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C2.已知函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍是（

）A．(－1,0)

B．(－1,+∞)

C．(－2,0)

D．(－2,－1)

參考答案：A3.已知，則函數在區(qū)間(1，2)上存在一個零點的概率為

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略4.已知函數的圖象如圖所示，，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B略5.函數f（x）=lnx+ex（e為自然對數的底數）的零點所在的區(qū)間是（）A． B． C．（1，e） D．（e，+∞）參考答案：A考點： 二分法求方程的近似解．

專題： 函數的性質及應用．分析： 函數f（x）=lnx+ex在（0，+∞）上單調遞增，因此函數f（x）最多只有一個零點．再利用函數零點存在判定定理即可判斷出．解答： 解：函數f（x）=lnx+ex在（0，+∞）上單調遞增，因此函數f（x）最多只有一個零點．當x→0+時，f（x）→﹣∞；又=+=﹣1＞0，∴函數f（x）=lnx+ex（e為自然對數的底數）的零點所在的區(qū)間是．故選：A．點評： 本題考查了函數零點存在判定定理、函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6.設i為虛數單位，復數的實部為（

）A.3 B.-3 C.2 D.-2參考答案：A【分析】根據復數的運算法則及復數的概念即可求解.【詳解】因為，所以復數的實部為3，故選A【點睛】本題主要考查了復數的運算，復數的概念，屬于容易題.7.函數，在區(qū)間上任取一點，則的概率為（）．A.

B.C.

D.參考答案：A8.已知向量滿足（

）參考答案：C略9.現有4張卡片，正面分別標有1，2，3，4，背面完全相同．將卡片洗勻，背面向上放置，甲、乙二人輪流抽取卡片，每人每次抽取一張，抽取后不放回，甲先抽．若二人約定，先抽到標有偶數的卡片者獲勝，則甲獲勝的概率是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】甲獲勝是指甲第一次抽取偶數或甲第一次抽到奇數，同時乙第一次也抽到奇數，由此能求出甲獲勝的概率．【解答】解：甲獲勝是指甲第一次抽取偶數或甲第一次抽到奇數，同時乙第一次也抽到奇數，∴甲獲勝的概率是P==．故選：D．10.已知函數f(x)是偶函數，當時，，則曲線在處的切線方程為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】首先根據函數的奇偶性，求得當時，的解析式，然后求得切點坐標，利用導數求得斜率，從而求得切線方程.【詳解】因為，，，，，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：A【點睛】本小題主要考查根據函數奇偶性求函數解析式，考查利用導數求切線方程，屬于基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為．參考答案：3【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x﹣y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可．【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由得A（3，3），z=2x﹣y可轉換成y=2x﹣z，z最大時，y值最小，即：當直線z=2x﹣y過點A（3，3）時，在y軸上截距最小，此時z取得最大值3．故答案為：3．12.已知直線（為常數）與函數及函數的圖象分別相交于兩點，則兩點之間的距離為_________。參考答案：13.（幾何證明選做題）如圖所示，圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點，BC=3,過C作圓的切線，則點A到直線的距離AD=

.參考答案：略14.已知函數，函數，若存在，使得成立，則實數的取值范圍是_______________.參考答案：略15.已知正數x，y滿足約束條件，則的最小值為

．參考答案：【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，令t=2x+y，化為y=﹣2x+t，數形結合求得t的最大值，進一步求得的最小值．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A（1，2）．令t=2x+y，化為y=﹣2x+t，由圖可知，當直線y=﹣2x+t過A時，t有最大值為4．∴的最小值為．故答案為：．16.執(zhí)行圖2的程序框圖，若p＝0.8，則輸出的n＝＿＿＿參考答案：417.已知正的邊長為，那么的平面直觀圖的面積為_____

.參考答案：.解析：

的面積三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(12分)已知函數f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的圖象過點(－1，－6)，且函數g(x)＝＋6x的圖象關于y軸對稱．

(1)求m、n的值及函數y＝f(x)的單調區(qū)間；（6分）(2)若a>0，求函數y＝f(x)在區(qū)間(a－1，a＋1)內的極值．（6分）參考答案：21.(1)由函數f(x)的圖象過點(－1，－6)，得m－n＝－3.①…由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得＝3x2＋2mx＋n，………………2分則g(x)＝＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的圖象關于y軸對稱，所以－＝0，解得m＝－3.代入①得n＝0.于是＝3x2－6x＝3x(x－2)．………4分由>0得x>2或x<0，故f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，0)，(2，＋∞)；………………5分由<0，得0<x<2，故f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,2)．………6分(2)由(1)得＝3x(x－2)，令＝0得x＝0或x＝2.………………7分當x變化時，，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)＋0－0＋f(x)增函數極大值減函數極小值增函數由此可得：當0<a<1時，f(x)在(a－1，a＋1)內有極大值f(0)＝－2，無極小值；當a＝1時，f(x)在(a－1，a＋1)內無極值；當1<a<3時，f(x)在(a－1，a＋1)內有極小值f(2)＝－6，無極大值；

略19.（12分）在平行四邊形ABCD中，A（1，1），=（6，0），M是線段AB的中點，線段CM與BD交于點P．（1）若=（2，5），求點C的坐標；（2）當||=||時，求點P的軌跡．參考答案：考點： 軌跡方程；平行向量與共線向量．專題： 綜合題；平面向量及應用．分析： （1）利用向量的坐標運算、中點坐標公式、向量相等即可得出；（2）利用三點共線可得斜率關系，再利用模相等即可得出．解答： 解：（1）∵A（1，1），=（6，0），∴B（7，1），∵M是AB的中點，∴M（4，1）．∵=（2，5），∴D（3，6），∵=（6，0），∴=（6，0），∴C（9，6）（2）設點P的坐標是（x，y），D（a，b），則C（a+b，b），∵||=||，∴（a﹣1）2+（b﹣1）2=36（*）由B，D，P共線，得①，由C，P，M共線，得②由①②化簡得a=3x﹣14，b=3y﹣2，代入（*）化簡得（x﹣5）2+（y﹣1）2=4．點評： 本題考查了向量的坐標運算、中點坐標公式、向量相等、三點共線可得斜率關系、模相等等基礎知識，考查了計算能力，屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）已知數列的前項和和通項滿足,數列中，,.（Ⅰ）求數列,的通項公式；（Ⅱ）數列滿足，求證：.參考答案：【知識點】數列求和D4（1）（2）（1）由，得當時，即（由題意可知）是公比為的等比數列，而，由，得（2），設，則由錯位相減，化簡得：（12分）【思路點撥】（1）由，得可求；（2））數列為差比數列，利用錯位相減法求解即可.21.已知函數f（x）=，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．（Ⅰ）當a=0時，若g（x）≤|x﹣2|+b對任意x∈（0，+∞）恒成立，求實數b的取值范圍；（Ⅱ）當a=1時，求g（x）的最大值．參考答案：【考點】3H：函數的最值及其幾何意義；3R：函數恒成立問題．【分析】（Ⅰ）當a=0時，若g（x）≤|x﹣2|+b對任意x∈（0，+∞）恒成立，﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，求出右邊的最小值，即可求實數b的取值范圍；（Ⅱ）當a=1時，g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減，即可求g（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）當a=0時，g（x）=﹣|x﹣1|，∴﹣|x﹣1|≤|x﹣2|+b，∴﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，∵|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1，∴﹣b≤1，∴b≥﹣1…（Ⅱ）當a=1時，…（6分）可知g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減…（8分）∴g（x）max=g（1）=1．…（10分）【點評】本題考查絕對值不等式，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．22.已知橢圓的離心率為，過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為，過點的直線與橢圓相交于兩點（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓上一點，且滿足（為坐標原點），當時，求實數的取值范圍．參考答案：解（1）由已知，所以，所以所以

……1分

又由過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為