02 第二節(jié) 微積分基本公式

第二節(jié)微積分基本公式積分學(xué)中要解決兩個問題：第一個問題是原函數(shù)的求法問題,我們在第四章中已經(jīng)對它做了討論；第二個問題就是定積分的計(jì)算問題.如果我們要按定積分的定義來計(jì)算定積分,那將是十分困難的.因此尋求一種計(jì)算定積分的有效方法便成為積分學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵.我們知道,不定積分作為原函數(shù)的概念與定積分作為積分和的極限的概念是完全不相干的兩個概念.但是,牛頓和萊布尼茨不僅發(fā)現(xiàn)而且找到了這兩個概念之間存在著的深刻的內(nèi)在聯(lián)系.即所謂的“微積分基本定理”,并由此巧妙地開辟了求定積分的新途徑——牛頓-萊布尼茨公式.從而使積分學(xué)與微分學(xué)一起構(gòu)成變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科——微積分學(xué).牛頓和萊布尼茨也因此作為微積分學(xué)的奠基人而載入史冊.分布圖示★引言★積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)★例2-3★例4★例5★引例★積分上限函數(shù)★例1★原函數(shù)存在定理★牛頓-萊布尼茲公式★例6-7★例11★例8★例9★例10★內(nèi)容小結(jié)★習(xí)題5-2內(nèi)容要點(diǎn)一、引例★課堂練習(xí)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)：定理2若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)就是在上的一個原函數(shù).三、牛頓—萊布尼茲公式定理3若函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù),則.(3.6)公式(3.4)稱為牛頓—萊布尼茨公式.例題選講積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)例1(E01)求右圖中陰影區(qū)域的面積解由題意，得到陰影區(qū)域的面積.例2(E02)求解.例3(E03)求解這里.是的函數(shù)，因而是的復(fù)合函數(shù)，令則根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有例4設(shè)(1)是連續(xù)函數(shù),試求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù).;(2);(3)解(1)(2)因?yàn)樗?3)因?yàn)?，所以，?(E04)求.分析:這是型不定式,應(yīng)用洛必達(dá)法則.解故牛頓—萊布尼茲公式例6(E05)求定積分.是的一個原函數(shù)，由牛頓-萊布尼茨公式得:解例7求解當(dāng)時,的一個原函數(shù)是例8設(shè)求解如圖(見系統(tǒng)演示)，在上規(guī)定:當(dāng)時,則由定積分性質(zhì)得:例9計(jì)算解因?yàn)樗岳?0(E06)求定積分.解例11（E07）某服裝公司生產(chǎn)每套服裝的邊際成本是（1）用和計(jì)算生產(chǎn)400套服裝的總成本的近似值；（2）用定積分計(jì)算生產(chǎn)400套服裝的總成本的精確值。解（1）把區(qū)間[0,400]分成4個長度相等的小區(qū)間，每個區(qū)間的長度均為。用左矩形公式，得（元）。（3）精確的總成本是課堂練習(xí)1.設(shè)在上連續(xù),則