高中數(shù)學人教A版5不等式和絕對值不等式（市一等獎）

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。單元質(zhì)量評估(二)(第二講)(90分鐘120分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知a>b>c>0,A=a2ab2bc2c,B=ab+cbc+aca+b,則A與B的大小關(guān)系是()>B <B=B D.不確定【解析】選A.因為a>b>c>0,所以A>0,B>0,所以AB=aaaabbbbcccc=ab因為a>b>0,所以ab所以aba-b>1,同理ac所以AB2.若實數(shù)x,y適合不等式xy>1,x+y≥-2,則()>0,y>0 <0,y<0>0,y<0 <0,y>0【解析】選,y異號時,顯然與xy>1矛盾,所以可排除C,D.假設(shè)x<0,y<0,則x<1y所以x+y<y+1y3.(2023·威海高二檢測)使不等式3+8>1+a成立的正整數(shù)a的最大值是() B.11 【解析】選C.用分析法可證a=12時不等式成立,a=13時不等式不成立.4.設(shè)a>0,b>0,a+b=1,M=1a+1b+=8 ≥8<8 ≤8【解析】選B.因為a>0,b>0,a+b=1,所以1=a+b≥2ab,所以ab≤12所以1a+1b+1ab=(a+b)1a+1b所以1a+1b+當且僅當a=b=125.(2023·石家莊高二檢測)已知a>b,則不等式①a2>b2;②1a<1b;③1a-b B.1 【解析】選D.因為a>b,①a2-b2=(a-b)(a+b)符號不確定,即a2>b2不一定成立;②1a-1b=b-aab符號不確定,即1a<1b不一定成立;③1a-b-16.已知△ABC中,∠C=90°,則a+bA.(0,2) B.0C.1,2 【解析】選C.因為∠C=90°,所以c2=a2+b2,即c=a2所以1<a+bc=a+ba27.若x,y,a∈R+,且x+y≤ax+yA.22 B.2 D.【解題指南】根據(jù)x2+y22≥x+y2得到x【解析】選B.因為x2+y2222(x+y),所以x+y≥22(x而x+y≤ax+y即x+y≥1a(x+y)恒成立,得1a即a≥2.8.(2023·濟南高二檢測)已知實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,abc>0,則1a+1b+A.一定是正數(shù) B.一定是負數(shù)C.可能是0 D.正負不能確定【解析】選B.因為實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,abc>0,不妨設(shè)a>b>c,則a>0>b>c,1a+1b+1c==bc-二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)9.(2023·菏澤高二檢測)已知a>0,b>0,若P是a,b的等差中項,Q是a,b的正的等比中項,1R是1a,1b【解析】由已知得P=a+b2,Q=1R=12所以R=2ab答案:R≤Q≤P10.若T1=2sm+n,T2=s(m+n)2mn,則當s,m,n∈R+時,T1與T【解析】因為2sm+n-s(m+n)2mn=s·4nm-(m+n)2答案:T1≤T211.(2023·湛江高二檢測)若函數(shù)a,b滿足a+b=1,則aa+1+bb+1的最大值是【解析】aa+1+bb+1=a=2-3ab+2,則a+b=1≥2ab知ab≤所以aa+1+bb+1=2-3ab+2≤2-3當且僅當a=b=12答案:212.(2023·太原高二檢測)已知a>b>c,且1a-b+1b-c≥ma-c【解析】因為a>b>c,所以a-b,b-c,a-c均為正數(shù),(a-c)1a-b+=b-ca-b+于是1a-b+1b-c≥所以m≤4.答案:4三、解答題(本大題共6小題,共60分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)13.(10分)設(shè)a,b,c為三角形的三邊,求證:ab+c-a+ba+c-b+【證明】設(shè)x=b+c-a,y=a+c-b,z=a+b-c,則有a+b+c=x+y+z,a=12(y+z),b=1c=12(x+y).此時,原不等式等價于y+z2x+x而y+z2x+x+z1212所以原不等式成立.14.(10分)已知x,y∈R,且x<1,y<1,求證:11-x2+1【證明】因為x<1,y<1,所以11-x2所以11-x2+1故要證明結(jié)論成立,只需證2(1-x2即證1-xy≥(1-因為(y-x)2≥0,有-2xy≥-x2-y2,所以(1-xy)2≥(1-x2)(1-y2),所以1-xy≥(1-所以不等式成立.15.(10分)(2023·萊蕪高二檢測)已知函數(shù)f(x)=tanx,x∈0,π2.若x1,x2∈0,π2且x1≠x2.求證:12[f(x【證明】要證12[f(x1)+f(x2)]>fx即證:12(tanx1+tanx2)>tanx只需證明12sinx只需證明sin(x1由于x1,x2∈0,π2,故x1所以cosx1cosx2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0.故只需證明1+cos(x1+x2)>2cosx1cosx2.即證1+cosx1cosx2-sinx1sinx2>2cosx1cosx2.即證cos(x1-x2)<1.由于x1,x2∈0,π2且x1≠x2因此12[f(x1)+f(x2)]>fx16.(10分)(2023·鹽城高二檢測)已知x1,x2均為正數(shù),求證:1+x1【解題指南】直接證明不易找到切入點,可采用分析法或反證法完成證明.【證明】假設(shè)1+x1兩邊平方得:(1+1+x1即(1+x12)(1+再兩邊平方得1+x12+x22+x12x即x12+x22<2x這與x12+x22≥2x17.(10分)(2023·湖南高考)設(shè)a>0,b>0,且a+b=1a+1(1)a+b≥2.(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.【解題指南】(1)將已知條件中的式子可等價變形為ab=1,再由基本不等式即可得證.(2)利用反證法,假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時成立,可求得0<a<1,0<b<1,從而與ab=1矛盾,即可得證.【證明】由a+b=1a+1b=(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2ab(2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時成立,則由a2+a<2及a>0得0<a<1,同理0<b<1,從而ab<1,這與ab=1矛盾,故a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.18.(10分)(2023·全國卷Ⅱ)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d.證明:(1)若ab>cd,則a+b>c+d.(2)a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要條件.【解題指南】(1)由a+b=c+d及ab>cd,可證明(a+b)2>(c+d)2,開方即得a+b>c+d.(2)本小題可借助第一問的結(jié)論來證明,但要分必要性與充分性來證明.【證明】(1)因為(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd由題設(shè)a+b=c+d,ab>cd得(a+b)2>(c+d)2.因此a+b>c+d.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因為a+b=c+d,a,b,c,d均為正數(shù),所以ab>cd.由(1)得a+