高中數(shù)學(xué)人教B版第二章平面向量 優(yōu)秀作品

“平面向量”的教學(xué)分析與思考向量為什么進(jìn)入中學(xué)向量的雙重性向量是一個(gè)具有幾何和代數(shù)雙重身份的概念，同時(shí)向量代數(shù)所依附的線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)完整的體系，具有良好的分析方法和完整結(jié)構(gòu)．通過向量的運(yùn)用對傳統(tǒng)問題的分析，可以幫助學(xué)生更好地建立代數(shù)與幾何的聯(lián)系，也為中學(xué)數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡奠定了一個(gè)直觀的基礎(chǔ)．這方面的案例包括平面幾何、立體幾何和向量解析幾何．向量具有很好的“數(shù)形結(jié)合”特性。一是“數(shù)”的形式，即利用一對實(shí)數(shù)對既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形”的形式，即利用一條有向線段來表示一個(gè)向量。而且這兩種形式又是密切聯(lián)系的，它們之間可以利用簡單的運(yùn)算進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化?？梢哉f向量是聯(lián)系代數(shù)關(guān)系與幾何圖形的最佳紐帶。它可以使圖形量化，使圖形間關(guān)系代數(shù)化，使我們從復(fù)雜的圖形分析中解脫出來，只需要研究這些圖形間存在的向量關(guān)系，就可以得出精確的最終結(jié)論。使分析思路和解題步驟變得簡潔流暢，又不失嚴(yán)密?？鐚W(xué)科的結(jié)合在中學(xué)階段，主要指的是，數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系。事實(shí)上一個(gè)良好的物理或現(xiàn)實(shí)背景是學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的重要因素，并且數(shù)學(xué)和物理世界的緊密關(guān)聯(lián)是有目共睹的。就是二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一、為“純數(shù)學(xué)”而竭力辯白的英國數(shù)學(xué)家哈代也曾說：“．．．．．．還沒有哪個(gè)數(shù)學(xué)家純到對物理世界毫無興趣的地步．．．．．．”因此，使學(xué)生盡早地認(rèn)識到數(shù)學(xué)與物理世界的緊密關(guān)系，不僅可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)也使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)偉大的社會性。事實(shí)上，反映數(shù)學(xué)課程改革最敏感的高考在2023年已經(jīng)這樣做了。與國際教育相比較國際數(shù)學(xué)教育的發(fā)展已全面反映了綜合幾何的學(xué)習(xí)的落后，向量和矩陣進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)是一個(gè)大的趨勢。比如，原蘇聯(lián)70年代以來的數(shù)學(xué)教育改革，致力于用向量、變換等觀點(diǎn)改造傳統(tǒng)的歐式幾何；在日本高中數(shù)學(xué)課程中，也安排了不少的向量知識；美國NCTM2000的《學(xué)校數(shù)學(xué)的原則和標(biāo)準(zhǔn)》；《新西蘭數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《澳大利亞數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》都在此問題上有全面的反映。從總體上分析，基本共識是基于以下的事實(shí)：1899年希爾伯特的《幾何學(xué)基礎(chǔ)》的發(fā)表，標(biāo)志著幾何學(xué)基礎(chǔ)的徹底革新，也發(fā)展了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公理化模式。以此為推動力，數(shù)學(xué)本體上在這個(gè)方面的研究幾乎窮盡。中學(xué)的綜合幾何就是擴(kuò)大了公理體系的希爾伯特幾何的簡單情形。如果我國幾何教學(xué)仍然停留在此不動，那么很難說我們的數(shù)學(xué)教育反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，也與國際數(shù)學(xué)教育的發(fā)展相去甚遠(yuǎn)。向量的特點(diǎn)分析基本法則（1）向量相加的“首尾相連法則”；即：．這個(gè)法則可以推廣到多個(gè)變量，用來寫出許多向量的等式，這是向量法區(qū)別于其他解題方法的本質(zhì)特點(diǎn)。（2）向量數(shù)乘的意義和運(yùn)算律；特別是可以用數(shù)乘一個(gè)向量來表示和它共線或平行的向量。（3）向量內(nèi)積（數(shù)量積）的意義和運(yùn)算律；特別是相互垂直的向量內(nèi)積為0，即：a·b=0a⊥b（4）平面向量基本定理即：如果e1，e2是平面上兩個(gè)不共線的向量，則對于平面上任一向量a，存在唯一的一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．相比初等幾何中諸多公理與定理，向量法僅僅依靠這4條基本法則，充分體現(xiàn)了其平易簡捷的特色。向量教學(xué)的幾點(diǎn)注意1、向量法與綜合幾何證法NMNMDCBA例2、如圖，M、N分別為梯形ABCD兩條對角線的中點(diǎn)．求證：且【體會】關(guān)注向量具備幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，關(guān)鍵在于領(lǐng)會向量幾何，其運(yùn)算不僅僅是數(shù)的運(yùn)算，還包括圖形的運(yùn)算，這一點(diǎn)同樣重要。向量法與坐標(biāo)法例3、如圖，在矩形中，點(diǎn)，分別在線段，上，且滿足，，若，則．（解法一）利用“平行四邊形法則”（解法二）以為基底（解法三）建系【體會】坐標(biāo)法的本質(zhì)是平面向量基本定理對具體教學(xué)實(shí)施的思考教學(xué)目標(biāo)的分析與定位【重點(diǎn)】掌握向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算（含坐標(biāo)運(yùn)算）及運(yùn)算律；能運(yùn)用平面向量解決簡單問題（共線、垂直等）．【難點(diǎn)】理解向量加法的定義，減法的方向確定；平行向量、共線向量及相等向量的區(qū)別與聯(lián)系；理解平行（共線）向量定理及平面向量基本定理．【體會】有人將此章內(nèi)容概括為“234n”，即：兩個(gè)定理、三種法則、四種運(yùn)算、n個(gè)概念。要盡量避免將教學(xué)陷入到各種各樣概念的辨析與各種法則下的計(jì)算求值。要努力挖掘概念間的聯(lián)系及思維上深層次的邏輯關(guān)系，體現(xiàn)出向量法的優(yōu)勢所在。讓平面向量的教學(xué)更加整體化，系統(tǒng)化?！靖戒?】北京市理科高考考試說明中對本章的要求考試內(nèi)容要求層次ABC平面向量平面向量平面向量的相關(guān)概念√向量的線性運(yùn)算向量加法與減法√向量的數(shù)乘√兩個(gè)向量共線√平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示平面向量的基本定理√平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示√用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算√用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件√平面向量的數(shù)量積數(shù)量積√數(shù)量積的坐標(biāo)表示√用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角√用數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系√向量的應(yīng)用用向量解決簡單的問題√對學(xué)生認(rèn)知的分析對學(xué)生而言，平面向量是一個(gè)全新的概念，加上概念、定理繁多，必然在學(xué)習(xí)過程中有很大的困難。此外，有些概念和性質(zhì)又與學(xué)生以前的認(rèn)知有一定的沖突，這也是一個(gè)難點(diǎn)，如：向量的平行（共線）與平面幾何中的平行（共線）之間的差異；向量射影與幾何射影的區(qū)別；數(shù)量積運(yùn)算滿足乘法運(yùn)算律中的交換律和分配律，卻又不滿足結(jié)合律；向量運(yùn)算中和、差、數(shù)乘的結(jié)果仍為向量，而數(shù)量積的結(jié)果不是向量而是數(shù)，等等。鑒于以上分析，建議在平面向量的教學(xué)中：1）多結(jié)合生活實(shí)例，物理實(shí)例幫助學(xué)生理解概念，注重新知與舊知的類比于對比；2）設(shè)計(jì)好教學(xué)方式和問題的引導(dǎo)，關(guān)鍵之處適當(dāng)放慢速度，注重概念、定理、性質(zhì)的發(fā)生發(fā)展過程，盡力幫助學(xué)生建構(gòu)好向量的知識結(jié)構(gòu)體系。各章節(jié)具體分析§向量的線性運(yùn)算1）抓住從圖形中辨析一個(gè)向量的大小、方向，再根據(jù)各自向量的大小與方向認(rèn)識兩個(gè)或多個(gè)向量的關(guān)系，可將有關(guān)概念梳理如下：位移位移向量自由向量有向線段表示大小方向零向量平行向量相等向量位置向量2）向量減法的教學(xué)可以從兩條主線展開?！皵?shù)”的角度：類比“相反數(shù)”的概念呈現(xiàn)“相反向量”，將減法轉(zhuǎn)化為加法；“形”的角度：類比加法的三角形法則，歸納出減法的三角形法則。3）向量的數(shù)乘，可以理解為將一個(gè)向量進(jìn)行伸縮變換，要明確其結(jié)果仍是一個(gè)向量。4）平行向量基本定理是判斷向量共線的依據(jù)，可用來解決與點(diǎn)共線，直線平行及相似有關(guān)的問題?！疽苫蟆俊拜S上向量坐標(biāo)運(yùn)算”的處理§向量的分解與向量的坐標(biāo)運(yùn)算本節(jié)重點(diǎn)是平面向量基本定理。個(gè)人以為，它與平行向量基本定理一起，是向量法的核心所在。后附兩節(jié)研究課供大家參考?！炱矫嫦蛄康臄?shù)量積數(shù)量積是解決有關(guān)角度和長度的極有力的工具?！煜蛄康膽?yīng)用因解析幾何后學(xué)，此處例題要注意選取?，F(xiàn)階段主要可結(jié)合三角和平面幾何、物理解決相關(guān)問題?！靖戒?】平面向量知識結(jié)構(gòu)另圖：【附錄3】推薦文章資料課程教材研究所李海東：《對中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革中引入向量的思考》首都師范大學(xué)王尚志：《在中學(xué)數(shù)學(xué)中為什么要引入向量》北京教育學(xué)院王建明：《向量為什么進(jìn)入中學(xué)》華中師范大學(xué)張景中院士、彭翕成：《向量教學(xué)存在的問題及對策》北京五中王琦：《平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)》歷年高考題整理（2023~2023）1、【2023高考北京理第3題】|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°2、【2023高考北京文第4題】若，且，則向量與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°3、【2023高考北京理第2題】若與都是非零向量，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6、【2023高考北京文第12題】已知向量a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，且a≠±b，那么a+b與a-b的夾角的大小是7、【2023高考北京理第4題】已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．8、【2023高考北京文第11題】向量．若向量，則實(shí)數(shù)= －39、【2023高考北京理第10題】已知向量與夾角為，且，則的值為___010、【2023高考北京文第11題】向量與夾角為，且，那么的值為－811、【2023高考北京理文第2題】向量a、b不共線，cabR)，dab，若cd，則（）A．且c與d同向B．且c與d反向C．且c與d同向D．且c與d反向12、【2023高考北京理第6題】a，b為非零向量，“a⊥b”是“函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)為一次函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件13、【2023高考北京文第4題】a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|(zhì)b|，則函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是（）A．一次函數(shù)且是奇函數(shù) B．一次函數(shù)但不是奇函數(shù)C．二次函數(shù)且是偶函數(shù) D．二次函數(shù)但不是偶函數(shù)[14、【2023高考北京理第10題、文第11題】已知向量，，，若與共線，則_______115、【2023高考北京理、文第13題】已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則的值為________，的最大值為______1，116、【2023高考北京理第13題】向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則________417、【2023高考北京文第14題】已知點(diǎn)A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)．若平面區(qū)域D由所有滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的點(diǎn)P組成，則D的面積為________318、【2023高考北京文第3題】已知向量，，則（）A. B． C． D．19、【2023高考北京理第10題】已知向量a、b滿足，，且（），則20、【2023高考北京文第6題】設(shè)，是非零向量，“”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件21、【2023高考北京理第13題】在中，點(diǎn)，滿足，．若，則；22、【2023高考北京文第9題】已知向量a，b，則a與b的夾角大小30°23、【2023高考北京理第4