數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)(-四邊形)

四邊形學(xué)問點(diǎn)1 四邊形的相關(guān)概念形叫做四邊形．四邊形用表示它的各頂點(diǎn)的字母來表示．挨次．如圖讀作“四邊形ABCD ”．同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形．留意：我們今后爭(zhēng)論的四邊形都指凸四邊形．留意：①四邊形共有兩條對(duì)角線．連結(jié)四邊形的對(duì)角線也是一種常用的關(guān)心線作法．學(xué)問點(diǎn)2 四邊形的不穩(wěn)定性應(yīng)用．3四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理四邊形內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360．四邊形外角和定理：四邊形的外角和等于360．留意：1、四邊形內(nèi)角中最多有三個(gè)鈍角，四個(gè)直角，三個(gè)銳角；2、四邊形外角中最多有三個(gè)鈍角、四個(gè)直角、三個(gè)銳角，最少?zèng)]有鈍角，沒有直角，沒有銳角；3、四邊形內(nèi)角與同一個(gè)頂點(diǎn)的一個(gè)外角互為鄰補(bǔ)角．推論：1n邊形的內(nèi)角和等于(n2180．2、多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360．3、nn(n3)2

條對(duì)角線．學(xué)問點(diǎn)4 多邊形對(duì)角線條數(shù)公式nn(n3)．2學(xué)問點(diǎn)5 平行四邊形的概念□ABCD記作□ABCD．讀作：平行四邊形ABCD 學(xué)問點(diǎn)6 平行四邊形的性質(zhì)(1)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等．(2)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等．(3)夾在兩條平行線間的平行線段相等．(4)平行四邊形的對(duì)角線相互平分．假設(shè)始終線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)中點(diǎn)，且這條直線二等分四邊形的面積．學(xué)問點(diǎn)7 平行四邊形的判定定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．(4)3：對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形．條件邊角一組對(duì)邊相等條件邊角一組對(duì)邊相等對(duì)角線24413學(xué)問點(diǎn)8 兩條平行線的距離線間的距離處處相等．留意：距離是指垂線段的長(zhǎng)度，是正值．兩條平行線的位置確定后，它們的距離是定值，不隨垂線段位置轉(zhuǎn)變．平行線間的距離處處相等，因此在作平行四邊形的高時(shí)，可依據(jù)需要敏捷選擇位置．學(xué)問點(diǎn)9 平行四邊形的面積11，S平行四邊形ABCD

BCAECDAF．S平行四邊形離)．

底邊長(zhǎng)×高ahaha邊與其對(duì)邊的距高也就確定了．2、同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等．

平行四邊形ABCD

S ．平行四邊形EBCF 圖1 圖2學(xué)問點(diǎn)10 矩形的概念有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．：矩形首先是平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特別條件．學(xué)問點(diǎn)11 矩形的性質(zhì)(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)．(2)矩形的四個(gè)角都是直角．(3)矩形的對(duì)角線相等．(4)矩形是軸對(duì)稱圖形．用矩形的性質(zhì)可以證明線段相等或倍分、直線平行、角相等等．學(xué)問點(diǎn)12 矩形的判定(1)定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．(2)1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．(3)2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．留意：矩形．②用定理2證明一個(gè)四邊形是矩形，也必需滿足兩個(gè)條件：一是對(duì)角線相等；二是平行四邊是矩形．13矩形的面積矩形面積＝長(zhǎng)×寬．14菱形的概念有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．：菱形必需滿足兩個(gè)條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等．學(xué)問點(diǎn)15 菱形的性質(zhì)具有平行四邊形的一切性質(zhì)．菱形的四條邊都相等．(4)菱形是軸對(duì)稱圖形．學(xué)問點(diǎn)16 菱形的判定(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．(2)1：四邊都相等的四邊形是菱形．(3)2：對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形．留意：對(duì)角線相互垂直的四邊形不肯定是菱形，必需加上平行四邊形這個(gè)條件它才是菱形．一個(gè)四邊形是菱形和有關(guān)計(jì)算．學(xué)問點(diǎn)17 菱形的面積菱形面積＝底×高＝對(duì)角線乘積的一半．學(xué)問點(diǎn)18 正方形的概念有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．矩形又是菱形的四邊形是正方形．矩形、菱形、正方形都是特別的平行四邊形，它們的包含關(guān)系如圖：學(xué)問點(diǎn)19 正方形的性質(zhì)(1)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．(2)正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等．2：正方形的兩條對(duì)角線相等，并且相互垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸．正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)小的全等的等腰直角三角形．方形一條對(duì)角線上一點(diǎn)和另一條對(duì)角線的兩端距離相等．學(xué)問點(diǎn)20 正方形的判定判定一個(gè)四邊形為正方形主要依據(jù)定義，途徑有兩種：①先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等．②先證它是菱形，再證它有一個(gè)角為直角．判定正方形的一般挨次：①先證明它是平行四邊形；②再證明它是菱形(或矩形)；③最終證明它是矩形(或菱形)．學(xué)問點(diǎn)21 正方形的面積正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，或者等于兩條對(duì)角線乘積的一半．即：假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線長(zhǎng)為bSa2學(xué)問點(diǎn)22 梯形的相關(guān)概念

b2．2一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形．梯形中平行的兩邊叫做梯形的底．位置說的．梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰．梯形兩底的距離叫做梯形的高．兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．梯形一般如下分類：一般梯形梯形 直角梯形特別梯形等腰梯形 解決梯形問題的根本思路：轉(zhuǎn)化梯形問題 三角形或平行四邊形問題．種思路常通過平移或旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)．學(xué)問點(diǎn)23 梯形的判定梯形的判定：(1)定義法：判定四邊形中①一組對(duì)邊平行；②另一組對(duì)邊不平行．(2)有一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形．：此判定可由梯形定義和一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出．學(xué)問點(diǎn)24 等腰梯形的性質(zhì)等腰梯形兩腰相等、兩底平行．(3)等腰梯形的對(duì)角線相等．(4)等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，它只有一條對(duì)稱軸，一底的垂直平分線是它的對(duì)稱軸．形同一底上的兩底角相等．學(xué)問點(diǎn)25 等腰梯形的判定兩腰相等的梯形是等腰梯形．(3)對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形．學(xué)問點(diǎn)26 梯形的面積

1(CDAB)DE．2梯形中有關(guān)圖形面積：①SABD②SAOD③SADC

S ．BACS ．BOCS ．BCD學(xué)問點(diǎn)27 平行線等分線段定理：定理的作用：①可以證明同一條直線上的線段相等．留意：(1)定理中的“平行線組”是每相鄰兩條的距離都相等的特別的平行線組．(2)定理中的“平行線組”是由三條或三條以上直線組成的．學(xué)問點(diǎn)28 平行線等分線段定理的推論：1：經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰．推論2：經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊．它們的作用為：平分線段，求線段的中點(diǎn)或證明線段的倍分．中點(diǎn)．學(xué)問點(diǎn)29 三角形、梯形中位線的概念留意：①三角形共有三條中位線，并且它們又重構(gòu)成一個(gè)的三角形．②要會(huì)區(qū)分三角形中線與中位線．連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線．：梯形中位線是連結(jié)兩腰中點(diǎn)的線段，而不是連結(jié)兩底的中點(diǎn)的線段．學(xué)問點(diǎn)30 三角形中位線定理三角形中位線定理的作用：①位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行．結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半．2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形．結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形．4：三角形一條中線和與它相交的中位線相互平分．結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等．學(xué)問點(diǎn)31 梯形中位線定理梯形中位線定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．梯形中位線定理的作用：①位置關(guān)系：可以證明三條直線平行．②數(shù)量關(guān)系：可以證明一條線段與另兩條線段的倍分關(guān)系．學(xué)問點(diǎn)32 梯形對(duì)角線與中位線所截得的線段長(zhǎng)為下底上底2練習(xí)題一、例題分析1、四邊形4123例1〔1〕凸五邊形的內(nèi)角和等于 度，外角和等于 4123〔2〕假設(shè)一凸多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，則它的邊數(shù)是 .平行四邊形的運(yùn)用例2 如圖,∠1=∠2,則以下結(jié)論肯定成立的是( ) B CAB∥CD B. AD∥BC C. ∠B=∠D D. ∠3=∠4假設(shè)ABCD是平行四邊形，則上述四個(gè)結(jié)論中那些是正確？你還可以得到什么結(jié)論？ A D矩形的運(yùn)用 E O F例3 對(duì)角線的交點(diǎn)O，且分別交AB、CD于E、則陰影局部的面積是矩形 B 圖1 CABCD的面積的〔 5

4

C13

D310菱形的運(yùn)用例4 1.一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)的比是2:3,面積是12cm2,則它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為D 、 .周長(zhǎng)為40cm,兩條對(duì)角線之比為3：4，則菱形的面積為 .等腰梯形的有關(guān)計(jì)算例5 圖E C軸對(duì)稱的應(yīng)用例6 如圖,牧童在A處放牛,其家在B處,假設(shè)牧童從A處動(dòng)身牽牛到河岸CD邊飲水后再回家,試問在何處飲水所走路程最短? BC D中心對(duì)稱的運(yùn)用例7 如圖,作△ABC關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形

A △DEFO平移作圖例8．在5×5方格紙中將圖〔1〕中的圖形N平 移后的位置如圖〔2〕中所示，那么正確的平移方法是〔 (A)先向下移動(dòng)1格，再向左移動(dòng)1格12格旋轉(zhuǎn)的運(yùn)用

CCNNCNNM1圖(1)M2圖(2)〔1題〕例9 如圖,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠C和∠AED都 A D是直角,CAD上,假設(shè)△ABC經(jīng)旋轉(zhuǎn)后能與△ADE重合,那么哪一點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心?旋轉(zhuǎn)了多少度? 解: 是旋轉(zhuǎn)中心, 向旋轉(zhuǎn)了 .根底達(dá)標(biāo) E一、選擇題：一個(gè)內(nèi)角和是外角和的2倍的多邊形是 邊形.有以下四個(gè)命題:兩條對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形. (2)兩條對(duì)角線相等的四邊形是菱形.兩條對(duì)角線相互垂直的四邊形是正方形. 的四邊形是正方形,其中正確的個(gè)數(shù)為( )A.4 B.3 C.2 D.13．下面條件中，能判定四邊形是平行四邊形的條件是〔 一組對(duì)角相等 B．對(duì)角線相互平分 C．一組對(duì)邊相等

相互垂直E D4．在一個(gè)平面上有不在同始終線上的三點(diǎn)，則以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有〔 〕個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) B C5.如圖,□ABCD中,∠C=108°,BE平分∠ABC,則∠ABE等于( ) A.18° B.36° D.108° 5題圖6、以下說法中，正確的選項(xiàng)是〔 〕A、等腰梯形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形． B、正方形的對(duì)角線相互垂直平分且相等F、矩形是軸對(duì)稱圖形且有四條對(duì)稱軸 D、菱形的對(duì)角線相等F7、如圖，在平行四邊形ABCD中，以下各式不肯定正確的選項(xiàng)是〔 〕E．121800 ．231800 DC341800 241800 7題圖A題圖

C_ 88在平行四邊形ABCD中∠B=100延長(zhǎng)AD至F延長(zhǎng)CD至連接E則∠E∠F〔 〕〔A〕1100 〔B〕300 〔C〕500 〔D〕700BC97，直線lABCDAB=CD，有下面的結(jié)論：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO=OC；④AB⊥BC，其中正確的結(jié)論有 。如圖,觀看以下圖形,既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是( ).A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè) B．以下根本圖形中，經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱變換后，得到右圖的是( A．B． C. Ｄ．右圖可以看作是一個(gè)等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)假設(shè)干次而生成的則每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可以是〔 〕12題圖A．900 B．600 C．450 D．300勾股圓方圖注》中所畫的圖形，它是由四個(gè)一樣的直角三角形拼成的，下面關(guān)于此圖形的說法正確的選項(xiàng)是( )A．它是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形 B．它是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形C．它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形 D．它既不是軸對(duì)稱圖形，又不是中心對(duì)稱圖形

(圖2)14、以下圖可以看作是一個(gè)等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)假設(shè)干次而生成的則每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可以是〔 〕FEA．900 B．600 C．450 D．300 FE圖AC圖B17題圖

14題

O DB 15D題C 16題圖15、如上圖，O是正六邊形ABCDE的中心，以下圖形中可由△OBC平移得到的是 〔 〕A．△OCD B．△OAB C．△OAF D．OEF如圖,D、EF是△ABC三邊的中點(diǎn),且DE∥AB,DF∥AC,EF∥BC,平移△AEF可以得到的三角形是( )△BDF B.△DEF C.△CDE D.△BDF和△CDE將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)重合為如圖17的位置,假設(shè)則°18、如圖將四個(gè)全等的矩形分別等分成四個(gè)全等的小矩形，其中陰影局部面積相等的是( )①①②③④只有和相等 只有和相等 C．只有和相等 和和分相等19.如圖,△ABC,畫出△ABCC90°后的圖形.EFA BFA D CC C1B20題圖，AB=10cmBDcm.21假設(shè)四邊形的兩條對(duì)角線相等則順次連結(jié)該四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是( A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形22．如圖：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C＝60°AB=6cm.ACBC的值；ABl為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的側(cè)面積.(結(jié)果用含π的代數(shù)式表示)、如圖，在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥ABFBC的中點(diǎn)．DEDE求證：DE=CFB F C=〔通過證明等腰三角形得證?！矱F如圖,E、 F是ABCD的對(duì)角線AC上兩點(diǎn),AE=CF. D CEF(2)BE∥DF.AE1O26如圖， 在 ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作AC的垂線與邊B、BC分AE1OEHDHDFA G2B F CB C1,3ABCDC30°后得到正方形.2.假設(shè)將線段BD圍著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在CB的延長(zhǎng)線上的E點(diǎn)處，那么tan∠BED等于 ,DF=的中點(diǎn)。求證：四邊形MENF是菱形；假設(shè)四邊形MENFABCD的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。四邊形及平移旋轉(zhuǎn)對(duì)稱答案二、考題例析