潮流計算課件

1第二章電力系統(tǒng)潮流計算

2.1概述

2.2潮流計算的數(shù)學(xué)模型

2.3牛頓法潮流計算

2.4P-Q分解法潮流計算

2.5潮流計算中負荷靜態(tài)特性的考慮

2.6保留非線性潮流算法

2.7病態(tài)潮流潮流算法

2.8其它特殊性質(zhì)潮流計算問題第二章電力系統(tǒng)潮流計算2.1 概

述22.1概述3潮流（PowerFlow）計算

即根據(jù)給定的系統(tǒng)接線和運行參數(shù)等條件，求解電力系統(tǒng)的運行狀態(tài)，如各母線的電壓幅值及相位、網(wǎng)絡(luò)中的功率分布及功率損耗等用途

１、系統(tǒng)正常運行性能分析２、故障分析３、穩(wěn)定計算

4、電力系統(tǒng)規(guī)劃離線潮流:系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計和安排系統(tǒng)的運行方式在線潮流:SCADA/EMS潮流方程為一組非線性代數(shù)方程，其求解使用迭代的方法，對潮流計算的要求:

(1)算法的收斂性。

(2)計算速度快和內(nèi)存占用量小。

(3)方便性和靈活性。（實用）

為滿足上述要求，電力科研工作者不斷提出新的方法。4

5GaussSiedel法（導(dǎo)納法、阻抗法、分塊阻抗法）Newton-Raphson法PQ分解法保留非線性法非線性規(guī)劃法其它特殊潮流直流潮流隨機潮流三相潮流（諧波）最優(yōu)潮流連續(xù)潮流開斷潮流常規(guī)潮流

GaussSidel:以節(jié)點導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的高斯一賽德爾迭代法（以下簡稱導(dǎo)納法）。這個方法的原理比較簡單，要求的數(shù)字計算機內(nèi)存量也比較小，適應(yīng)當時的電子數(shù)字計算機制造水平和電力系統(tǒng)理論水平，但它的收斂性較差.阻抗法：20世紀60年代初，數(shù)字計算機已發(fā)展到第二代，計算機的內(nèi)存和計算速度發(fā)生了很大的飛躍，從而為阻抗法的采用創(chuàng)造了條件,阻抗矩陣是滿矩陣，阻抗法要求數(shù)字計算機儲存表征系統(tǒng)接線和參數(shù)的阻抗矩陣，這就需要較大的內(nèi)存量。而且阻抗法每迭代一次都要求順次取阻抗矩陣中的每一個元素進行運算，因此，每次迭代的計算量很大。6分塊阻抗法：為了克服阻抗法在內(nèi)存和速度方面的缺點，后來發(fā)展了以阻抗矩陣為基礎(chǔ)的分塊阻抗法。這個方法把一個大系統(tǒng)分割為幾個小的地區(qū)系統(tǒng)，在計算機內(nèi)只需要存儲各個地區(qū)系統(tǒng)的阻抗矩陣及它們之間聯(lián)絡(luò)線的阻抗，這樣不僅大幅度地節(jié)省了內(nèi)存容量，同時也提高了計算速度。7牛頓一拉夫遜法：是克服阻抗法缺點的另一途徑。牛頓法是數(shù)學(xué)中求解非線性方程式的典型方法，有較好的收斂性。解決電力系統(tǒng)潮流計算問題是以導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的，因此，只要在迭代過程中盡可能保持方程式系數(shù)矩陣的稀疏性，就可以大大提高牛頓法潮流程序的效率。自從20世紀60年代中期利用了最佳順序消去法以后，牛頓法在收斂性、內(nèi)存要求、計算速度方面都超過了阻抗法，成為直到目前仍被廣泛采用的方法。8在牛頓法的基礎(chǔ)上，根據(jù)電力系統(tǒng)的特點，抓住主要矛盾，對純數(shù)學(xué)的牛頓法進行改造，得到了P-Q分解法。P-Q分解法在計算速度方面較牛頓法有顯著的提高，迅速得到了推廣。牛頓法的特點是將非線性方程線性化。20世紀70年代后期，有人提出采用更精確的模型，即將泰勒級數(shù)的高階項也包括進來，希望以此提高算法的性能，這便產(chǎn)生了保留非線性的潮流算法。另外，為了解決病態(tài)潮流計算，出現(xiàn)了將潮流計算表示為一個無約束非線性規(guī)劃問題的模型，即非線性規(guī)劃潮流算法。9近20多年來，潮流問題算法的研究仍然非?；钴S，但是大多數(shù)研究都是圍繞著改進牛頓法和P-Q分解法進行的。此外，隨著人工智能理論的發(fā)展，遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊算法也逐漸被引人潮流計算。但是，到目前為止這些新的模型和算法還不能取代牛頓法和P-Q分解法的地位。由于電力系統(tǒng)規(guī)模不斷擴大，對計算速度的要求不斷提高，計算機的并行計算技術(shù)也將在潮流計算中得到廣泛的應(yīng)用，成為重要的研究領(lǐng)域。10第二章電力系統(tǒng)潮流計算2.2常規(guī)潮流計算的數(shù)學(xué)模型11一、潮流計算中的節(jié)點分類采用節(jié)點法，以導(dǎo)納矩陣表示的節(jié)點電流與節(jié)點電壓之間的關(guān)系為：12其展開式為:

式中:

分別為節(jié)點導(dǎo)納矩陣及其相應(yīng)的元素；n為電力系統(tǒng)節(jié)點數(shù)。13

或14

節(jié)點類型：PQ、PV、平衡節(jié)點

(1)PQ節(jié)點。這類節(jié)點的有功功率P和無功功率Q是給定的，節(jié)點電壓相量(V,θ)是待求量，通常將變電所母線作為PQ節(jié)點。在一些情況下，系統(tǒng)中某些發(fā)電廠送出的功率在一定時間內(nèi)為固定時，該發(fā)電廠母線也作為PQ節(jié)點。因此，電力系統(tǒng)中的絕大多數(shù)節(jié)點屬于這一類型。15

(2)PV節(jié)點。這類節(jié)點的有功功率P和電壓幅值V是給定的，節(jié)點的無功功率Q和電壓相角θ是待求量。這類節(jié)點必須有足夠的可調(diào)無功容量，用以維持給定的電壓幅值，因而又稱之為電壓控制節(jié)點。一般是選擇有一定無功儲備的發(fā)電廠和具有可調(diào)無功電源設(shè)備的變電所作為PV節(jié)點。在電力系統(tǒng)中，這一類節(jié)點的數(shù)目很少。16

(3)平衡節(jié)點。在潮流計算中，平衡節(jié)點只有一個，它的電壓幅值V和相角。給定(一般θ=0°)，其有功功率P和無功功率Q是待求量。在潮流分布算出以前，網(wǎng)絡(luò)中的功率損耗是未知的，因此，網(wǎng)絡(luò)中至少有一個節(jié)點的有功功率P不能給定，這個節(jié)點承擔(dān)了系統(tǒng)的有功功率平衡，故稱之為平衡節(jié)點。另外必須選定一個節(jié)點，指定其電壓相角為零，作為計算各節(jié)點電壓相角的參考，這個節(jié)點稱為基準節(jié)點，基準節(jié)點的電壓幅值也是給定的。為了計算上的方便，常將平衡節(jié)點和基準節(jié)點選為同一個節(jié)點，習(xí)慣上稱之為平衡節(jié)點。17一般選擇主調(diào)頻發(fā)電廠為平衡節(jié)點比較合理，但在進行潮流計算時也可以按照別的原則來選擇。例如，為了提高導(dǎo)納矩陣法潮流程序的收斂性，也可以選擇出線最多的發(fā)電廠作為平衡節(jié)點。由于平衡節(jié)點的電壓已經(jīng)給定，所以平衡節(jié)點的方程不必參與迭代求解。18二、節(jié)點功率方程

式中:

表示節(jié)點j與節(jié)點i直接相連，并包括j=i的情況。19直角坐標形式潮流方程節(jié)點電壓可表示為:導(dǎo)納矩陣元素則表示為:功率可表示為：20功率誤差方程:21極坐標形式潮流方程節(jié)點電壓可表示為:功率方程:22功率誤差方程:23三、潮流計算的約束條件(1)所有節(jié)點電壓幅值必須滿足：為保證電能質(zhì)量和供電安全，電力系統(tǒng)的所有電氣設(shè)備都必須運行在額定電壓附近，PV節(jié)點的電壓幅值必須按上述條件給定。因此，這一約束主要是對PQ節(jié)點而言。24(2)所有電源節(jié)點的有功功率和無功功率必須滿足：PQ節(jié)點的有功功率和無功功率以及PV節(jié)點的有功功率在給定時就必須滿足這一條件。因此，對平衡節(jié)點的P和Q以及PV節(jié)點的Q應(yīng)按上述條件進行檢驗。25(3)某些節(jié)點之間的電壓相角差滿足：為了保證系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性，要求某些輸電線路兩端的電壓相角差不超過一定的數(shù)值。在潮流計算中，如果上述約束條件不能滿足，則應(yīng)修改某些變量的給定值，甚至修改系統(tǒng)的運行方式，重新進行計算。26第二章電力系統(tǒng)潮流計算2.3牛頓法潮流計算27一、牛頓法的基本原理對于非線性代數(shù)方程組

即修正方程式、收斂判據(jù)、迭代格式28在待求量x的某一個初始估計值

附近，將上式展開成泰勒級數(shù)并略去二階及以上的高階項，得到如下的線性方程組：

這是對于變量的修正量

的線性方程式，亦稱為牛頓法的修正方程式，解此方程可得第一次迭代的修正量將

和

相加，得到變量的第一次修正值

，即29接著就從

出發(fā)，重復(fù)上述計算過程。因此從一定的初值

開始，應(yīng)用牛頓法求解的修正方程式與迭代格式為：由上式可知，牛頓法的核心便是反復(fù)形成并求解修正方程式的過程。迭代過程一直進行到滿足以下收斂判據(jù)為止。

或

式中：為預(yù)先給定的小正數(shù)。30二、牛頓法潮流計算的修正方程1.直角坐標形式31２．修正方程式修正方程式或用（分塊）矩陣表示為：其中33J為雅可比矩陣，各元素的表達式如下：當j≠i時，34當j=i時，352.極坐標形式36２．修正方程式修正方程式當i≠j時38當i=j時39三、修正方程式的處理和求解1.修正方程式的處理技巧(1)“壓縮”存儲。對于稀疏矩陣，在計算機中以“應(yīng)縮”方式只儲存其非零元素，且只有非零元素才參加運算。(2)修正方程式的求解采取邊形成、邊消元、邊存儲的方式。對包括修正方程式常數(shù)項的增廣矩陣進行消元運算時采用按行消去而不是傳統(tǒng)的按列消去，因此不需先形成整個增廣矩陣，然后進行消元運算，而是采取邊形成、邊消元、邊存儲的方式，即每形成增廣矩陣的一行，便馬上進行消元，并且消元結(jié)束后便隨即將結(jié)果送內(nèi)存存儲。40(3)節(jié)點編號優(yōu)化(消元的最優(yōu)順序)。經(jīng)過消元運算得到的上三角矩陣一般仍是稀疏矩陣，但由于消元過程中在原來是零元素的位置上有新元素注入，使得它的稀疏度比原來雅可比矩陣的上三角有所降低。但分析表明，注入元素的多少和消元的順序或節(jié)點編號順序有關(guān)。節(jié)點編號優(yōu)化的作用即在于找到一種網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的重新編號方案，使得按此構(gòu)成的節(jié)點導(dǎo)納矩陣以及和它相應(yīng)的雅可比矩陣在高斯消元或三角分解過程中出現(xiàn)的注入元素數(shù)目能大大減少。412.牛頓法的求解過程牛頓法潮流計算首先要輸人網(wǎng)絡(luò)的原始數(shù)據(jù)以及各節(jié)點的給定值并形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣；輸入節(jié)點電壓初值

和

置迭代次數(shù)k=0；然后開始進人牛頓法的迭代過程。在進行第k+1次迭代時，其計算步驟如下(以直角坐標形式為例)。4243四、牛頓潮流算法的性能分析牛頓潮流算法突出的優(yōu)點是收斂速度快，若初值選擇較好，算法將具有平方收斂特性，一般迭代4~5次便可以收斂到一個非常精確的解，而且其迭代次數(shù)與所計算的網(wǎng)絡(luò)規(guī)?；緹o關(guān)。牛頓法也具有良好的收斂可靠性，對于呈病態(tài)的系統(tǒng)，牛頓法均能可靠地收斂。由于雅可比矩陣元素的數(shù)目約為2(n-1)X2(n-1)個，且其數(shù)值在迭代過程中不斷變化，因此牛頓法每次迭代的計算量和所需的內(nèi)存量較大，不過，內(nèi)存占用量及每次迭代所需的時間與程序設(shè)計技巧密切相關(guān)。44牛頓法的可靠收斂取決于有一個良好的啟動初值，如果初值選擇不當，算法有可能根本不收斂或收斂到一個無法運行的解點上。對于正常運行的系統(tǒng)，各節(jié)點電壓一般均在額定值附近，偏移不會太大，并且各節(jié)點間的相角差也不大，所以對各節(jié)點可以采用統(tǒng)一的電壓初值，如（平啟動）45第二章電力系統(tǒng)潮流計算2.4P-Q分解法潮流計算46一、P-Q分解法的基本原理極坐標形式的牛頓潮流算法的修正方程為47R<<X的情況下：有功功率的變化主要取決于電壓相角的變化，而無功功率的變化則主要取決于電壓幅值的變化。解耦的方程組n-1+m階分解為一個

n-1階和一個m階的方程。大大節(jié)省了內(nèi)存需求量和求解時間，但是矩陣H和L的元素仍然是節(jié)點電壓的函數(shù)且不對稱。48把系數(shù)矩陣H和L簡化成常數(shù)對稱矩陣。(1)一般情況下，線路兩端電壓的相角差不大(不超過10°~20°)，因此可以認為(2)與系統(tǒng)各節(jié)點無功功率相對應(yīng)的導(dǎo)納通常遠小于該節(jié)點自導(dǎo)納的虛部，即49

50于是系數(shù)矩陣H和L可表示成

式中:V是由各節(jié)點電壓幅值組成的對角陣。由于PV節(jié)點的存在，B'及B"的階數(shù)不同，分別為n-1階和m階。P-Q分解法的修正方程式為51通過這一步簡化，修正方程式中的系數(shù)矩陣B'和B"由節(jié)點導(dǎo)納矩陣的虛部構(gòu)成，從而是常數(shù)對稱矩陣。其區(qū)別只是階數(shù)不同，矩陣B'為n-1階，不含平衡節(jié)點對應(yīng)的行和列，矩陣B"為m階，不含平衡節(jié)點和PV節(jié)點所對應(yīng)的行和列。但在實際P-Q分解法程序中，為了提高收斂速度，對B'與B"的構(gòu)成作了下面一些修改:(1)在B'中盡量去掉那些對有功功率及電壓相角影響較小的因素，如略去變壓器非標準電壓比和輸電線路充電電容的影響；在B"中盡量去掉那些對無功功率及電壓幅值影響較小的因素，如略去輸電線路電阻的影響。52(2)為了減少在迭代過程中無功功率及節(jié)點電壓幅值對有功迭代的影響，將式右端V的各元素均置為標么值1.0，也即令V為單位矩陣。(3)當潮流程序要求考慮負荷靜態(tài)特性時，B"中對角元素除導(dǎo)納矩陣對角元素的虛部以外，還要附加反映負荷靜態(tài)特性的部分，而B'中各元索和潮流程序是否考慮負荷靜態(tài)特性無關(guān)(見第五節(jié))。于是，目前通用的P-Q分解法的修正方程式可寫成5354二、P-Q分解法的特點和性能分析1.P-Q分解法修正方程式的特點(1)用一個n-1階和一個m階的線性方程組代替了牛頓法的n-1+m階線性方程組，顯著地減少了內(nèi)存需求量及計算量。55(2)系數(shù)矩陣B’和B’’為常數(shù)矩陣。因此，不必像牛頓法那樣每次迭代都要形成雅可比矩陣并進行三角分解，只需要在進入迭代過程以前一次形成雅可比矩陣并進行三角分解形成因子表，然后反復(fù)利用因子表對不同的常數(shù)項△P/V或△Q/V進行消去回代運算，就可以迅速求得修正量，從而顯著提高了迭代速度。(3)系數(shù)矩陣B’和B’’是對稱矩陣。因此，只需要形成并貯存因子表的上三角或下三角部分，這樣又減少了三角分解的計算量并節(jié)約了內(nèi)存。562.P-Q分解法的收斂特性P-Q分解法所采取的一系列簡化假定只影響了修正方程式的結(jié)構(gòu)，也就是說只影響了迭代過程，并不影響最終結(jié)果。因為P-Q'分解法和牛頓法都采用相同的數(shù)學(xué)模型式，最后計算功率誤差和判斷收斂條件都是嚴格按照精確公式進行的，所以P-Q分解法和牛頓法一樣可以達到很高的精度。57P-Q分解法改變了牛頓法

迭代公式的結(jié)構(gòu)，就改變

了迭代過程的收斂特性。

事實上，依一個不變的系

數(shù)矩陣進行非線性方程組

的迭代求解，在數(shù)學(xué)上屬

于“等斜率法”，其選代過程是按幾何級數(shù)收斂的，若畫在對數(shù)坐標系上，這種收斂特性基本上接近一條直線。而牛頓法是按平方收斂的，在對數(shù)坐標紙上基本上是一條拋物線，如圖2-3所示。58由圖2-3可以看出，牛頓法在開始時收斂得比較慢，當收斂到一定程度后，它的收斂速度就非常快，而P-Q分解法幾乎是按同一速度收斂的。如果給出的收斂條件小于圖中A點相應(yīng)的誤差，那么P-Q分解法所需要的迭代次數(shù)要比牛頓法多幾次?？梢源致缘卣J為P-Q分解法的選代次數(shù)與精度的要求之間存在著線性關(guān)系。表2-1給出了對IEEE的幾個標準測試系統(tǒng)進行潮流計算的收斂情況。大量計算表明，BX法與XB法在收斂性方面沒有顯著差別，這兩種算法均有很好的收斂性，凡是牛頓法可以收斂的潮流問題，它們也可以收斂。59雖然P-Q分解法比牛頓法所需的選代次數(shù)要多，但每次迭代的計算量卻要小很多。因此P-Q分解法的計算速度比牛頓法有明顯提高。目前P-Q分解法不僅大量地用在規(guī)劃設(shè)計等離線計算的場合，也已經(jīng)廣泛地應(yīng)用在安全分析等在線計算中，它是目前計算速度最快的交流潮流算法。603.元件R/X大比值的病態(tài)問題由于P-Q分解法修正方程式是建立在元件R<<X以及線路兩端電壓相角差比較小等簡化假設(shè)基礎(chǔ)之上的，因此，當系統(tǒng)參數(shù)不符合這些簡化條件時，就會影響它的收斂性。而其中又以出現(xiàn)元件R/X大比值的機會最多，例如低電壓網(wǎng)絡(luò)、某些電纜線路、三繞組變壓器的等值電路以及通過某些等值方法所得到的等值網(wǎng)絡(luò)等均會出現(xiàn)大部分或個別支路R/X比值偏高的問題。常用參數(shù)補償?shù)姆椒ń鉀Q。61(1)串聯(lián)補償法。這種方法的原理由圖2-5是顯而易見的，其中m為增加的虛擬節(jié)點，

為新增的補償電容。Xc的數(shù)值應(yīng)使i-m支路滿足

的條件。這種方法的缺點是如果原來支路的R/X比值非常大，從而使Xc的值選得過大時，新增節(jié)點m的電壓值有可能偏離節(jié)點i及節(jié)點j的電壓很多，從而這種不正常的電壓本身將導(dǎo)致潮流計算收斂緩慢，甚至不能收斂。62(2)并聯(lián)補償法。如圖2-6所示，經(jīng)過補償?shù)闹穒-j的等值導(dǎo)納為：

即仍等于原來支路i—j的導(dǎo)納值。并聯(lián)補償新增節(jié)點m的電壓

不論

的取值大小都始終介于支路i—j兩端點的電壓之間，不會產(chǎn)生病態(tài)的電壓現(xiàn)象，從而克服了串聯(lián)補償法的缺點。63第二章電力系統(tǒng)潮流計算2.5潮流計算中負荷靜態(tài)特性的考慮642.5潮流計算中負荷靜態(tài)特性的考慮電力系統(tǒng)的負荷從系統(tǒng)吸取的有功功率及無功功率一般都要隨其端電壓的波動而變化。因此，在潮流計算時，這里所給定的各節(jié)點負荷功率，嚴格地講，只有在一定電壓下才有意義，當該點電壓和預(yù)定的電壓值有差別時，它的負荷功率就要按照其靜特性而變化。特別當系統(tǒng)因故障或檢修而開斷某些元件(如輸電線路或變壓器〉時，系統(tǒng)某些局部地區(qū)的電壓可能發(fā)生較大的變動，與正常值相差較大。在這種情況下，潮流計算應(yīng)該計及電壓變化對各節(jié)點負荷功率的影響，否則計算結(jié)果與實際情況就可能不符合。65由于各節(jié)點負荷的組成成分及特性千差萬別，要精確地寫出各節(jié)點負荷的負荷——電壓特性表達式是困難的，因此，在潮流程序中考慮負荷靜特性時，一般采用把負荷功率當作該點電壓的線性函數(shù)和非線性函數(shù)兩種方法，現(xiàn)分別敘述如下。(1)把負荷功率當作該點電壓的線性函數(shù)，即把各節(jié)點負荷的變化量看作與相應(yīng)節(jié)點電壓的增量成比例:66

式中:

為有功功率靜特性系數(shù)，一般取;

為無功功率靜特性系數(shù)，一般取

;

為

節(jié)點i在正常運行情況下的電壓給定值;

為節(jié)點i計算

電壓

與給定電壓

的差值。

為節(jié)點i在正常運

行電壓

情況下的負荷功率。因此，在潮流計算中，各節(jié)點在時刻t應(yīng)維持的負荷功率應(yīng)不斷按下式進行計算:67當在牛頓法或P-Q分解法潮流程序中考慮負荷靜特性時，基本方程式中的和不再是常數(shù)，而是電壓的函數(shù)。在這種情況下，潮流問題的基本方程式應(yīng)改寫為(以極坐標形式為例)修正方程式也要作相應(yīng)的變化。68(2)把負荷功率當作該點電壓的非線性函數(shù)。一般把負荷功率用電壓的二次多項式來表示：

式中:

均為負荷功率的標么值，分別以給定的

和

為基準值;

為該點電壓的標么值，以給定的電壓

為基準值

及

為系統(tǒng)負荷由靜特性試驗得到的常數(shù)，且滿足

。這種負荷靜特性的表示方法實際上相當于把系統(tǒng)各節(jié)點的負荷看成由恒定阻抗、恒定電流及恒定功率3部分組成，它比第一種方法更能在較大的電壓波動范圍內(nèi)精確地描述負荷特性，不僅可用于潮流計算，也廣泛地應(yīng)用于電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定及靜態(tài)穩(wěn)定計算中。69對于牛頓法和P-Q分解法來說，當考慮負荷靜特性時顯然應(yīng)按照下式計算各節(jié)點功率誤差雅可比矩陣中有關(guān)元素的表達式應(yīng)改為70第二章電力系統(tǒng)潮流計算2.6保留非線性潮流算法712.6保留非線性潮流算法思路：牛頓法求解非線性潮流方程時采用了逐次線性化的方法，20世紀70年代后期，人們開始研究這樣的問題，即如果采用更加精確的數(shù)學(xué)模型，將泰勒級數(shù)的高階項或非線性項也考慮進來，也許會進一步提高算法的收斂性能及計算速度，于是便產(chǎn)生了一類稱之為保留非線性的潮流算法。一般保留到泰勒級數(shù)的前3項，即取到泰勒級數(shù)的二階項，所以也稱為二階潮流算法。實現(xiàn)這種想法的第一個嘗試是在極坐標形式的牛頓法修正方程式中增加了泰勒級數(shù)的二階項，所得到的算法對收斂性能略有改善，但計算速度元沒有顯著提高。后來，根據(jù)直角坐標形式的潮流方程是一個二次代數(shù)方程組這一特點，提出了采用直角坐標形式的保留非線性的快速潮流算法，在速度上比牛頓法有較多的提高，引起了廣泛的重視。72一、保留非線性潮流算法的數(shù)學(xué)模型直角坐標形式的潮流方程為方程中右邊沒有關(guān)于自變量的一次項，也沒有常數(shù)項，屬于二次型。二次型函數(shù)特點有：1、對自變量的二階偏導(dǎo)是常數(shù)，對二階以上偏導(dǎo)為0；2、殘項R(△x）與y（x）形式相同，即73二、保留非線性潮流算法的基本原理1.泰勒級數(shù)展開式2.迭代格式上式為準確的表達式，不存在近似。實用中往往采用平啟動，并保持J不變。K=0時，令，與牛頓法的第一次迭代相同。7475三、保留非線性潮流算法的特點和性能分析與牛頓法相比：設(shè)求解的方程是

，則牛頓法的迭代公式是：保留非線性潮流算法的迭代公式是：76由迭代公式可見，與牛頓法的在迭代過程中變化的雅可比矩陣不同，保留非線性快速潮流算法采用的是用初值

計算而得到的恒定雅可比矩陣，整個計算過程只需形成一次，并三角分解構(gòu)成因子表。就每一次迭代所需的計算量而言，牛頓法要重新計算

，而保留非線性快速潮流算法則要計算

，由于計算函數(shù)式完全相同，僅變量不同，所以這部分的計算量是相同的，但由于保留非線性快速潮流算法不需重新形成雅可比矩陣并三角分解，所以每次迭代所需的時間可以大大節(jié)省。7778保留非線性快速潮流算法達到收斂所需的迭代次數(shù)比牛頓法要多，在半對數(shù)坐標紙上其收斂特性近似為一條直線，但由于每次迭代所需的計算量比牛頓法節(jié)省很多，所以總的計算速度比牛頓法提高很多。由于利用以初始值計算得到的恒定雅可比矩陣進行迭代，因此初始值的選擇對保留非線性快速潮流算法的收斂特性有很大影響。79第二章電力系統(tǒng)潮流計算2.7病態(tài)潮流算法802.7非線性規(guī)劃潮流算法

1、非線性方程組求解的病態(tài)問題：對方程組其條件數(shù)Cond(A)大，小的參數(shù)誤差可能引起解的失真。稱為病態(tài)方程。2、病態(tài)潮流：對潮流方程修正方程式的求解，Jacobi矩陣條件數(shù)大，就會出現(xiàn)無解或難以收斂的情況。實際中，如重負荷系統(tǒng)、具有梳子狀放射結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)以及具有鄰近多根運行條件的系統(tǒng)等，卻往往會出現(xiàn)計算過程振蕩甚至不收斂的現(xiàn)象。（無解？初值？）813、20世紀60年代末，一些學(xué)者相繼提出了潮流計算問題在數(shù)學(xué)上也可以表示為求某一個由潮流方程構(gòu)成的函數(shù)(稱為目標函數(shù))的最小值問題，并以此來代替代數(shù)方程組的直接求解。這就形成了一種采用數(shù)學(xué)規(guī)劃或最小化技術(shù)的、和前面介紹的各種算法在原理上完全不同的方法，并稱之為非線性規(guī)劃潮流算法。該方法計算潮流從原理上可以保證計算過程永遠不會發(fā)散。只要在給定的運行條件下，潮流問題有解，則上述的目標函數(shù)最小值就迅速趨近于零;如果從某一個初值出發(fā)，潮流問題無解，則目標函數(shù)就先是逐漸減小，但最后卻停留在某一個不為零的正值上。常用的病態(tài)潮流計算方法有：無約束非線性規(guī)劃法、最優(yōu)乘子法。82一、非線性規(guī)劃潮流算法的數(shù)學(xué)模型設(shè)將潮流計算問題概括為求解如下的非線性代數(shù)方程組

或

式中:x為待求變量組成的n維向量，

為給定的常量?？梢詷?gòu)造標量函數(shù)為

或簡寫83若原非線代數(shù)方程組的解存在，則標量函數(shù)F(x)的最小值應(yīng)該為零。若此最小值不能變?yōu)榱悖瑒t說明不存在能滿足原方程組的解?？蓪⒊绷饔嬎銌栴}歸為如下的非線性規(guī)劃問題:即求，從而使

。

84二、非線性規(guī)劃潮流算法的計算過程要求出目標函數(shù)F(x)的極小點，按照數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法，通常由下述步驟組成(設(shè)k為迭代次數(shù)):(1)確定一個初始估計值

；(2)置迭代次數(shù)k=0；(3)從

出發(fā)，按照能使目標函數(shù)下降的原則，確定一個搜索或?qū)?yōu)方向

；(4)沿著

的方向確定能使目標函數(shù)下降得最多的一個點，也就是決定移動的步長。由此得到了一個新的迭代點，即85式中:μ為步長因子，其數(shù)值的選擇應(yīng)使目標函數(shù)下降最多，用算式表示即為：當

決定以后

即是步長因子

的一個一元函數(shù)。

稱為最優(yōu)步長因子，可通過求F對μ的極值而得。(5)校驗

是否成立。如成立，則

就是要求的解；否則，令k=k+1，轉(zhuǎn)向步驟(3)，重復(fù)循環(huán)計算。86如圖所示為應(yīng)用上述步驟求目標函數(shù)最小值的過程，這里假設(shè)變量向量是二維的，其中標有

為定值的曲線族為等高線族，要求的極小點

的點。87方法關(guān)鍵：(1)確定第k次迭代的搜索方向

；(2)確定第k次迭代的最優(yōu)步長因子

。88三、帶有最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法在決定搜索方向

時，可以利用常規(guī)牛頓潮流算法每次迭代所求出的修正量向量

作為搜索方向，并稱之為目標函數(shù)在

處的牛頓方向。89最優(yōu)步長因子的決定：對一定的

，目標函數(shù)

是最優(yōu)乘子滿足使上述目標函數(shù)最小，即潮流方程的失配量最小。該方法亦稱為阻尼牛頓法。90(1)從一定的初值出發(fā)，原來的潮流問題有解。當用帶有最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法求解時，目標函數(shù)

將下降為零，在經(jīng)過幾次迭代以后，穩(wěn)定在1.0附近。(2)從一定的初值出發(fā)，原來的潮流問題無解。這種情況下當用這種算法求解時，目標函數(shù)開始時也能逐漸減小，但迭代到一定的次數(shù)以后即停滯在某一個不為零的正值上，不能繼續(xù)下降。

的值則逐漸減小，最后趨近于零。

趨近于零是所給的潮流問題無解的一個標志，因為這說明了

有異常的變化，只是由于存在著一個趨于零的

，才使得計算過程不致發(fā)散。91(3)有別于以上兩種情況，當采用這個方法計算時，不論迭代多少次，

的值始終在1.0附近擺動，但目標函數(shù)卻不斷波動、不能降為零。

的值能趨近于1.0說明了解的存在，而目標函數(shù)產(chǎn)生波動或不能繼續(xù)下降可能是由于計算精度不夠所致，這時若改用雙精度計算往往可能解決問題。由上可見，采用帶有最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法以后，潮流計算永遠不會發(fā)散，即從算法上保證了計算過程的收斂性，從而有效地解決了病態(tài)潮流的計算問題。而

的數(shù)值，即是在給定的運算條件下，潮流問題是否有解的一個判斷標志。92第二章電力系統(tǒng)潮流計算2.8其它特殊性質(zhì)的潮流計算問題93942.8其它特殊性質(zhì)的潮流計算問題一、直流潮流前面介紹的潮流計算都屬于精確的交流潮流計算，所采用的數(shù)學(xué)模型和得到的計算結(jié)果都是精確的，但其計算量較大、耗費的時間也比較多。在有些場合如系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計時，原始數(shù)據(jù)本身就并不很精確而規(guī)劃方案卻很多;再如在實時安全分析中，要進行大量的預(yù)想事故篩選等。這些場合對計算速度的要求比對計算精確度的要求更高，因此就產(chǎn)生了采用近似模型的直流法潮流計算，其計算速度是所有潮流算法中最快的。對交流網(wǎng)絡(luò)中某條支路，其首端流入功率的表達式為：95假設(shè):(1)高壓輸電線路的電阻遠小于電抗，即