高中數(shù)學(xué)北師大版3第一章計(jì)數(shù)原理 第1章52

第一章§5第2課時(shí)一、選擇題1．(1－x)4(1－eq\r(x))3的展開式中x2的系數(shù)是()A．－6 B．－3C．0 D．3解析：(1－x)4(1－eq\r(x))3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)·(1－3xeq\f(1,2)＋3x－xeq\f(3,2))，所以x2的系數(shù)是－12＋6＝－6.答案：A2．若(x3＋eq\f(1,x2))n展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則不含x的項(xiàng)等于()A．210 B．120C．461 D．416解析：由已知得第6項(xiàng)應(yīng)為中間項(xiàng)，則n＝10.Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(x3)10－r·(eq\f(1,x2))r＝Ceq\o\al(r,10)·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.∴T6＋1＝Ceq\o\al(6,10)＝210.答案：A3．若二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和是64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．－240 B．－160C．160 D．240解析：由題意2n＝64，即n＝6，設(shè)Tr＋1為常數(shù)項(xiàng)．則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(x2)6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))r＝(－2)rCeq\o\al(r,6)x12－2r－r，令12－3r＝0，即r＝4，所以常數(shù)項(xiàng)為(－2)4·Ceq\o\al(4,6)＝16×15＝240，故選D．答案：D4．(x－y)7的展開式中，系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是()A．第4項(xiàng) B．第4、5兩項(xiàng)C．第5項(xiàng) D．第3、4兩項(xiàng)解析：(x－y)n的展開式，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，展開式共有n＋1項(xiàng)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，展開式有n＋1項(xiàng)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．而(x－y)7的展開式中，系數(shù)絕對值最大的是中間兩項(xiàng)，即第4、5兩項(xiàng)．答案：B二、填空題5．如圖是一個(gè)類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為____________.13356571111791822189…解析：觀察規(guī)律可知：第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為2n－1.答案：2n－16．在(1＋x)9的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是____________.解析：因二項(xiàng)展開式共有10項(xiàng)，所以中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且相等，又由于x的系數(shù)為1.所以系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(4,9)或Ceq\o\al(5,9)，都等于126.答案：126三、解答題7．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))n的展開式中，第五項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為14∶3，求展開式的常數(shù)項(xiàng)．解析：依題意Ceq\o\al(4,n)∶Ceq\o\al(2,n)＝14∶3?3Ceq\o\al(4,n)＝14Ceq\o\al(2,n)∴eq\f(3nn－1n－2n－3,4！)＝eq\f(14nn－1,2！)?n＝10.設(shè)第r＋1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，又Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(eq\r(x))10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x2)))r＝(－2)rCeq\o\al(r,10)xeq\f(10－5r,2)，令eq\f(10－5r,2)＝0?r＝2，∴T2＋1＝Ceq\o\al(2,10)(－2)2＝180.因此所求常數(shù)項(xiàng)為180.8．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.(1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|；(3)求a1＋a3＋a5.解析：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(2×1－1)5＝1.(2)由二項(xiàng)式定理，得(2x－1)5＝Ceq\o\al(0,5)(2x)5＋Ceq\o\al(1,5)(2x)4(－1)＋Ceq\o\al(2,5)(2x)3(－1)2＋Ceq\o\al(3,5)(2x)2(－1)3＋Ceq\o\al(4,5)(2x)(－1)4＋Ceq\o\al(5,5)(－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x4＋a4x＋a5.對比系數(shù)可知，a1，a3，a5為負(fù)數(shù)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，又在二項(xiàng)展開式中令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝－(－35)＝35＝243.(3)令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，①令x＝－1得－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－35②①＋②得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，∴a1＋a3＋a5＝eq\f(1－35,2)＝－121.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．設(shè)m，n是正整數(shù)，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n，已知在f(x)展開式中，x的系數(shù)為19.(1)當(dāng)m，n為何值時(shí)，x2的系數(shù)最小？(2)當(dāng)x2的系數(shù)最小時(shí)，求x7的系數(shù)．解析：(1)f(x)展開式中，x的系數(shù)為Ceq\o\al(1,m)＋Ceq\o\al(1,n)＝m＋n＝19，即m＋n＝19.而x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(1,2)[m(m－1)＋n(n－1)]＝eq\f(1,2)[m2＋n2－(m＋n)]＝eq\f(1,2)[(m＋n)2－2mn－(m＋n)]＝eq\f(1,2)(361－2mn－19)＝171－mn，將m＝19－n代入，可得Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(2,n)＝n2－19n＋171＝(n－eq\f(19,2))2＋171－eq\f(361,4).由于n是正整數(shù)，所以當(dāng)n＝9或n＝10時(shí)，x2的系數(shù)Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(2,n)取最小值81此時(shí)m＝10，n＝9或m＝9，n＝10.(2)由(1)知，n＝9且m＝10或n＝10且m＝9，此時(shí)f(x)均為f(x)＝(1＋x)9＋(1＋x)10＝(1＋