湖南省衡陽(yáng)市 衡山縣金龍中學(xué)2022高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省衡陽(yáng)市衡山縣金龍中學(xué)2022高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)三視圖判斷幾何體是圓錐的一部分，再根據(jù)俯視圖與左視圖的數(shù)據(jù)可求得底面扇形的圓心角為120°，又由側(cè)視圖知幾何體的高為4，底面圓的半徑為2，把數(shù)據(jù)代入圓錐的體積公式計(jì)算．【解答】解：由三視圖知幾何體是圓錐的一部分，由俯視圖與左視圖可得：底面扇形的圓心角為120°，又由側(cè)視圖知幾何體的高為4，底面圓的半徑為2，∴幾何體的體積V=××π×22×4=．故選：D．2.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．20π B．24π C．28π D．32π參考答案：C【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】空間幾何體是一個(gè)組合體，上面是一個(gè)圓錐，圓錐的底面直徑是4，圓錐的高是2，在軸截面中圓錐的母線長(zhǎng)使用勾股定理做出的，寫出表面積，下面是一個(gè)圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是4，做出圓柱的表面積，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三視圖知，空間幾何體是一個(gè)組合體，上面是一個(gè)圓錐，圓錐的底面直徑是4，圓錐的高是2，∴在軸截面中圓錐的母線長(zhǎng)是=4，∴圓錐的側(cè)面積是π×2×4=8π，下面是一個(gè)圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是4，∴圓柱表現(xiàn)出來(lái)的表面積是π×22+2π×2×4=20π∴空間組合體的表面積是28π，故選：C．3.已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（

）A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：C【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)值的意義；集合運(yùn)算.

B1

A1

解析：∵A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，∴B={0,2,4,6}，∴A∩B={0,2}，故選C.【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)值的意義得集合A中元素，從而A∩B.4.已知，，，，則向量在向量上的投影為

（▲）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，斜率為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若

，則的值為

A．5

B．4

C．

D．參考答案：B6.下列各式中，值為的是

A．

B．C．D．參考答案：D7.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是

( )A、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B、按性別分層抽樣 C、按學(xué)段分層抽樣 D、系統(tǒng)抽樣參考答案：C8.已知集合，，則等于

A．（-∞，5） B．（-∞，2） C． （1，2） D．參考答案：C9.某算法的程序框圖如右圖所示，如果輸出的結(jié)果為26，則判斷框內(nèi)的條件應(yīng)為(

)A． B． C． D．參考答案：C試題分析：程序在運(yùn)行過(guò)程中，各變量的值變化如下所示：

條件

循環(huán)前

0/1

第1圈

1

否

2

第2圈

4

否

3

第3圈

11

否

4

第4圈

26

是

可得，當(dāng)時(shí)，．此時(shí)應(yīng)該結(jié)束循環(huán)體并輸出的值為26

所以判斷框應(yīng)該填入的條件為：

故選C．考點(diǎn)：程序框圖10.數(shù)列為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，且已知函數(shù)，則A、﹣6

B、﹣21

C、﹣12

D、21參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知偶函數(shù)f（x）（x≠0）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）＜2f（x），則使f（x）＞0成立的x的取值范圍為．參考答案：（﹣1，0）∪（0，1）【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)得到，g（x）在（0，+∞）是減函數(shù)，再根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．【解答】解：根據(jù)題意，令g（x）=，又由f（x）為偶函數(shù)，則g（﹣x）==，故g（x）為偶函數(shù)，且g′（x）==，又由當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）＜2f（x），則當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＜0，所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又f（1）=0，所以g（1）==0，且g（x）為偶函數(shù)，則有|x|＜1，解可得x∈（﹣1，0）∪（0，1）；即g（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函數(shù)值大于零，則f（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函數(shù)值大于零．故答案為：（﹣1，0）∪（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）=，想到通過(guò)構(gòu)造函數(shù)解決．12.在△ABC中，B＝60°，，則AB＋2BC的最大值為________．參考答案：13.已知銳角滿足，則的最大值為_______________.參考答案：14.已知函數(shù)，則f(x)在處的切線方程為

.參考答案：切線方程為.15.已知直線和圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)線段AB最短時(shí)直線l的方程為________.參考答案：x+3y+5=016.角終邊上一點(diǎn)M（，），且，則=

__

；參考答案：17.已知?jiǎng)t等于

.參考答案：-【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式C2由則，sin=-,tan=-,==-【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)角的范圍求出正切值，再求。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BD=DC，連結(jié)AC，AE，DE．求證：∠E=∠C．參考答案：證明：連接AD．∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定義）．又∵BD=DC，∴AD是線段BC的中垂線（線段的中垂線定義）．∴AB=AC（線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)）．又∵D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，∴∠B=∠E（圓周角定理）∴∠E=∠C（等量代換）點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓周考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專題：證明題．分析：要證∠E=∠C，就得找一個(gè)中間量代換，一方面考慮到∠B，∠E是同弧所對(duì)圓周角，相等；另一方面根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到．從而得證．解答：證明：連接AD．∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定義）．又∵BD=DC，∴AD是線段BC的中垂線（線段的中垂線定義）．∴AB=AC（線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)）．又∵D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，∴∠B=∠E（圓周角定理）∴∠E=∠C（等量代換）點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓周19.（10分）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和為10，是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn；（2）若a1，a2，a4恰為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)，記數(shù)列cn=an（cosnπ+bn），求{cn}的前n項(xiàng)和為Kn．參考答案：（1）（2）Kn=．（1）∵是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，∴a1=d．又，∴a1=1，∴an=n，，∴，∴Tn=…+=…+==．（2）∵b1=a1=1，b2=a2=2，是等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng)，∴．∴cn=n（﹣1）n+n×2n﹣1，記，則，Bn=1+2×21+3×22+…n×2n﹣1=（n﹣1）2n+1．Kn=．20.已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若的最小值為0，回答下列問(wèn)題：（?。┣髮?shí)數(shù)的值；（ⅱ）設(shè)，（）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求證：．參考答案：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，且．?dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，解得；由，解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上述：時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是；

時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（Ⅱ）（?。┯桑á瘢┲?，當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，由，解得；由，解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．故，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，=0．因此，．

（ⅱ）因?yàn)?，所以直線AB的斜率．依題意，可得，即．令，于是==．

由（?。┲?，當(dāng)時(shí)，，于是，即成立．分==．由（?。┲?，當(dāng)時(shí)，，即，于是，即成立．綜上，成立．

略21.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(?2,0)，其傾斜角為?，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中（取相同的長(zhǎng)度單位），曲線C的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求傾斜角?的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．參考答案：(Ⅰ)法一：由曲線C的極坐標(biāo)方程得，又∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為，即

………....…1分∴曲線C是圓心為C(2,0)，半徑為2的圓.∵直線l過(guò)點(diǎn)P(?2,0)，當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=?2與曲線C沒有公共點(diǎn)，…2分∴直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，即.直線l與圓有公共點(diǎn)，則圓心C到直線l的距離

...........………3分解得

…...............………4分∵，∴的取值范圍是

....................…………5分法二：由曲線C的極坐標(biāo)方程得，又∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為，

…....................................................………1分∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(?2,0)，其傾斜角為?，∴直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

……......................................……2分將代入整理得：.

.............….………3分∵直線l與曲線C有公共點(diǎn)，∴即或…....4分∵，∴的取值范圍是.

....…….......................5分(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)曲線C的直角坐標(biāo)方程為，故其參數(shù)方程為

（為參數(shù)）

.

……….............…7分∵M(jìn)(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn)，∴

…........8分∵，∴，因此，的取值范圍是.

………….........................10分法二：設(shè).

………….....6分由(Ⅰ)知曲線C即圓C:,依題意,圓C與直線有交點(diǎn)，…7分∴圓心C到直線的距離，

.........................…9分解得,即的取值范圍是.

……................................................……10分22.（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)．（Ⅰ）證明：an＋2－an＝λ；（Ⅱ）當(dāng)λ為何值時(shí)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等差關(guān)系的確定．D1D2【答案解析】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）λ＝4.解析：（Ⅰ）由題設(shè)，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1．………………1分兩式相減，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1．

………………2分由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ．…………4分（Ⅱ）由題設(shè)，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1．………………6分由（Ⅰ）知，a3＝λ＋1．令2a2＝a1＋a3