高中數(shù)學(xué)蘇教版3第二章概率【市一等獎】

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達標]一、填空題1．已知隨機變量ξ滿足V(ξ)＝eq\f(1,9)，則ξ的標準差為________．【解析】eq\r(Vξ)＝eq\r(\f(1,9))＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)2．設(shè)隨機變量ξ可能取值為0,1，且滿足P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝0)＝eq\f(2,3)，則V(ξ)＝________.【解析】由題意可知，隨機變量ξ服從兩點分布，故V(ξ)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).【答案】eq\f(2,9)3．隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則V(ξ)＝________.【導(dǎo)學(xué)號：29440059】【解析】設(shè)P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝y(tǒng)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝\f(4,5)，,x＋2y＝1，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)，,y＝\f(1,5)，))所以V(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).【答案】eq\f(2,5)4．若ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，且η＝2ξ＋3，則V(ξ)＝________，V(η)＝________.【解析】∵ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，∴V(ξ)＝4×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,9).V(η)＝V(2ξ＋3)＝4V(ξ)＝eq\f(32,9).【答案】eq\f(8,9)eq\f(32,9)5．(2023·四川高考)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是________．【解析】法一：由題意可知每次試驗不成功的概率為eq\f(1,4)，成功的概率為eq\f(3,4)，在2次試驗中成功次數(shù)X的可能取值為0,1,2，則P(X＝0)＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(9,16).所以在2次試驗中成功次數(shù)X的分布列為X012Peq\f(1,16)eq\f(3,8)eq\f(9,16)則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為E(X)＝0×eq\f(1,16)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(3,2).法二：此試驗滿足二項分布，其中p＝eq\f(3,4)，所以在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為E(X)＝np＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)6．隨機變量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，若E(ξ)＝eq\f(1,3)，則V(ξ)＝________.【導(dǎo)學(xué)號：29440060】【解析】由題意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝eq\f(1,3)③，以上三式聯(lián)立解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，故V(ξ)＝eq\f(5,9).【答案】eq\f(5,9)7．(2023·揚州高二檢測)設(shè)一次試驗成功的概率為p，進行100次獨立重復(fù)試驗，當(dāng)p＝________時，成功次數(shù)的標準差的值最大，其最大值為________．【解析】成功次數(shù)ξ～B(100，p)，∴V(ξ)＝100p(1－p)≤100×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(p＋1－p,2)))2＝25.當(dāng)且僅當(dāng)p＝1－p，即p＝eq\f(1,2)時，eq\r(Vξ)取得最大值eq\r(25)＝5.【答案】eq\f(1,2)58．一次數(shù)學(xué)測驗由25道選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確的，每個答案選擇正確得4分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，某學(xué)生選對任一題的概率為，則此學(xué)生在這一次測驗中的成績的均值與方差分別為________．【解析】設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測驗中選對答案的題目的個數(shù)為X，所得的分數(shù)(成績)為Y，則Y＝4X.由題知X～B(25,，所以E(X)＝25×＝15，V(X)＝25××＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，V(Y)＝V(4X)＝42×V(X)＝16×6＝96，所以該學(xué)生在這次測驗中的成績的均值與方差分別是60與96.【答案】60,96二、解答題9．設(shè)在15個同類型的零件中有2個是次品，每次任取1個，共取3次，設(shè)ξ表示取出次品的個數(shù)．(1)若取后不放回，求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ)；(2)若取后再放回，求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ)．【解】(1)由題意，得ξ～H(3,2,15)，E(ξ)＝eq\f(nM,N)＝eq\f(3×2,15)＝eq\f(2,5)，V(ξ)＝eq\f(nMN－nN－M,N2N－1)＝eq\f(3×2×15－3×15－2,152×15－1)＝eq\f(52,175).(2)由題意ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,15)))，E(ξ)＝np＝3×eq\f(2,15)＝eq\f(2,5)，V(ξ)＝np(1－p)＝3×eq\f(2,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,15)))＝eq\f(26,75).10．(2023·淮安高二檢測)一個口袋中裝有大小相同的2個白球和4個黑球．(1)采取放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率；(2)采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求摸得白球的個數(shù)的期望和方差．【解】(1)“有放回摸球”可看作獨立重復(fù)試驗，因為每摸出一球得白球的概率為p＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).所以“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,9).(2)設(shè)摸得白球的個數(shù)為ξ，依題意得：P(ξ＝0)＝eq\f(4,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(4,6)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,6)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)，所以E(ξ)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(2,3)，V(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq\f(2,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(8,15)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))2×eq\f(1,15)＝eq\f(16,45).能力提升]1．若隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝m)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，則V(ξ)的最小值等于________．【解析】由分布列中，概率和為1，則a＋eq\f(1,3)＝1，a＝eq\f(2,3).∵E(ξ)＝2，∴eq\f(m,3)＋eq\f(2n,3)＝2，∴m＝6－2n.∴V(ξ)＝eq\f(1,3)×(m－2)2＋eq\f(2,3)×(n－2)2＝eq\f(2,3)×(n－2)2＋eq\f(1,3)×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.∴n＝2時，V(ξ)取最小值0.【答案】02．有同寢室的四位同學(xué)分別每人寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人去拿一張，記自己拿自己寫的賀年卡的人數(shù)為X，則X的方差是________．【解析】由條件，得X的概率分布列為：X0124Peq\f(9,24)eq\f(8,24)eq\f(6,24)eq\f(1,24)E(X)＝0×eq\f(9,24)＋1×eq\f(8,24)＋2×eq\f(6,24)＋4×eq\f(1,24)＝1，V(X)＝(0－1)2×eq\f(9,24)＋(1－1)2×eq\f(8,24)＋(2－1)2×eq\f(6,24)＋(4－1)2×eq\f(1,24)＝1.【答案】13．設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列x1，x2，x3，…，x19的公差，隨機變量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，則方差V(ξ)＝________.【解析】E(ξ)＝x10，V(ξ)＝eq\f(d2,19)(92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92)＝30d2.【答案】30d24．一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖2-5-3所示．圖2-5-3將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立．(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的概率分布，期望E(X)及方差V(X)．【解】(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此P