2021-2022學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市藝術(shù)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2021-2022學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市藝術(shù)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，則△ABC的外接圓面積為A. B.π C.2π D.4π參考答案：B【分析】根據(jù)正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.【詳解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來說,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.

2.已知f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，若f（4）=0，則滿足xf（x）≤0的x取值范圍是（） A．[﹣4，4] B．（﹣4，4） C．[﹣4，0）∪（0，4] D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合． 【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】首先由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱及在（0，+∞）上是增函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為不等式組，進(jìn)而可解出x的取值范圍． 【解答】解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（0）=0 ∴或， ∴x的取值范圍是（0，4]∪[﹣4，0）∪{0}=[﹣4，4]， 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的解法，考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，應(yīng)注意奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反． 3.如右圖所示，是全集，、是的子集，則圖中陰影部分表示的集合是()A．

B．

C．

D．參考答案：B由交集、補(bǔ)集的定義可知選B.4.等差數(shù)列{an}中，a3，a7是函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3的兩個(gè)零點(diǎn)，則{an}的前9項(xiàng)和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．36參考答案：C【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由韋達(dá)定理得a3+a7=4，從而{an}的前9項(xiàng)和S9==，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，a3，a7是函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3的兩個(gè)零點(diǎn)，∴a3+a7=4，∴{an}的前9項(xiàng)和S9===．故選：C．5.函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的圖象如圖所示，為了得到f（x）的圖象，則只需將g（x）=sin2x的圖象（）A．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位參考答案：B【分析】由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，從而得到函數(shù)f（x）的解析式．再根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律得出結(jié)論．【解答】解：由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象可得A=1，=，解得ω=2．再由五點(diǎn)法作圖可得2×+φ=π，解得φ=，故函數(shù)f（x）=2sin（2x+）=2sin2（x+），故把g（x）=sin2x的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位可得f（x）的圖象，故選B．6.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，是正半軸上一點(diǎn)，則中的最大值為（）．A． B． C． D．參考答案：見解析，，，∴，由得，∴當(dāng)時(shí)，為最大值：選．7.以下關(guān)于正弦定理或其變形的敘述錯(cuò)誤的是（）A．在△ABC中，a：b：c=sinA：sinB：sinCB．在△ABC中，若sin2A=sin2B，則a=bC．在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B，若A＞B，則sinA＞sinBD．在△ABC中，參考答案：B【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】在△ABC中，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsingB，c=2RsinC，結(jié)合比例的性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否成立，從而得出結(jié)論．【解答】解：A、在△ABC中，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsingB，c=2RsinC，故有a：b：c=sinA：sinB：sinC，故A成立；B、若sin2A=sin2B，等價(jià)于2A=2B，或2A+2B=π，可得：A=B，或A+B=，故B不成立；C、∵若sinA＞sinB，則sinA﹣sinB=2cossin＞0，∵0＜A+B＜π，∴0＜＜，∴cos＞0，∴sin＞0，∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴﹣＜＜，又sin＞0，∴＞0，∴A＞B．若A＞B成立則有a＞b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB成立；故C正確；D、由，再根據(jù)比例式的性質(zhì)可得D成立．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，結(jié)合比例的性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．8.已知函數(shù)若對(duì)任意，都有=

（

）

A．—1

B．1

C．0

D．參考答案：C略9.已知A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5},則集合A∪B的元素個(gè)數(shù)是

（

）A．8 B．7 C．6 D．5參考答案：C略10.已知集合，則A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以2，再減去3，得到一組新的數(shù)據(jù)，如果求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，方差為4，則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

，方差為

.

參考答案：略12.如圖，一個(gè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為2，分別以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，1為半徑在三角形內(nèi)作圓弧，三段圓弧與斜邊圍成區(qū)域（圖中白色部分）．若在此三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為

．參考答案：13.已知，則

．參考答案：14.若A={x|mx2+x+m=0，m∈R}，且A∩R=?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．參考答案：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】由已知得mx2+x+m=0無解，從而，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：∵A={x|mx2+x+m=0，m∈R}，且A∩R=?，∴mx2+x+m=0無解，∴，解得m＜﹣或m＞．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．15.設(shè)非零向量，的夾角為，記，若，均為單位向量，且，則向量與的夾角為__________．參考答案：【分析】根據(jù)題意得到，，再根據(jù)向量點(diǎn)積的公式得到向量夾角即可.【詳解】由題設(shè)知，若向量，的夾角為，則，的夾角為.由題意可得，，.∵，，，，向量與的夾角為.故答案為.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量數(shù)量積的應(yīng)用，以及向量夾角的求法，平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.16.給出下列命題：①、0與表示同一個(gè)集合；②、由1，2，3組成的集合可表示為；③、方程的所有解的集合可表示為；④、集合可以用列舉法表示；⑤、若全集，則集合的真子集共有3個(gè)。其中正確命題的序號(hào)是

。參考答案：②⑤17.在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù),使,則實(shí)數(shù)的限值范圍是=

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）（其中a＞0，且a≠1）（1）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；（2）判斷函數(shù)f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以證明；（3）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)恒成立問題．

【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，可得函數(shù)的定義域；（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得結(jié)論；（3）結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，分類討論，即可求得使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．【解答】解：（1）由題意得：，∴﹣1＜x＜1∴所求定義域?yàn)閧x|﹣1＜x＜1，x∈R}；（2）函數(shù)f（x）﹣g（x）為奇函數(shù)令H（x）=f（x）﹣g（x），則H（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x）=loga，∵H（﹣x）=loga=﹣loga=﹣H（x），∴函數(shù)H（x）=f（x）﹣g（x）為奇函數(shù)；（3）∵f（x）+g（x）=loga（x+1）+loga（1﹣x）=loga（1﹣x2）＜0=loga1∴當(dāng)a＞1時(shí)，0＜1﹣x2＜1，∴0＜x＜1或﹣1＜x＜0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1﹣x2＞1，不等式無解綜上：當(dāng)a＞1時(shí)，使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合為{x|0＜x＜1或﹣1＜x＜0}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查解不等式，正確運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是關(guān)鍵．19.已知函數(shù)解析式為.（1）求；（2）畫出這個(gè)函數(shù)的圖象,并寫出函數(shù)的值域；（3）若,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.參考答案：（1）；（2）圖見解析，值域?yàn)?；?）.【分析】（1）將-1代入求得即可求；（2）做出圖象，進(jìn)而得值域；（3）轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)即可求解【詳解】（1）=-6，故=-1（2）圖象如圖，值域?yàn)椋?）原題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)，故【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)及性質(zhì)，求值域，函數(shù)零點(diǎn)問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，中檔題，注意易錯(cuò)點(diǎn)20.（本題滿分12分）已知長(zhǎng)方體中，底面為正方形，面，，，點(diǎn)在棱上，且．（1）試在棱上確定一點(diǎn)，使得直線平面，并證明；（2）若動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi)，且，請(qǐng)說明點(diǎn)的軌跡，并探求長(zhǎng)度的最小值．參考答案：（Ⅰ）取的四等分點(diǎn)，使得，則有平面.………1分證明如下：因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，則，………2分因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．……?分（Ⅱ）因?yàn)?所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，半徑等于2的四分之一圓?。?分因?yàn)?，面，所以面，……………?分故．………………8分所以當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度取最小值時(shí)，的長(zhǎng)度最小，此時(shí)點(diǎn)為線段和四分之一圓弧的交點(diǎn)，………………10分即，所以．ks5u即長(zhǎng)度的最小值為．………………12分21.(12分)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明判斷出的結(jié)論；（3）判斷有無最值？若有，求出最值。參考答案：（1）∵是上