高中數(shù)學(xué)蘇教版本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第3章學(xué)業(yè)分層測評20

學(xué)業(yè)分層測評(二十)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、填空題1．從裝有數(shù)十個紅球和數(shù)十個白球的罐子里任取兩球，下列情況中是互斥但不對立的兩個事件是________．(填序號)①至少有一個紅球；至少有一個白球；②恰有一個紅球；都是白球；③至少有一個紅球；都是白球；④至多有一個紅球；都是紅球．【解析】對于①，“至少有一個紅球”可能為一個紅球、一個白球，“至少有一個白球”可能為一個白球，一個紅球，故兩事件可能同時發(fā)生，所以不是互斥事件；對于②，“恰有一個紅球”，則另一個必是白球，與“都是白球”是互斥事件，而任取兩個球還有都是紅球的情形，故兩事件不是對立事件；對于③，“至少有一個紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”顯然是對立事件；對于④，“至多有一個紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是對立事件．【答案】②2．現(xiàn)有歷史、生物、政治、物理和化學(xué)共5本書，從中任取1本，取出的是理科書的概率為________．【解析】記取到歷史、生物、政治、物理、化學(xué)書分別為事件A，B，C，D，E，則A，B，C，D，E互斥，取到理科書的概率為事件B、D、E概率的和．∴P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)3．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝，則P(B)的取值范圍是________．【解析】∵A與B為互斥事件，∴P(A)＋P(B)≤1，∴P(B)≤，故P(B)的取值范圍是[0,]．【答案】[0,]4．某城市2023年的空氣質(zhì)量狀況如表所示：【導(dǎo)學(xué)號：11032072】污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50<T≤100時，空氣質(zhì)量為良；100<T≤150時，空氣質(zhì)量為輕微污染．該城市2023年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為________．【解析】設(shè)“空氣質(zhì)量達到優(yōu)或良”為事件A，由題意可知，P(A)＝P(T≤50)＋P(50<T≤100)＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)5．某家庭電話，打進電話響第一聲時被接的概率是，響第2聲時被接的概率為，響第3聲時被接的概率是，響第4聲時被接的概率為，則電話在響第5聲前被接的概率為________．【解析】由互斥事件概率公式得所求概率為P＝＋＋＋＝.【答案】6．如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，那么取到紅心的概率是eq\f(1,4)，取到方片的概率是eq\f(1,4)，則取到黑色牌的概率是________．【解析】設(shè)“取到紅心”為事件A，“取到方片”為事件B，“取到紅色牌”為事件C，則C＝A＋B，且A，B互斥．∴P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).而eq\o(C,\s\up6(－))表示“取到黑色牌”，所以P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－P(C)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).即取到黑色牌的概率為eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)7．盒子里裝有6個紅球，4個白球，從中任取3個球．設(shè)事件A表示“3個球中有1個紅球，2個白球”，事件B表示“3個球中有2個紅球，1個白球”．已知P(A)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(1,2)，則“3個球中既有紅球又有白球”的概率為________．【解析】記事件C為“3個球中既有紅球又有白球”，則它包含事件A“3個球中有1個紅球，2個白球”和事件B“3個球中有2個紅球，1個白球”，而且事件A與事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(4,5).【答案】eq\f(4,5)8．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為，出現(xiàn)丙級品的概率為，則抽查一件產(chǎn)品，抽得正品的概率為________．【解析】記“抽出的產(chǎn)品為正品”為事件A，“抽出的產(chǎn)品為乙級品”為事件B，“抽出的產(chǎn)品為丙級品”為事件C，則事件A，B，C彼此互斥，且A與B＋C是對立事件，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－－＝.【答案】二、解答題9．在一個袋子中放入3個白球，1個紅球，搖勻后隨機摸球．(1)摸出的球不放回袋中，求第1次或第2次摸出紅球的概率；(2)摸出的球放回袋中連續(xù)摸2次，求第1次或第2次摸出的球都是紅球的概率．【解】(1)記“第1次摸到紅球”為事件A，“第2次摸到紅球”為事件B.顯然A，B為互斥事件，易知P(A)＝eq\f(1,4).下面計算P(B)．摸兩次球可能出現(xiàn)的結(jié)果為：(白1，白2)、(白1，白3)、(白1，紅)、(白2，白1)、(白2，白3)、(白2，紅)、(白3，白1)、(白3，白2)、(白3，紅)、(紅，白1)、(紅，白2)、(紅，白3)，在這12種情況中，第二次摸到紅球有3種情況，所以P(B)＝eq\f(1,4)，故第1次或第2次摸到紅球的概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).(2)把第1次，第2次摸球的結(jié)果列舉出來，除了上題中列舉的12種以外，由于放回，又會增加4種即(白1，白1)，(白2，白2)，(白3，白3)，(紅，紅)．這樣共有16種摸法．其中第1次摸出紅球，第2次摸出不是紅球的概率為P1＝eq\f(3,16).第1次摸出不是紅球，第2次摸出是紅球的概率為P2＝eq\f(3,16).兩次都是紅球的概率為P3＝eq\f(1,16).所以第1次或第2次摸出紅球的概率為P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(7,16).10．甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5個不同題目，選擇題3個，判斷題2個，甲、乙兩人各抽一題.【導(dǎo)學(xué)號：11032073】(1)甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到判斷題的概率是多少？(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？【解】把3個選擇題記為x1，x2，x3,2個判斷題記為p1，p2.“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6種；“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6種；“甲、乙都抽到選擇題”的情況有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6種；“甲、乙都抽到判斷題”的情況有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2種．因此基本事件的總數(shù)為6＋6＋6＋2＝20種．(1)“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，故“甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到判斷題”的概率為eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).(2)“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率為eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).[能力提升]1．對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進行抽樣檢測，下圖3-4-2為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上的為一等品，在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35)上的為三等品．用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取一件，則其為二等品的概率為________．圖3-4-2【解析】由圖可知抽得一等品的概率為，抽得三等品的概率為，則抽得二等品的概率為1－－＝.【答案】2．拋擲一枚骰子，當(dāng)它每次落地時，向上一面的點數(shù)稱為該次拋擲的點數(shù)，可隨機出現(xiàn)1到6點中任一結(jié)果，連續(xù)拋擲兩次，第一次出現(xiàn)點數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)點數(shù)記為b，則直線ax＋by＝0與直線x＋2y＋1＝0有公共點的概率為________．【解析】設(shè)“直線ax＋by＝0與直線x＋2y＋1＝0有公共點”為事件A，則eq\x\to(A)為“它們無公共點”，事件eq\x\to(A)發(fā)生，表示兩直線平行，故－eq\f(a,b)＝－eq\f(1,2)，∴a＝1，b＝2或a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，∴P(eq\x\to(A))＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，∴P(A)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).【答案】eq\f(11,12)3．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率是eq\f(5,12)，則得到黑球、黃球、綠球的概率分別是________、________、________.【解析】從袋中任取一球，記事件“摸到紅球”“摸到黑球”“摸到黃球”“摸到綠球”分別為A，B，C，D，且彼此互斥，則有P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)；P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(5,12)；P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).解得P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,4).所以得到黑球、黃球、綠球的概率分別是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)eq\f(1,6)eq\f(1,4)4．某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.【導(dǎo)學(xué)號：11032074】一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)123已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)【解】(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為eq\f(1×15＋×30＋2×25＋×20＋3×10,100)＝(分鐘)．(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”，A1，A2，A3分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時間為分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘”．將頻率視