2021-2022學(xué)年江西省九江市修水英才中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年江西省九江市修水英才中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知是定義在R上的函數(shù)，且對任意，都有，又，則等于（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C略2.設(shè)等差數(shù)列{an}{bn}前項(xiàng)和為Sn、Tn，若對任意的n∈N*，都有，則的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得原式=，代值計算可得．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得：=====．故選C．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題．3.已知向量在向量方向上的投影為2，且，則（

）A．-2

B．-1

C.1

D．2參考答案：D4.如圖，平面四邊形ABCD中，E、F是AD、BD中點(diǎn)，AB＝AD＝CD＝2，BD＝2，∠BDC＝90°，將△ABD沿對角線BD折起至△，使平面⊥平面BCD，則四面體中，下列結(jié)論不正確是(

)A.EF∥平面B.異面直線CD與所成的角為90°C.異面直線EF與所成的角為60°D.直線與平面BCD所成的角為30°參考答案：C【分析】根據(jù)線線平行判定定理、異面直線所成角、直線與平面所成角等知識對選項(xiàng)A、B、C、D進(jìn)行逐一判斷其正確與否.【詳解】解：選項(xiàng)A：因?yàn)镋、F是AD、BD中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以EF∥平面，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)槠矫妗推矫鍮CD，平面平面BCD，且∠BDC＝90°，即，又因?yàn)槠矫鍮CD，故平面，故，所以異面直線CD與所成的角為90°，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B可知平面，所以，因?yàn)锳D＝CD＝2，即＝CD＝2，所以由勾股定理得，，在中，BC＝，在中，，故，即，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)C錯誤；選項(xiàng)D：連接因?yàn)樗砸驗(yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妗推矫鍮CD，平面平面BCD，又因?yàn)槠矫妫势矫?，所以即為直線與平面BCD所成的角，在中，，，所以，所以，故直線與平面BCD所成的角為30°，故選項(xiàng)D正確，本題不正確的選項(xiàng)為C，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要能準(zhǔn)確運(yùn)用線面平行的判定定理給與證明，能準(zhǔn)確分析出線線、線面所成角等.5.如圖是一個算法的流程圖．若輸入的值為，則輸出的值是A．

B．

C．

D．

參考答案：C6.（5分）（2013?肇慶一模）在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“⊕”，具有性質(zhì)：①對任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；②對任意a∈R，a⊕0=a；③對任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函數(shù)f（x）=x⊕（x＞0）的最小值為（）A．4B．3C．2D．1

參考答案：B【考點(diǎn)】：進(jìn)行簡單的合情推理；函數(shù)的值域．【專題】：計算題；新定義．【分析】：根據(jù)題中給出的對應(yīng)法則，可得f（x）=（x⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，由此可得函數(shù)f（x）的最小值為f（1）=3．【解答】：解：根據(jù)題意，得f（x）=x⊕=（x⊕）⊕0=0⊕（x?）+（x⊕0）+（⊕0）﹣2×0=1+x+即f（x）=1+x+∵x＞0，可得x+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x==1，即x=1時等號成立∴1+x+≥2+1=3，可得函數(shù)f（x）=x⊕（x＞0）的最小值為f（1）=3故選：B【點(diǎn)評】：本題給出新定義，求函數(shù)f（x）的最小值．著重考查了利用基本不等式求最值、函數(shù)的解析式求法和簡單的合情推理等知識，屬于中檔題．7.某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的S的值等于(

) A．1 B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)：程序框圖．專題：算法和程序框圖．分析：執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S，k的值，當(dāng)k=2016時，滿足條件k＞2015，退出循環(huán)，輸出S的值為．解答： 解：執(zhí)行程序框圖，有S=1，k=1不滿足條件k＞2015，不滿足條件s＜1，S=，k=2不滿足條件k＞2015，滿足條件s＜1，S=，k=3不滿足條件k＞2015，滿足條件s＜1，S=，k=4不滿足條件k＞2015，滿足條件s＜1，S=1，k=5不滿足條件k＞2015，不滿足條件s＜1，S=，k=6…觀察規(guī)律可知，S的取值以4為周期，由于2014=503*4+2，故有：k=2014，不滿足條件k＞2015，滿足條件s＜1，S=，k=2015不滿足條件k＞2015，不滿足條件s＜1，S=，k=2016滿足條件k＞2015，退出循環(huán)，輸出S的值為，故選：C．點(diǎn)評：本題主要考查了程序框圖和算法，其中判斷S的取值規(guī)律是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．8.過點(diǎn)且在軸上的截距和在軸上的截距相等的直線方程為（

）（A）

（B）

（C）或

（D）或參考答案：D若直線過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，把點(diǎn)代入得，此時直線為，即。若直線不經(jīng)過原點(diǎn)，在設(shè)直線方程為，即。把點(diǎn)代入得，所以直線方程為，即，所以選D.9.函數(shù)的最小正周期是 A．

B． C． D．參考答案：B10.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于（

）A．2

B．3

C．4

D．6參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在某大型企業(yè)的招聘會上，前來應(yīng)聘的本科生、碩士研究生和博士研究生共2000人，各類畢業(yè)生人數(shù)統(tǒng)計如圖所示，則博士研究生的人數(shù)為_____.參考答案：略12.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，則△ABC面積的最大值是

▲

．參考答案：2

13.

．參考答案：

14.已知某個幾何體的三視圖如圖所示（正視圖弧線是半圓），根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是cm3．參考答案：8+π考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計算題．分析：三視圖復(fù)原幾何體是一個組合體，上部是圓柱的一半，下部是正方體，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，求出幾何體的體積．解答：解：三視圖復(fù)原幾何體是一個組合體，上部是圓柱的一半，底面是一個半圓，半徑為1，高為2的半圓柱；下部是正方體，棱長為2，；正方體體積是：8；半圓柱的體積為：π；所以組合體的體積：8+π；故答案為8+π．點(diǎn)評：本題考查由三視圖求組合體的體積，考查空間想象能力，計算能力，是基礎(chǔ)題．15.若(其中),則的展開式中的系數(shù)為

．參考答案：6016.如果函數(shù)f（x）=x2sinx+a的圖象過點(diǎn)（π，1）且f（t）=2．那么a=；f（﹣t）=．參考答案：1，0【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】由函數(shù)性質(zhì)列出方程組，求出a=1，t2sint=1，由此能求出f（﹣t）．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2sinx+a的圖象過點(diǎn)（π，1）且f（t）=2，∴，解得a=1，t2sint=1，∴f（﹣t）=t2sin（﹣t）+a=﹣t2sint+1=﹣1+1=0．故答案為：1，0．17.已知函數(shù)，.若方程恰有4個互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，且四邊形BB1C1C是菱形，∠BCC1=60°．（1）求證：AC1⊥B1C；（2）若AC⊥AB1，三棱錐A﹣BB1C的體積為，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（1）連結(jié)BC1，推導(dǎo)出AB⊥B1C，B1C⊥BC1，從而B1C⊥平面ABC1，由此能求出AC1⊥B1C．（2）由AB⊥平面BB1C1C，BC=BB1，知AC=AB1，由三棱錐A﹣BB1C的體積為，求出菱形BB1C1C的邊長，由此能求出△ABC的面積．【解答】證明：（1）連結(jié)BC1，∵AB⊥平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，∴AB⊥B1C，∵四邊形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，∵AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1，∵AC1?平面ABC1，∴AC1⊥B1C．解：（2）由AB⊥平面BB1C1C，BC=BB1，知AC=AB1，設(shè)菱形BB1C1C的邊長為a，∵∠BCC1=60°，∴==3a2，∵AC⊥AB1，∴，∴AC=AB1=a，∵AB⊥側(cè)面BB1C1C，BC?側(cè)面BB1C1C，∴AB⊥BC，∴在Rt△ABC中，AB==，∵三棱錐A﹣BB1C的體積為，∴×，解得a=2，∴AB=，BC=a=2，∴△ABC的面積S△ABC=×BC×AB==．【點(diǎn)評】本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．19.定義：給定整數(shù)i，如果非空集合滿足如下3個條件：①；②；③，若，則.則稱集合A為“減i集”（1）是否為“減0集”？是否為“減1集”？（2）證明：不存在“減2集”；（3）是否存在“減1集”？如果存在，求出所有“減1集”；如果不存在，說明理由.參考答案：（1）是“減0集”；不是“減1集”（2）證明見解析；（3）存在；，，，3，，，3，5，，，3，5，，，，【分析】（1），，，，即可得出“減0集”，同理可得不是“減1集”．（2）假設(shè)存在是“減2集”，則若，那么，當(dāng)時，有，對，分類討論即可得出．（3）存在“減1集”．．假設(shè)，則中除了元素1以外，必然還含有其它元素．假設(shè)，，而，因此．假設(shè)，，而，因此．因此可以有，．假設(shè)，，而，因此．假設(shè)，，，，，因此．因此可以有，3，．以此類推可得所有的．【詳解】（1），，，，是“減0集”同理，，，，，不是“減1集”．（2）假設(shè)存在是“減2集”，則若，那么，當(dāng)時，有，則，一個為2，一個為4，所以集合中有元素6，但是，，與是“減2集”，矛盾，故不存在“減2集”（3）存在“減1集”．．①假設(shè)，則中除了元素1以外，必然還含有其它元素．假設(shè)，，而，因此．假設(shè)，，而，因此．因此可以有，．假設(shè)，，而，因此．假設(shè)，，，，，因此．因此可以有，3，．以此類推可得：，3，5，，，，，以及的滿足以下條件的非空子集：，，，3，，，3，5，，【點(diǎn)睛】本題考查集合新定義，元素與集合的關(guān)系，邏輯推理能力，屬于難題20.在四棱錐中，底面是矩形，平面，，.以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：平面⊥平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.參考答案：(1)略(2)(3)解析：（1）依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，則AM⊥MC。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面ＰＡＤ，則CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD。（2）由（1）知，，又，則是的中點(diǎn)可得，則設(shè)D到平面ACM的距離為，由即，可求得，設(shè)所求角為，則?？汕蟮肞C=6。因?yàn)锳N⊥NC，由，得PN。所以。故N點(diǎn)到平面ACM的距離等于P點(diǎn)到平面ACM距離的。又因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，則P、D到平面ACM的距離相等，由（2）可知所求距離為.

略21.定義在D上的函數(shù)f（x），若滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．（1）設(shè)f（x）=，判斷f（x）在[﹣，]上是否有有界函數(shù)，若是，說明理由，并寫出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也請說明理由；（2）若函數(shù)g（x）=1+2x+a?4x在x∈[0，2]上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)的值域．【分析】（1）化簡f（x）==1﹣，從而可得﹣1≤f（x）≤；從而確定|f（x）|≤1；從而解得；（2）由題意知|g（x）|≤3在[0，2]上恒成立；從而可得﹣﹣≤a≤﹣；從而換元令t=，則t∈[，1]；從而可得﹣4t2﹣t≤a≤2t2﹣t在[，1]上恒成立；從而化為最值問題．【解答】解：（1）f（x）==1﹣，則f（x）在[﹣，]上是增函數(shù)；故f（﹣）≤f（x）≤f（）；故﹣1≤f（x）≤；故|f（x）|≤1；故f（x）是有界函數(shù)；故f（x）上所有上界的值的集合為[1，+∞）；（2）∵函數(shù)g（x）=1+2x+a?4x在x∈[0，2]上是以3為上界的有界函數(shù)，∴|g（x）|≤3在[0，2]上恒成立；即﹣3≤g（x）≤3