2021-2022學(xué)年湖南省長沙市雙翼中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省長沙市雙翼中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若在區(qū)間[0，2]中隨機地取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)中較小的數(shù)大于的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】先根據(jù)幾何概型的概率公式求出在區(qū)間[0，2]中隨機地取一個數(shù)，這兩個數(shù)中較小的數(shù)大于，利用幾何概型求出概率即可．【解答】解：∵在區(qū)間[0，2]中隨機地取一個數(shù)，這兩個數(shù)中較小的數(shù)大于的概率為=，故選：C．【點評】本題主要考查了幾何概型，簡單地說，如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．屬于基礎(chǔ)題．2.在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（

）．A． B． C． D．2π參考答案：C由題意可知幾何體的直觀圖如圖：旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為1，高為2的圓錐，挖去一個相同底面高為1的倒圓錐，幾何體的體積為：，綜上所述．故選．3.若﹁p是﹁q的必要不充分條件，則p是q的(

) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：常規(guī)題型；簡易邏輯．分析：由若﹁p，則﹁q的逆否命題為若q，則p，可知q是p的必要不充分條件，從而p是q的充分不必要條件．解答： 解：∵﹁p是﹁q的必要不充分條件，∴q是p的必要不充分條件，∴p是q的充分不必要條件，故選A．點評：本題考查了充分、必要條件的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．4.已知，且，則下列判斷正確的是（

）A

B

C

D

參考答案：正解：C。由①，又②由①②

得同理由得

綜上：誤解：D，不等式兩邊同乘－1時，不等號未變號。5.設(shè)函數(shù)，則有（） A．f（x）是奇函數(shù)， B．f（x）是奇函數(shù)，y=bx C．f（x）是偶函數(shù) D．f（x）是偶函數(shù)， 參考答案：C【考點】函數(shù)奇偶性的判斷． 【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】先用定義判斷函數(shù)的奇偶性，再求f（），找出其與f（x）的關(guān)系即可得到答案． 【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱． 又f（﹣x）===f（x），所以f（x）為偶函數(shù)． 而f（）===﹣=﹣f（x）， 故選C． 【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類問題的基本方法． 6.已知x、y滿足約束條件,則的最小值為(

)A.－15

B.－20

C.

－25

D.－30參考答案：A7.要得到函數(shù)y=sin()的圖象，需將函數(shù)的圖象(A)向左平單位

(B)向右平移單位(C)向左平移單位

(D)向右平移單位

參考答案：B8.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.執(zhí)行右邊的程序框圖（1），若p=4，則輸出的S=（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B10.已知雙曲線的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是(

)A.(1,2)

B.(1,2)

C.[2,+∞)

D.(2,+∞)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)點,,如果直線與線段有一個公共點,那么的最小值為

．參考答案：略12.在中，分別是三內(nèi)角的對邊，且，則角等于(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B13.從正方體的八個頂點中任取三個點為頂點作三角形，其中直角三角形的個數(shù)為_______。參考答案：

解析：每個表面有個，共個；每個對角面有個，共個14.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的一些性質(zhì)：?“各棱長相等，同一頂點上的兩條棱的夾角相等；?各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角相等；?各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任何兩條棱的夾角相等。你認為比較恰當(dāng)?shù)氖?/p>

參考答案：②15.曲線在點(1，一3)處的切線方程是

參考答案：y=-5x+2略16.函數(shù)的圖象與直線有三個交點，則實數(shù)m的取值范圍為_______.參考答案：【分析】根據(jù)題目求出函數(shù)的極大值和極小值，要使與有三個交點，則可得到的取值在極大值和極小值之間?！驹斀狻坑深}意得，令，解得或，易得當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以為極大值，為極小值，所以?！军c睛】本題考查函數(shù)圖像交點個數(shù)，一般通過函數(shù)的大致圖像和極值點決定。17.雙曲線4x2﹣y2+64=0上一點P到它的一個焦點的距離等于1，則點P到另一個焦點的距離等于．參考答案：17【考點】雙曲線的定義．【分析】首先將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得出參數(shù)a、b的值，然后根據(jù)雙曲線的定義得出|PF1﹣PF2|=2a，根據(jù)題中的已知數(shù)據(jù)，可以求出點P到另一個焦點的距離．【解答】解：將雙曲線4x2﹣y2+64=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式：∴a2=64，b2=16P到它的一個焦點的距離等于1，設(shè)PF1=1∵|PF1﹣PF2|=2a=16∴PF2=PF1±16=17（舍負）故答案為：17【點評】本題考查了雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．利用圓錐曲線的第一定義解題，是近幾年考查的常用方式，請同學(xué)們注意這個特點．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線C：+=1，直線l：（t為參數(shù)）（Ⅰ）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程．（Ⅱ）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．參考答案：【考點】QH：參數(shù)方程化成普通方程；KG：直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】（Ⅰ）聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲線C的參數(shù)方程，直接消掉參數(shù)t得直線l的普通方程；（Ⅱ）設(shè)曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ）．由點到直線的距離公式得到P到直線l的距離，除以sin30°進一步得到|PA|，化積后由三角函數(shù)的范圍求得|PA|的最大值與最小值．【解答】解：（Ⅰ）對于曲線C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)）．對于直線l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）設(shè)曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ）．P到直線l的距離為．則，其中α為銳角．當(dāng)sin（θ+α）=﹣1時，|PA|取得最大值，最大值為．當(dāng)sin（θ+α）=1時，|PA|取得最小值，最小值為．19.設(shè),

①若求a的值

②若求a的值參考答案：解：(1)

A=

(2)

20.（本小題滿分10分）

已知函數(shù)，。

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（Ⅲ）試判斷方程（其中）是否有實數(shù)解？并說明理由。參考答案：解：（Ⅰ）因為

1分則有

2分當(dāng)，或時，，此時單調(diào)遞增所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和

3分（Ⅱ）因為，所以當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減

4分于是，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增此時，

5分當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增此時，。綜上所述，

6分（Ⅲ）方程沒有實數(shù)解由，得：

7分設(shè)則當(dāng)時，；當(dāng)時，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

8分所以，函數(shù)在上的最大值為由（Ⅱ）可知，在上的最小值為

9分而，所以方程沒有實數(shù)解

10分21.（13分）如圖，在正方體ABCD－中，棱長為a,E為棱CC1上的的動點．（1）求證：A1E⊥BD；（2）當(dāng)E恰為棱CC1的中點時，求證：平面A1BD⊥平面EBD.參考答案：證明：（1）連AC,A1C1

正方體AC1中，AA1平面ABCD

AA1BD

ABCD是正方形，ACBD，又ACAA1=A，BD平面ACC1A1ECC1

A1E平面ACC1A1

BDA1E

6分

（2）設(shè)ACBD=O，則O為BD的中點，連A1O,EO

由（1）得BD平面A1ACC1

BDA1O,BDEO

即為二面角A1-BD-E的平面角

AB=a，E為CC1中點A1O=，A1E=，EO=

A1O2+OE2=A1E2

A1OOE平面A1BD平面BDE

13分22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=，點E是棱PB的中點．（Ⅰ）證明：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若AD=1，求二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，從而AE⊥PB．由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，由此能證明AE⊥平面PBC．（Ⅱ）由BC⊥平面PAB，AD⊥AE．取CE的中點F，連結(jié)DF，連結(jié)BF，則∠BFD為所求的二面角的平面角，由此能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：如圖1，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，故△PAB為等腰直角三角形，而點E是棱PB的中點，所以AE⊥PB．由題意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE．因為AE⊥PB，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE．在Rt△PAB中，PA=AB=，AE=PB==1．從而在Rt△DAE