2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市清華園高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市清華園高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知雙曲線滿足彖件：（1）焦點(diǎn)為；（2）離心率為，求得雙曲線的方程為。若去掉條件（2），另加一個(gè)條件求得雙曲線的方程仍為，則下列四個(gè)條件中，符合添加的條件共有①雙曲線上的任意點(diǎn)都滿足；②雙曲線的—條準(zhǔn)線為③雙曲線上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與到右準(zhǔn)線的距離比為④雙曲線的漸近線方程為A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)參考答案：答案：B2.函數(shù)的圖象關(guān)于

A．直線對稱

B.直線對稱

C.點(diǎn)對稱

D.點(diǎn)對稱參考答案：B略3.已知函數(shù)f（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）參考答案：D【考點(diǎn)】3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】根據(jù)題意，令g（x）=f（x）﹣2，則g（x）=f（x）﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，分析可得g（x）的奇偶性與單調(diào)性，則f（a2）+f（a﹣2）＞4，可以轉(zhuǎn)化為g（a2）＞﹣g（a﹣2），結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得a2＜2﹣a，解可得a的范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，令g（x）=f（x）﹣2，則g（x）=f（x）﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，g（﹣x）=﹣2（﹣x）5﹣（﹣x）3﹣7（﹣x）=﹣（﹣2x5﹣x3﹣7x），則g（x）為奇函數(shù)，而g（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x，則g′（x）=﹣10x4﹣2x2﹣7＜0，則g（x）為減函數(shù)，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，則有f（a2）﹣2＞﹣，即g（a2）＞﹣g（a﹣2），即g（a2）＞g（2﹣a），則有a2＜2﹣a，解可得﹣2＜a＜1，即a的取值范圍是（﹣2，1）；故選：D．4.已知向量⊥，|﹣|=2，定義：=λ+（1﹣λ），其中0≤λ≤1．若?=，則||的最大值為(

) A． B． C．1 D．參考答案：C考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；函數(shù)的最值及其幾何意義．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：畫出草圖，通過⊥、|﹣|=2可得||=1，利用=λ+（1﹣λ）可得B、P、D、C四點(diǎn)共線，結(jié)合=||cosα，可得當(dāng)B、P兩點(diǎn)重合時(shí)||最大，計(jì)算即可．解答： 解：如圖，記=，=，=，=，＜，＞=α．∵⊥，|﹣|=2，∴||=1，∵=λ+（1﹣λ），∴B、P、D、C四點(diǎn)共線，∵=?=||?||cosα=1?||cosα，∴在上的投影為，∴當(dāng)B、P兩點(diǎn)重合時(shí)，||最大，此時(shí)α=，||=||=1，故選：C．點(diǎn)評：本題考查平面向量的幾何意義，涉及到向量的加、減法運(yùn)算法則，三點(diǎn)共線的向量表示，向量的投影等知識，注意解題方法的積累，屬于難題．5.設(shè)，且=sinx+cosx，則（）A．0≤x≤π

B．―≤x≤

C．≤x≤

D．―≤x≤―或≤x＜參考答案：B6.執(zhí)行右面的程序框圖，若輸出結(jié)果為3，則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（A）1 （B）2 （C）3 （D）4參考答案：C由題意知。當(dāng)時(shí)，由，得，解得。當(dāng)時(shí)，由，得，所以輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為3個(gè)，選C.7.已知函數(shù)f（x）=的圖象上關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)至少有3對，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）關(guān)于y軸對稱的解析式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：若x＞0，則﹣x＜0，∵x＜0時(shí)，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，則若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）關(guān)于y軸對稱，則f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，設(shè)g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函數(shù)g（x）的圖象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0與f（x）=logax，x＞0的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn)，則0＜a＜1且滿足g（5）＜f（5），即﹣2＜loga5，即loga5＞，則5，解得0＜a＜，故選：A8.與命題“若，則”等價(jià)的命題是

（

）A.若，則

B.若，則

C.若，

則 D若，則參考答案：D9.設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是

（

）A．若，則

B．若，則C．若，則

C．若，則參考答案：C略10.已知命題p：?x∈R，使；命題q：?x∈R，都有．下列結(jié)論中正確的是（）A．命題“p∧q”是真命題B．命題“p∧”是真命題C．命題“∧q”是真命題D.命題“”是假命題參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.△ABC的重心為G(,－2),邊AB的中點(diǎn)為D(,－1),邊BC的中點(diǎn)為E(,－4),那么三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.參考答案：(1,2),(－,－4),(9,－4)12.函數(shù)，則的值為____________.參考答案：13.設(shè)若，則=

參考答案：1本題考查了分段函數(shù)的求值以及定積分的有關(guān)計(jì)算問題，難度一般。

，而，所以14.已知滿足,則的最大值為

參考答案：答案:315.為估計(jì)一個(gè)圓柱形燒杯A底面積的大小，做以下實(shí)驗(yàn)，在一個(gè)底面邊長為a的正四棱柱容器B中裝有一定量的白色小珠子，現(xiàn)用燒杯A盛滿黑色小珠子（珠子與杯口平齊），將其倒入容器B中，并充分混合，此時(shí)容器B中小珠子的深度剛好為a（兩種顏色的小珠子大小形狀完全相同，且白色的多于黑色的）現(xiàn)從容器B中隨機(jī)取出100個(gè)小珠子，清點(diǎn)得黑色小珠子有25個(gè)。若燒杯A中的高為h，于是可估計(jì)此燒杯的底面積S均等于

.參考答案：16.已知等差數(shù)列中,,,則

.參考答案：17.．直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．參考答案：由圓可得：圓心，半徑，∴圓心到直線的距離．∵弦長，∴，即，解得．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.三棱錐,底面為邊長為的正三角形，平面平面，,為上一點(diǎn)，，為底面三角形中心.（Ⅰ）求證∥面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）設(shè)為中點(diǎn)，求二面角的余弦值.參考答案：證明：（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).為正三角形的中心，∴,且為中點(diǎn).又，∴∥,

--------------2分平面，平面∴∥面．

--------------4分（Ⅱ）,且為中點(diǎn),∴,又平面平面，∴平面,

------------5分由（Ⅰ）知，∥，∴平面,∴

----------6分連結(jié),則,又,∴平面,∴．-----------8分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，兩兩互相垂直，且為中點(diǎn)，所以分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則------9分∴設(shè)平面的法向量為，則，令，則．--------------10分由（Ⅱ）知平面,∴為平面的法向量，∴，由圖可知，二面角的余弦值為．--------------12分19.(本題滿分16分）已知函數(shù)（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意的，恒有，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）=（）

令，

…1分①時(shí)，，所以增區(qū)間是；②時(shí)，，所以增區(qū)間是與，減區(qū)間是③時(shí)，，所以增區(qū)間是與，減區(qū)間是④時(shí)，，所以增區(qū)間是，減區(qū)間是

…5分（Ⅰ）因?yàn)椋?，由?）知在上為減函數(shù). …6分若，則原不等式恒成立，∴

…7分若，不妨設(shè)，則，，所以原不等式即為：，即對任意的，恒成立令，所以對任意的，有恒成立，所以在閉區(qū)間上為增函數(shù)

…9分所以對任意的，恒成立20.已知函數(shù)．（1）用單調(diào)性定義證明：在上是減函數(shù)；（2）求的值域．參考答案：（1）證明：任取，則，因?yàn)?，所以，，，所以，所以，故在上是減函數(shù)．（2）解：注意到，所以是上的偶函數(shù)．由（1）知在上是增函數(shù)，所以，又易知趨于無窮大，趨于無窮大，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?1.已知存在單調(diào)遞減區(qū)間．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）判斷曲線y=f（x）在x=0的切線能否與曲線相切？若存在，求出a，若不存在，說明理由；（Ⅲ）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求證：．參考答案：

略22.如圖，多面體ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四邊形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面體ABCDEF的體積V．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，從而平面ADE∥平面BCF，由此能證明CF∥平面ADE．（Ⅱ）連結(jié)AC，交BD于O，由線面垂直得AC⊥DE，由菱形性質(zhì)得AC⊥BD，從而AC⊥平面BDEF，進(jìn)而多面體ABCDEF的體積V=2VA﹣BDEF，由此能求出多面體ABCDEF的體積V．（Ⅰ）證明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四邊形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF?平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：連結(jié)A