2022年安徽省蚌埠市第十八中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022年安徽省蚌埠市第十八中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（）A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交參考答案：D【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】可以畫(huà)出圖形來(lái)說(shuō)明l與l1，l2的位置關(guān)系，從而可判斷出A，B，C是錯(cuò)誤的，而對(duì)于D，可假設(shè)不正確，這樣l便和l1，l2都不相交，這樣可退出和l1，l2異面矛盾，這樣便說(shuō)明D正確．【解答】解：A．l與l1，l2可以相交，如圖：∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．l可以和l1，l2中的一個(gè)平行，如上圖，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．l可以和l1，l2都相交，如下圖：，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．“l(fā)至少與l1，l2中的一條相交”正確，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l(xiāng)和l1，l2都平行；∴l(xiāng)1∥l2，l1和l2共面，這樣便不符合已知的l1和l2異面；∴該選項(xiàng)正確．故選D．2.已知三棱錐S—ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且，則此棱錐的體積為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A3.命題“若x2＜4，則﹣2＜x＜2”的逆否命題是（）A．若x2≥4，則x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，則x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，則x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，則x2≥4參考答案：D【考點(diǎn)】四種命題間的逆否關(guān)系．【分析】原命題“若p，則q”的逆否命題是“若￢q，則￢p”．【解答】解：命題“若x2＜4，則﹣2＜x＜2”的逆否命題是“若x≤﹣2，或x≥2，則x2≥4”；故選：D．4.在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直線y=x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為A.－1

B.0

C.

D.1參考答案：D略5.設(shè)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱f（x）和g（x）在[a，b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”．若f（x）=x2﹣3x+4與g（x）=2x+m在[0，3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍為（）A．（﹣，﹣2] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．

【專題】壓軸題；新定義．【分析】由題意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故有，由此求得m的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4與g（x）=2x+m在[0，3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，故函數(shù)y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，“關(guān)聯(lián)函數(shù)”的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．6.已知，則與方向相反的單位向量的坐標(biāo)為（）A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】可求出的坐標(biāo)，并求出，這樣根據(jù)單位向量的概念及向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算即可得出正確選項(xiàng)．【解答】解：，且；∴．故選D．7.設(shè)a=20.4，b=30.75，c=log3，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a參考答案：B【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由已知利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性能求出結(jié)果．【解答】解：∵a=20.4，b=30.75，c=log3，∴=﹣1，b=30.75＞30.4＞20.4=a＞20=1，∴b＞a＞c．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．8.點(diǎn)到直線的距離的最大值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B9.函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．參考答案：D10.已知直線L1：2x－y＋3=0和直線L2：x－y＋2=0，若L2上任意一點(diǎn)到L1的距離與它到L的距離相等，則直線L的方程是

（

）A．x－2y＋3=0

B.x－2y－3=0C.x＋2y－1=0

D.y－1=(x＋1)

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域?yàn)?，，?duì)任意，，則的解集為_(kāi)______．參考答案：（，+）12.函數(shù)在時(shí)有極值，那么的值分別為_(kāi)______

參考答案：4，-11略13.在一次晚會(huì)上，9位舞星共上演個(gè)“三人舞”節(jié)目，若在這些節(jié)目中，任二人都曾合作過(guò)一次，且僅合作一次，則＝

。參考答案：14.中華人民共和國(guó)第十二屆全運(yùn)會(huì)將于2013年8月31日—9月12日在遼寧舉行。將甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者分成3個(gè)小組，分赴3個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，要求每個(gè)場(chǎng)館至少一人，甲、乙兩人不分在同一個(gè)小組里，丙、丁兩人也不分在同一個(gè)小組里，那么不同的分配方案有_______種。參考答案：84略15.在10個(gè)球中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球（各不相同），不放回的依次摸出2個(gè)球，在第一次摸出紅球的條件下，第2次也摸出紅球的概率是_________.參考答案：略16.已知半徑為的球的體積公式為，若在半徑為的球內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)

到球心的距離不大于的概率為_(kāi)______．參考答案：17.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則下列四個(gè)命題：①P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A﹣D1PC的體積不變；②P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AP與平面ACD1所成角的大小不變；③P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角P﹣AD1﹣C的大小不變；④M是平面A1B1C1D1上到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是過(guò)D1點(diǎn)的直線，其中真命題的編號(hào)是

．（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）參考答案：①③④【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角；LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；MJ：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】①易知BC1∥平面AD1C，所以BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離相等，底不變，所以體積不變．②通過(guò)舉例說(shuō)明，如直線AB與平面ACD1所成角和直線AC1與平面ACD1所成角不相等．③P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可知AP的軌跡是平面PAD1，即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影響．④空間中到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段DC1的中垂面，又點(diǎn)M在面A1B1C1D1內(nèi)，則點(diǎn)M的軌跡是面A1B1C1D1與線段DC1的中垂面的交線，即AD1，所以必過(guò)D1點(diǎn)．【解答】解：①∵BC1∥平面ACD1，∴BC1∥上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離相等，所以體積不變，正確．②P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB與平面ACD1所成角和直線AC1與平面ACD1所成角不相等，所以不正確．③當(dāng)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP的軌跡是平面PAD1，即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影響，所以正確．④∵空間中到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段DC1的中垂面，又點(diǎn)M在面A1B1C1D1內(nèi)，則點(diǎn)M的軌跡是面A1B1C1D1與線段DC1的中垂面的交線，即AD1，所以正確．故答案為：①③④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）若展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求：⑴展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng);

⑵展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．參考答案：解：易求得展開(kāi)式前三項(xiàng)的系數(shù)為

………2分

據(jù)題意

………3分

………4分⑴

設(shè)展開(kāi)式中的有理項(xiàng)為，由

………6分

故有理項(xiàng)為：

……8分⑵設(shè)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)最大，則：

且

………10分故展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)為：

………12分略19.已知雙曲線具有性質(zhì)：若A、B是雙曲線左、右頂點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且P在第一象限.記直線PA，PB的斜率分別為，，那么與之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值.（1）試對(duì)橢圓，類比寫(xiě)出類似的性質(zhì)（不改變?cè)忻}的字母次序），并加以證明.（2）若橢圓C的左焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線為，在（1）的條件下，當(dāng)取得最小值時(shí)，求{－1,0}的垂心H到x軸的距離.參考答案：(1)見(jiàn)解析(2).【分析】（1）根據(jù)類比對(duì)應(yīng)得橢圓性質(zhì)，再根據(jù)斜率公式證結(jié)論，（2）先求得橢圓方程，再根據(jù)基本不等式確定最值取法，即得直線方程，與橢圓方程聯(lián)立解得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線交點(diǎn)得垂心坐標(biāo)，即得結(jié)果.【詳解】（1）若、是橢圓左、右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且在第一象限.記直線，的斜率分別為，，那么與之積是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值，即；證明如下：設(shè)（2）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線為，所以，橢圓由（1）知，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”此時(shí)直線：與橢圓聯(lián)立得可設(shè)垂心，由，故的垂心到軸的距離為.20.（12分）已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)

,設(shè)集合,分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b得到的數(shù)對(duì)．

（1）列舉出所有的數(shù)對(duì),并求函數(shù)有零點(diǎn)的概率；

（2）求函數(shù)上是增函數(shù)的概率．參考答案：解：（1），15種情況

………………4分函數(shù)，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種情況……6分所以函數(shù)

……………8分

（2）函數(shù)上是增函數(shù)則有，

（1，—1），（1，1），（1，2），（2，—1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，—1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共13種情況滿足條件

…10分

所以函數(shù)

…………12分21.已知在△ABC中， （1）若三邊長(zhǎng)a，b，c依次成等差數(shù)列，sinA：sinB=3：5，求三個(gè)內(nèi)角中最大角的度數(shù)； （2）若，求cosB． 參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；等差數(shù)列；余弦定理． 【專題】計(jì)算題；解三角形；平面向量及應(yīng)用． 【分析】（1）依題意，設(shè)a=3k，（k＞0），則b=5k，c=7k，利用余弦定理即可求得三個(gè)內(nèi)角中最大角的度數(shù)； （2）利用向量的數(shù)量積，與余弦定理即可求得cosB． 【解答】解：（1）在△ABC中有sinA：sinB=3：5， ∴a：b=3：5，設(shè)a=3k，（k＞0） 則b=5k， ∵a，b，c成等差數(shù)列， ∴c=7k， ∴最大角為C，有cosC==﹣， ∴C=120° （2）由=b2﹣（a﹣c）2得：accosB=b2﹣（a﹣c）2， 即accosB=a2+c2﹣2accosB﹣（a2+c2﹣2ac）， ∴3cosB=2， ∴cosB=． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理，考查平面向量的數(shù)量積，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．22.某興趣小組有9名學(xué)生.若從9名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中恰好有一個(gè)女生的概率是.（1）該小組中男女學(xué)生各多少人？（2）9個(gè)學(xué)生站成一列隊(duì)，現(xiàn)要求女生保持相對(duì)順序不變（即女生前后順序保持不變）重新站隊(duì)，問(wèn)有多少種重新站隊(duì)的方法？（要求用數(shù)字作答）（3）9名學(xué)生站成一列，要求男生必須兩兩站在一起，有多少種站隊(duì)的方法？（要求用數(shù)字作答）參考答案：（1）設(shè)男生有人，則

，即，解之得，故男生有人，女生有人.

……………………4分（2）【方法一】按坐座位的方法

第一步：讓6名男生先從9個(gè)位置中選6個(gè)位置坐，共有=60480種；

第二步：余下的座位讓3